IV Tiến trình bài dạy 1 Kiểm tra bài cũ
2.Nội dung bài mớ
*) Giáo viên sử dụng các pha dạy học giải quyết vấn đề chung cho cả lớp Hoạt động 1: Định nghĩa tích của một véctơ với một số
Câu hỏi 1: Cho AB = auuuur r. Hãy dựng véctơ tổng a + a?r r
Câu hỏi 2: Em hãy nhận xét về độ dài và hớng của véctơ tổng (a + ar r)?
Câu hỏi 3: Cho AB = auuuur r. Hãy dựng véctơ tổng?
(-a) + (-a)?r r
Câu hỏi 4: Em hãy nhận xét về độ dài và hớng của véctơ tổng (-a) + (-a)?uur uur GV:
+ a + a = ACr r uuur ta ký hiệu là 2ar. +(-a) + (-a) = BDr r uuurta ký hiệu là -2ar. +2ar hay - 2ar là tích của một số và một véc tơ.
+ Tích của một số với một véc tơ cho ta một véc tơ.
Câu hỏi 5: Cho một số thực k≠ 0 và vectơ r ra 0≠ . Hãy xác định hớng và độ dài của véctơ r
ka ?
Lu ý: HS có thể trả lời ka = k ar r
. Giáo viên: Cho học sinh nghiên cứu cách trình bày trong sách giáo khoa và nêu định nghĩa.
+ Quy ớc: 0 a = 0, ar r r rì ∀ .
Gợi ý trả lời câu hỏi 1:
+ Dựng BC = auuur r nhìn vào hình vẽ sách giáo khoa.
+ a + a = AB + BC = ACr r uuuur uuur uuuur. Gợi ý trả lời câu hỏi 2:
+ AC = a + auuuur r r cùng hớng với a = ABr uuur. + uuuurAC = 2 .uur a
Gợi ý trả lời câu hỏi 3: + Dựng AD = BAuuuur uuuur.
+ (-a) + (-a) = BA + AD = BDr r uuuur uuuur uuuur. Gợi ý trả lời câu hỏi 4:
+ (-a) + (-a)r r ngợc hớng với ar. + ( ) ( )-a + -a = 2 ar r r
.
Gợi ý trả lời câu hỏi 5. + r ka là véctơ cùng hớng với r a, nếu k > 0. + r kangợc hớng với r a , nếu k<0. + ka = k ar r .
Học sinh: Liên hệ véc tơ (a) + (a)r r với r
b trong sách giáo khoa rồi phát biểu định nghĩa.
k 0 = 0, k Rìr r ∀ ∈ .
Câu hỏi 6: Nhận xét về phơng của 2 vectơ r
a và kar?
Câu hỏi 7: Cho ∆ ABC trọng tâm G, D và E lần lợt là trung điểm của BC và AC. Hãy tính vectơ:
+ uuur
GA theo vectơ GDuuur. + ADuuur theo vectơ GDuuur. + DEuuur theo vectơ ABuuur.
Gợi ý trả lời câu hỏi 6.
r
kaluôn cùng hớng với r
a.
Gợi ý trả lời câu hỏi 7.
+ uuur
GA = - 2ìGDuuur
. + ADuuur=3ìGDuuur
. + DEuuur=(-12)ABuuur. .
Hoạt động 2: các Tính chất của phép nhân vectơ với số.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 1: Cho véc tơ uuur r
AB = a. Hãy dựng và so sánh các véc tơ 2(3ar
) và 6
r
a?
Câu hỏi 2: Phát biểu công thức tổng quát cho bài toán trên?
Câu hỏi 3: Cho véc tơ uuur r
AB = a. Hãy dựng và so sánh các vectơ 1r a và r a? (-1) r a và -r a?
Câu hỏi 4: Tìm véc tơ đối của kr
a?
