Ngoài thời gian học ở lớp để tự học thành công cần rèn luyện cho học sinh học bài ở nhà có phương pháp. Học bài ở nhà tốt giúp học sinh củng cố bài trên lớp và mở rộng vốn kiến thức của mình.
2.2.1. Diễn đạt khái niệm, định lí theo các cách khác nhau
Kĩ năng này nằm trong hoạt động củng cố khái niệm, định lí ( Hoạt động ngôn ngữ).
Ví dụ 5: Khái niệm: “Mặt cầu”
Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu có tâm là O và bán kính bằng R.
K H E O A B D C S N M Q P
Kí hiệu: S(O,R).
Ta có thể phát biểu mặt cầu theo cách khác: dùng kí hiệu Yêu cầu học sinh đọc định nghĩa và phát hiện:
- Mặt cầu là một tập hợp.
- Tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp này (“điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi”).Từ đó ta phát biểu định nghĩa trên bằng kí hiệu như sau:
(O R) {M OM R}
S , = / =
Khi trình bày lời giải của một bài toán chủ yếu dùng cách phát biểu này. Ví dụ: Cho hai điểm A,B cố định. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M sao cho MA.MB =0 là mặt cầu đường kính AB.
Giải: Gọi O là trung điểm của AB, ta có:
( )( ) ( )(. ) . . . 2 2 OA MO OA MO OA MO OB MO OA MO MB MA − = − + = + + =
Suy ra MA.MB=0⇔MO=OA(không đổi) và MO=OA=OB.
Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm O bán kính R=OA, tức là mặt cầu đường kính AB.
Ví dụ 7: Định lí về điều kiện để hai mặt phẳng song song:
“ Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).”
Ta có thể phát biểu định lí bằng cách tương đương:
“ Để mp (P) song song với mp(Q) thì chỉ cần mp (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp(Q)”
Cả hai định lí trên đều dùng để chứng minh hai mặt phẳng song song, chứng minh các điểm đồng phẳng…
Chẳng hạn, có thể dùng định lí vừa phát biểu trên để giải bài toán sau:
Ta có A’B//D’C ⇒ A’B//(B’D’C) (1)
A’D//B’C ⇒ A’D//(B’D’C) (2)
A’B, A’D ⊂ (BDA’), A’B và A’D cắt nhau (3)
Theo cách phát biểu trên của định lí, từ (1), (2), (3) suy ra (BDA’)//(B’D’C). Qua cách phát biểu khái niệm, định lí bằng nhiều cách khác nhau học sinh sẽ học được cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau. Dùng cách nhìn phù hợp để giải quyết các vấn đề cụ thể đồng thời hiểu bản chất của khái niệm, định lí.
2.2.2. Tìm thêm các dạng ứng dụng của khái niệm, định lí
Việc khai thác ứng dụng của khái niệm, định lí không những có tác dụng củng cố khái niệm, định lí mà còn là mục tiêu sâu xa của việc học tập khái niệm, định lí.
Ví dụ 8: Khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng có ứng dụng trong giải các
bài tập : xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh ba dường thẳng đồng quy, tìm thiết diện của một mặt phẳng với hình đa diện…( ví dụ trong chương I).
Ví dụ 9: Khái niệm trục đường tròn có các ứng dụng:
a. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, b. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện,
c. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng…
Ví dụ 10: Ứng dụng của định lí: “Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt
phẳng (P) và S’ là diện tích hình chiếu H’ của H trên mặt phẳng (P’) thì S’ = S.cosϕ, trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’)” : a. Nếu góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’) xác định thì việc tính S quy về tính S’ và ngược lại. A' A D' D B' C' C B
b. Muốn tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’) ta chọn hình đa giác H trong (P) sao cho có thể tính được tỉ số diện tích S của hình H và diện tích S’ của hình H’( hình chiếu của hình H lên (P’)), dựa vào công thức trên ta tính được cosϕ suy ra ϕ được xác định, với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (P’).
