Khung mẫu như mẫu dùng chung là yếu tố trung tâm của cái bây giờ tôi coi là khía cạnh mới nhất và ít được hiểu nhất của cuốn sách này. Các tấm gương, các mẫu vì thế sẽ đòi hỏi nhiều sự chú ý hơn các loại thành phần khác của matrix môn. Các nhà triết học khoa học thông thường đã không thảo luận các vấn đề [câu hỏi] mà các sinh viên bắt gặp trong các phòng thí nghiệm hay trong các sách giáo khoa
khoa học, vì người ta nghĩ các vấn đề này chỉ để cung cấp sự tập luyện về áp dụng cái mà sinh viên đã biết rồi. Sinh viên không thể, người ta nói, giải các vấn đề chút nào trừ phi đầu tiên anh ta đã học lí thuyết và một số quy tắc để áp dụng nó. Tri thức khoa học được gắn trong lí thuyết và các quy tắc; các vấn đề, câu hỏi được cung cấp để có được năng khiếu trong việc áp dụng chúng. Tôi đã thử lí lẽ, tuy vậy, rằng sự định vị này của nội dung nhận thức về khoa học là sai. Sau khi sinh viên đã giải nhiều bài toán, anh ta có thể chỉ nhận được năng khiếu thêm bằng giải nhiều nhơn. Nhưng lúc đầu và một thời gian sau đó, làm các bài toán là học các thứ kèm theo về tự nhiên. Thiếu các mẫu như vậy, các định luật và lí thuyết mà anh ta đã học trước đây sẽ có ít nội dung kinh nghiệm.
Để biểu thị cái tôi nghĩ đến tôi quay lại các khái quát biểu tượng một cách ngắn gọn. Thí dụ được chia sẻ rộng rãi là Định luật Thứ hai của Newton về Chuyển động, nói chung được viết như f = ma. Nhà xã hội học, chẳng hạn, hay nhà ngôn ngữ người khám phá ra rằng biểu thức tương ứng được phát biểu và tiếp nhận một cách không mơ hồ bởi các thành viên của một cộng đồng cho trước không học được rất nhiều, mà không có nhiều khảo sát thêm, về hoặc biểu thức hay thuật ngữ có nghĩa là gì, về các nhà khoa học của cộng đồng gắn biểu thức cho tự nhiên ra sao. Thực vậy, sự thực rằng họ chấp nhận nó mà không nghi ngờ và dùng nó như một điểm tại đó để đưa ra các thao tác logic và toán học bản thân nó không hàm ý rằng họ có đồng ý chút nào về các vấn đề như ý nghĩa và ứng dụng. Tất nhiên họ có đồng ý ở mức độ đáng kể, hoặc sự thật sẽ mau chóng nổi lên từ thảo luận tiếp theo của họ. Nhưng người ta rất có thể hỏi ở điểm nào và bằng công cụ nào họ đã đi đến để làm vậy. Họ đã học thế nào, đối mặt với một tình thế thực nghiệm cho trước, để chọn ra các lực, các khối lượng, và các gia tốc liên quan?
Trong thực tiễn, tuy khía cạnh này về tình hình hiếm khi hay chẳng bao giờ được chú ý, cái các sinh viên phải học là thậm chí còn phức tạp hơn thế. Không hoàn toàn là thao tác logic và toán học được áp dụng trực tiếp cho f = ma. Biểu thức đó qua khảo sát hoá ra là một phác hoạ-qui luật hay một sơ đồ-qui luật. Khi sinh viên hay nhà khoa học hành nghề di chuyển từ một tình hình vấn đề sang cái tiếp theo, khái quát hoá biểu tượng, mà các thao tác đó áp dụng, thay đổi. Đối với trường hợp rơi tự do, f = ma trở thành mg = m d2s/dt2; đối với con lắc đơn giản nó được biến đổi thành mg sinθ = -ml d2θ/dt2; đối với một cặp các bộ dao động điều hoà tương tác nó trở thành hai phương trình, phương trình thứ nhất có thể được viết m1 d2s1/dt2+k1s1 = k2(s2 – s1 + d); và đối với các tình huống phức tạp hơn, như con quay, nó lại có các dạng khác, mà nét giống nhau họ hàng với f = ma còn khó phát hiện ra hơn nữa. Thế mà, trong khi học để nhận diện các lực, các khối lượng, và các gia tốc trong các tình huống vật lí đa dạng chưa được gặp trước đây, sinh viên cũng phải học để nghĩ ra phiên bản thích hợp của f = ma qua đó để liên kết chúng, thường là một phiên bản mà trước đây anh ta chưa thấy
cái tương đương thật nào. Anh ta học làm việc này thế nào?
