Phép lấy vi phân có thể nói là bắt nguồn từ việc giải bài toán về các tiếp tuyến của đờng cong và tìm các giá trị cực đại, cực tiểu của các hàm số. Mặc dầu việc xem xét các vấn đề nh vậy có thể thấy từ những ngời Hi lạp cổ đại, nh- ng có lẽ phải thừa nhận rằng tiền thân của phơng pháp tính vi phân thực sự bắt nguồn từ những t tởng mà Fermat đã hình thành vào năm 1629.
Kepler đã có nhận xét là số gia của một hàm số sẽ trở nên nhỏ tới mức triệt tiêu tại lân cận của một giá trị cực đại hoặc cực tiểu thờng. Fermat đã chuyển sự kiện này thành một quá trình xác định một cực đại hoặc cực tiểu, ph- ơng pháp nh sau:
Nếu f(x) có cực đại hoặc một cực tiểu thờng tại x, và nếu e rất nhỏ thì giá trị của f(x - e) hầu nh bằng với giá trị của f(x). Ta sẽ cố tình đặt f(x) - e) = f(x) và làm cho đẳng thức này trở thành đúng bằng cách cho e nhận giá trị là số 0. Các nghiệm của phơng trình này sẽ cho những giá trị của x mà f(x) sẽ là một cực đại hoặc một cực tiểu.
Ta xét một ví dụ của Fermat: chia một đại lợng thành hai phần sao cho tích của chúng là một cực đại.
Fermat dùng cách kí hiệu của Viét, các hằng số thì đợc kí hiệu bằng các chữ cái phụ âm lớn, các biến là các chữ cái nguyên âm nhỏ. Cách giải nh sau:
Gọi B là đại lơng cho trớc và kí hiệu các phần phải tìm là A và B-A. Ta viết:
(A - e) [(B- (A- e)] và cho nó bằng với A(B - A), ta sẽ có: A(B - A) = (A - e) (B - A + e).
⇔ 2Ae - Be - e2 = 0
Sau khi chia cho e ta đợc: 2A - B - e = 0
Bây giờ đặt e = 0, ta đợc 2A = B, và nh vậy là đã tìm ra cách chia cần có. Mặc dầu lôgic trong cách trình bày của Fermat còn thiếu nhiều cái cần có song ngời ta thấy rằng phơng pháp của ông là tơng đơng với việc đặt:
e ) x ( f ) e x ( f lim 0 e − + → = 0
Tức là làm cho đạo hàm của f(x) bằng 0. Đây là phơng pháp quen thuộc để tìm cực đại và cực tiểu thờng của một hàm f(x) và đôi khi nó đợc gọi là “ph- ơng pháp Fermat”.
Tuy nhiên, Fermat không biết rằng cho đạo hàm triệt tiêu chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ cho một cực đại hoặc một cực tiểu thông th- ờng. Ngoài ra, phơng pháp của Fermat cũng không phân biệt đợc giá trị cực đại và giá trị cực tiểu.
Fermat cũng đã nghĩ ra một thủ tục chung để tìm tiếp tuyến tại một điểm của một đờng cong khi biết phơng trình trong hệ toạ độ Descartes của nó. T t- ởng của ông là tìm tiếp ảnh của điểm đó, tức là đoạn thẳng AB. Phơng pháp này dựa vào một ý nghĩ cho rằng tiếp tuyến là vị trí giới hạn của một cát tuyến khi 2 điểm nó cắt đờng cong tiến tới chỗ trùng nhau. Dùng kí hiệu nh hiện nay thì ph- ơng pháp đó nh sau: f(x, y) = 0 B A O y a e x e (x, y)
Cho đờng cong có phơng trình f(x, y) = 0, tìm tiếp ảnh a của đờng cong tại điểm (x, y).
Bằng các tam giác đồng dạng, ta tìm đợc điểm M của tiếp tuyến gần với tiếp điểm nh sau [x + e, y (1+
a e
)]. Điểm này có ý định đợc coi nh cùng nằm trên đờng cong cho nên: f[x + e, y (1+ ae )] = 0.
Đẳng thức này đợc làm cho đúng bằng cách cho giá trị e bằng 0. Rồi ta giải ph- ơng trình để tìm a theo các toạ độ x và y. Việc này tơng đơng với việc đặt:
a = -y x f y f δ δ δ δ
Bằng cách này Fermat đã tìm đợc tiếp tuyến cho elip, cycloid, cissoid, conchoit, đờng cầu phơng và lá Descarles.
Năm 1669, Issac Barrow xuất bản công trình toán học quan trọng nhất của ông là Lectiones opticae et geometricae. Trong cuốn sách này ta tìm thấy một cách tiếp cận rất gần gũi với quá trình tính vi phân hiện nay khi sử dụng cái mà ta gọi “tam giác vi phân”. phơng pháp của Barrow nh sau:
Cho đờng cong (ε). Giả sử cần tìm tiếp tuyến tại một điểm P nằm trên (ε). Gọi Q là một điểm trên đờng cong đó. Nh vậy, các tam giác PTM và PQR là rất gần đồng dạng với nhau, do đó:
QRRP =TMMP
Đặt QR = e và RP = a. Nếu P có toạ độ (x, y) thì Q sẽ có toạ độ (x - e, y -a). Thế các giá trị này vào ph-
P Q a M T O y e (ε) x
ơng trình của đờng cong, bỏ qua các bình phơng và các luỹ thừa bậc cao của cả e và a, ta sẽ tìm đợc tỉ số e a . Nh vậy ta có: OT = OM - TM = OM - MP( RP QR ) = x - y(ae ), từ đó xác định đợc tiếp tuyến.
Barrow đã áp dụng phơng pháp này để dựng tiếp tuyến cho các đờng (x2
+ y2)x2 = r2y2 (đờng Kappa), x3+ y3 = r3 (đờng Lamé đặc biệt), x3 + y3 = rxy (Lá Descartes), Tất nhiên, tỉ số … ae là dxdy ngày nay, thủ tục còn đáng ngờ của Barrow có thể dễ dàng làm cho chặt chẽ bằng cách dùng lý thuyết các giới hạn.