2.2.3.Chứng minh định lí bằng các cách khác nhau
Ứng dụng là một hình thức của củng cố. Một dạng bài tập ứng dụng trong nội bộ toán học rất đặc sắc là bài tập chứng minh. Mục tiêu chính không phải là nhằm vào giá trị của mệnh đề cần chứng minh, mà là hướng vào việc cho học sinh tập ứng dụng những tri thức đã học trong quá trình giải bài toán và thông qua đó phát triển năng lực chứng minh của họ( biết quan sát, thí nghiệm, mò mẫm, dự đoán, dùng quy nạp, tương tự...)
Có thể rèn luyện kĩ năng này trong các hoạt động:
a. Huy động kiến thức liên quan đến giả thiết và kết luận của định lí theo các hệ thống kiến thức liên quan khác nhau dẫn tới các cách chứng minh khác nhau.
b. Hoạt động chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác: hình học tổng hợp, véctơ, toạ độ, biến hình…
Ví dụ 11: Định lí “ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một mặt
phẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó”
Chứng minh:
Cách 1:
Giả sử hai mp (P), (Q) cắt nhau theo giao tuyến a và d//(P), d//(Q). Ta cần chứng minh a//d.
Lấy M trên a, gọi (R)= (M,d).
Khi đó (P) ∩ (R) = a’ thì a’//d, a’ đi qua M.
a
d
Q P
(Q) ∩ (R) = a’’ thì a’’//d, a’’ đi qua M.
Các đường thẳng a’,a’’ cùng đi qua M và song song với d nên trùng nhau và trùng với a. Vậy a//d.
Cách 2: Gọi A bất kì thuộc (Q) khi đó tồn tại (α)=(A,d). Khi đó (α) ∩(Q)=a’’, a’’ đi qua A và a’’//d.
Gọi B là điểm bất kì thuộc (P) khi đó tồn tại (β)=(B,d). Khi đó (β)∩(P)=a’, a’ đi qua B và a’.
Suy ra a’//a’’. Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng (P), (Q), (a’,a’’) suy ra a//a’//a’’.
Như vậy, a//a’//d suy ra a//d.
Cách chứng minh trên tuy hơi dài nhưng giải thích tại sao lại lấy M∈a( trong cách 1).
Cách 3: Lấy M∈ (Q) sao cho M không thuộc (P). Ta có (M,d) cắt (Q) theo giao tuyến b song song với d. Vì M không thuộc (P) nên đường thẳng b không thể thuộc (P).
Nếu b cắt (P) tại O suy ra O∈ a. Khi đó (M,d) cắt (P) theo giao tuyến c qua O và c//d nên c trùng b. Từ đó suy ra các đường thẳng b, a, c trùng nhau và d//a.
Nếu b cắt (P) thì b//a. Từ đó do a//b và b//d suy ra a//d. Tóm lại có a//d. Ví dụ 12: Định lí ba đường vuông góc: a d a' a'' Q P B A M a d b Q P M
“ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)”
Cách 1: (Phương pháp tổng hợp)
Nếu a nằm trong (P) thì hình chiếu a’ của a trên (P) chính là a suy ra a⊥b ⇔ a’⊥b.
Nếu a không nằm trong (P), lấy 2 điểm phân biệt A, B thuộc a. Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P) chính là đường thẳng a’ đi qua hai điểm A’, B’.
Vì b⊂ (P) nên b⊥AA’.
Vậy nếu b⊥a thì b⊥ mp(a’,a), do đó b⊥a’. Ngược lại, nếu b⊥a’ thì b⊥mp(a’,a), do đó b⊥a. Cách 2: (Phương pháp véctơ)
Gọi u,u',e,v lần lượt là các véctơ chỉ phương của các đường thẳng a, a’, AA’, b. Ta có u,u',e đồng phẳng và u,e không cùng phương nên tồn tại duy nhất bộ số thực (k,l) sao cho u v k u v e v l u v k u v e l u k u'= + ⇒ . '= . + . ⇒ . '= . (vì 0 .v = e ).Từ đó suy ra v.u'=0⇔vu =0 hay b⊥ a’ ⇔b⊥a.