Một hiện tượng quen thuộc với cả các sinh viên khoa học và các sử gia khoa học cho một manh mối. Các sinh viên thường nói lại rằng họ đã đọc hết cả một chương của sách giáo khoa của họ, đã hoàn toàn hiểu nó, nhưng dù sao vẫn gặp khó khăn giải một số vấn đề [bài tập] ở cuối chương. Thường, cũng vậy, các khó khăn đó được giải quyết theo cùng cách. Sinh viên phát hiện ra, với hoặc không có sự giúp đỡ của thầy giáo, một cách để nhận ra vấn đề của anh ta giống như một vấn đề mà anh ta đã gặp rồi. Sau khi nhìn thấy sự giống nhau, nắm được sự tương tự giữa hai hay nhiều vấn đề khác biệt, anh ta có thể liên kết các kí hiệu với nhau và gắn chúng cho tự nhiên theo các cách đã tỏ ra có kết quả trước đây. Phác hoạ-qui luật, chẳng hạn như f = ma, đã hoạt động như một công cụ, báo cho sinh viên biết nên tìm những sự tương tự nào, báo hiệu cái gestalt trong đó tình thế nên được thấy. Năng lực được tạo thành như thế để thấy đủ loại tình huống như giống nhau, như các đối tượng cho f = ma hay khái quát hoá biểu tượng nào đó, tôi nghĩ, là cái chính mà một sinh viên thu được bằng cách làm các bài toán mẫu, bất luận với bút chì và giấy hay trong một phòng thí nghiệm được thiết kế tốt. Sau khi anh ta đã hoàn thành một số lượng nào đấy, số đó thay đổi nhiều từ người này sang người kia, anh ta nhìn các tình huống đối mặt với mình như một nhà khoa học trong cùng gestalt như các thành viên khác của nhóm chuyên môn của anh ta. Đối với anh ta chúng không còn là cùng các tình huống anh ta đã bắt gặp khi bắt đầu học. Anh ta trong lúc ấy đã đồng hoá một cách nhìn được thời gian thử thách và được nhóm cho phép.
Vai trò của các mối quan hệ giống nhau thu được cũng thể hiện rõ ràng trong lịch sử khoa học. Các nhà khoa học giải câu đố bằng mô phỏng chúng theo các lời giải-câu đố trước, thường chỉ với sự cầu viện tối thiểu đến các khái quát hoá biểu tượng. Galileo đã thấy rằng một quả bóng lăn xuống một mặt nghiêng thu đúng đủ tốc độ để quay lại cùng độ cao theo chiều dọc trên một mặt nghiêng thứ hai có độ dốc bất kỳ, và ông đã học để nhìn tình huống thực nghiệm đó giống như con lắc với một điểm-khối lượng cho quả lắc. Huyghens sau đó đã giải quyết vấn đề về tâm dao động của một con lắc vật lí bằng tưởng tượng rằng vật thể trải rộng của con lắc vật lí bao gồm các con lắc-điểm Galilean, các liên kết giữa chúng có thể được giải phóng đồng thời ở bất cứ điểm nào trong sự đu đưa. Sau khi các liên kết được giải phóng, các con lắc điểm riêng lẻ sẽ đu đưa một cách tự do, nhưng trọng tâm tập thể của chúng khi mỗi con lắc điểm đạt đỉnh điểm của nó, giống trọng tâm của con lắc của Galileo, lên chỉ đến độ cao mà từ đó trọng tâm của con lắc trải rộng bắt đầu rơi. Cuối cùng, Daniel Bernoulli đã khám phá ra làm thế nào để khiến dòng nước từ một vòi phun giống con lắc của Huyghens. Xác định sự hạ xuống của trọng tâm của nước trong bể và vòi phun trong một khoảng thời gian vô cùng nhỏ. Tiếp theo hãy tưởng tượng rằng mỗi hạt nước sau đó chuyển động lên một cách riêng rẽ đến độ cao cực đại có thể đạt được với tốc độ thu được trong khoảng thời gian đó. Độ hạ xuống của trọng tâm của cá nhân
các hạt nước khi đó phải bằng độ hạ xuống của trọng tâm của nước trong bể và vòi. Từ cách nhìn đó về vấn đề, suy ra ngay tốc độ phun mà người ta đã tìm kiếm từ lâu.11
Thí dụ đó phải bắt đầu làm rõ cái tôi muốn nói bằng học từ các vấn đề để nhìn các tình huống như giống lẫn nhau, như các đối tượng cho sự áp dụng cùng qui luật khoa học hay phác thảo-qui luật. Đồng thời nó phải cho thấy vì sao tôi nhắc đến sự hiểu biết về tự nhiên như kết quả thu nhận được trong khi học mối quan hệ tương tự và sau đó được biểu hiện trong cách nhìn các tình huống vật lí hơn là trong các quy tắc hay các qui luật. Ba vấn đề trong thí dụ, tất cả chúng đều là các mẫu cho các nhà cơ học thế kỉ mười tám, triển khai chỉ một qui luật tự nhiên. Được biết đến như nguyên lí vis viva, nó thường được phát biểu như: “Sự hạ xuống thực tế bằng sự đi lên tiềm năng”. Việc Bernoulli áp dụng qui luật phải ám chỉ nó đã có kết quả thế nào. Thế nhưng sự phát biểu bằng lời của qui luật, bản thân nó, là hầu như không có hiệu lực gì. Trình bày nó cho một sinh viên vật lí đương thời, người biết các từ và có thể làm tất cả các bài toán này nhưng bây giờ dùng các phương tiện khác. Rồi hãy tưởng tượng các từ, tuy tất cả đều biết, có thể được nói thế nào cho một người thậm chí không biết các bài toán. Đối với anh ta sự khái quát hoá có thể bắt đầu hoạt động chỉ khi anh ta đã học để nhận ra “các độ hạ xuống thực tế” và “các độ đi lên tiềm năng” như các thành phần của tự nhiên, và đó là đi học cái gì đó, trước qui luật, về các tình huống mà tự nhiên có và không trình bày. Loại hiểu biết đó không thu được chỉ bằng các phương tiện lời nói. Đúng hơn nó đến như cho người ta trước các từ cùng với các thí dụ mẫu về chúng được dùng thế nào; tự nhiên và các từ được học cùng nhau. Để mượn một lần nữa cách nói hữu ích của Michael Polanyi, kết quả nảy sinh ra từ quá trình này là ‘tri thức ngầm – tacit knowledge” nhận được bằng làm khoa học hơn là bằng kiếm được các quy tắc để làm khoa học.