2.2.4.Vận dụng khái niệm vào giải quyết các bài toán thực tiễn
Nguyên lí giáo dục của Đảng: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội.”
a a' b P A B A' B' a a' b P
Vì vậy, vận dụng khái niệm vào giải quyết các bài toán thực tiễn là yêu cầu và là mục tiêu sâu xa của dạy học khái niệm.
Thực hiện kĩ năng này đòi hỏi học sinh nắm vững chắc và có hệ thống các kiến thức toán học, phát triển năng lực trí tuệ, năng lực sử dụng kiến thức đã học để tiếp thu kiến thức mới.
- Khi dạy học các khái niệm mới cần giới thiệu cho học sinh hình ảnh trực quan của khái niệm đó. Ví dụ: Khái niệm “mặt phẳng”: trang giấy, mặt bảng đen, mặt tường lớp học, mặt hồ lặng gió, mặt bàn, tấm gương phẳng,…cho ta hình ảnh một phần mặt phẳng trong không gian. Khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng: “Quyển vở ghi bài đang ở trước mặt các em, hai bìa vở là hình ảnh hai mặt phẳng phân biệt, vậy giao tuyến của chúng là gì?”. Khái niệm hình chóp: hình ảnh của các kim tự tháp Ai Cập. Khái niệm mặt phẳng song song: hình ảnh các bậc cầu thang, hai mặt đối diện của hộp diêm,…
- Giới thiệu các ứng dụng của các khái niệm trong thực tiễn: Khái niệm mặt phẳng giải thích tại sao trong thực tế kiềng ba chân hoặc giá đỡ ba chân khi đặt trên mặt đất không bị cập kênh, các đồ vật có bốn chân như bàn, ghế,… thường dễ bị cập kênh.
- Tăng cường các hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm.
Ví dụ 13: Trong bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” có khái niệm
mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng và có hoạt động tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm không thẳng hàng. Khi giải các bài tập liên quan đến chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có những trường hợp nếu ta vận dụng các khái niệm đó thì lời giải sẽ gọn gàng hơn.
Ví dụ: 1.Xét bài tập “ Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là một hình thoi,
SA=SC. Chứng minh rằng: a) (ABCD) ⊥ (SBD) b) (SBD) ⊥ (SAC).”
Muốn giải bài tập này ta chỉ cần chứng minh AC⊥ (SBD). Cách 1: giải theo cách thông thường
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có ABCD là hình thoi nên AC⊥BD(1)
Do SA=SC nên tam giác SAC cân, có SO là trung tuyến đồng thời là đường cao suy ra AC⊥ SO (2)
Từ (1) và (2) suy ra AC ⊥ (SBD).
Cách 2: dùng khái niệm mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
Ta có SA=SC, BA=BC, DA=DC suy ra (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC nên AC⊥ (SBD).
Nhận thấy cách 2 đơn giản hơn cách 1.
2.Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).
Cách 1: Áp dụng định lí về điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
Ta có BD⊥AC và BD⊥AA’⇒ BD⊥(ACC’A’)⇒ BD⊥AC’(1)
Lại có A’D⊥ AD’ và A’D ⊥ C’D’ ⇒A’D⊥(ABC’D’)⇒ A’D⊥AC’(2)
Từ (1) và (2) suy ra AC’⊥ (A’BD).
Cách 2: dùng khái niệm tập hợp các điểm cách đều 3 điểm không thẳng hàng cho trước. Gọi độ lớn cạnh hình lập phương là a. Ta có AB=AD=AA’ (vì cùng bằng a) và C’B=C’D=C’A’(vì cùng bằng a√2) D A S C B O B' C B O' D' D A' A C'
Suy ra A và C thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD. Suy ra đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).
Rõ ràng cách 2 đơn giản hơn cách 1.
Qua ví dụ trên ta thấy rằng cần ra các bài tập có cách giải quyết riêng ngoài cách áp dụng thành thạo một quy tắc nào đó để khắc phục tính ỳ. Vừa làm cho học sinh nắm vững quy tắc tổng quát để áp dụng hiệu quả cho mọi bài toán cùng loại, đồng thời biết phân tích tính đặc thù của một số bài toán riêng biệt có thể giải bằng phương pháp riêng đơn giản.