Gợi ý trả lời câu hỏi 1. + uuur r AB = a, dựng uur r AI = 3a. + Dựng 2.uur uuur r AI = AC = 6a. + Kết luận: 2 3a = 6a( )r r . Gợi ý trả lời câu hỏi 2. k(lar
)=(kl) r
a ∀r
a,∀k,l ∈R;
Gợi ý trả lời câu hỏi 3. 1r a=r a. (-1) r a =-r a.
Gợi ý trả lời câu hỏi 4. véc tơ đối của kar
là: (-1)kr
a= (-k) r
a = - kr
Câu hỏi 5: Cho ∆ ABC , M và N tơng ứng là trung điểm của AB và AC. Hãy so sánh các tổng sau:
uuuur uuur
MA + AN và uuur uuur
BA + AC
Giáo viên có thể viết: 1 BA +1 AC = ( BA + AC )1
2 2 2
→ → → →
hoặc
( )
2MA + 2AN = 2 MA + ANuuuur uuuur uuuur uuuur
.
Câu hỏi 6: Phát biểu công thức tổng quát cho bài toán trên?
Câu hỏi 7: Cho véc tơ AI = auur r.
Hãy dựng và so sánh các vectơ: 5ar và
(2a + 3ar r)
.
Câu hỏi 8: Phát biểu công thức tổng quát cho bài toán trên?
Câu hỏi 9: Từ định nghĩa kr
a=0r
khi nào?
Giáo viên: Cho học sinh nghiên cứu các tính chất của phép nhân véc tơ với số trong sách giáo khoa.
Gợi ý trả lời câu hỏi 5. + uuuur uuur MA + AN=uuuuurMN. + uuur uuur BA + AC=BCuuur. + MN = BC1 2 uuuur uuur . nên 1( ) MA + AN = BA + AC 2
uuuur uuuur uuur uuur
.
Gợi ý trả lời câu hỏi 6. k(r r
a b± ) = kr
a ±kbr,∀k, r
a , br. Gợi ý trả lời câu hỏi 7.
+ uur r
AI = a => uuur r
AC = 5a. + Dựng uuur r
AB = 2a ; uuurBC = 3ar. Có uuur uuur r r uuur
AB + BC = 2a + 3a = AC => 2r
a+3r
a=5r
a.
Gợi ý trả lời câu hỏi 8. (k±l) r
a = kr
a+ lr
a.
Học sinh: Liên hệ các tính chất với các kết quả tìm đợc ở trên.
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm và các tính chất về phép nhân vectơ với số
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, I là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác
ABC .Chứng minh rằng:
2. uuur uuur uur
AB + AC = 2AI.
3. Luôn tồn tại duy nhất điểm G thoả mãn:GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0 4.uuuur uuuur uuuur uuuur
MA + MB + MC = 3MG, với ∀ M.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Câu hỏi 2: Để chứng minh đẳng thức ta làm thế nào? ở bài toán này ta phân tích các véctơ ở vế nào? phân tích nh thế nào?
Câu hỏi 4: G là trọng tâm ∆ ABC ta có đẳng thức nào?
Câu hỏi 3: Đẳng thức vectơ trên có mối quan hệ gì với đẳng thức véc tơ cần chứng minh? nghĩa là ta phân tích các véc tơ MAuuuur, MBuuuur, MCuuuur theo các véc tơ GAuuur, GBuuur, GCuuur nh thế nào?
Gợi ý: 1) Từ (1) ta có: 1 2
BI BC BI O BI BC
− +uur uuur uur ur− = ⇒uur= uuur
Gợi ý trả lời câu hỏi 2:
+ Nêu các cách để chứng minh 2 vế của một đẳng thức bằng nhau.
+ Phân tích: uuur uur uur
AB = AI + IB
uuur uur uur
AC = AI + IC
⇒uuur uuurAB + AC = 2AIuur. Gợi ý 3) 2 2 ' 0 GB GC GI GA GB GC GA GI GA GA + = ⇒ + + = + = + =
uuur uuur uur
uuur uuur uuur uuur uur uuur uuuur r
Gợi ý trả lời câu hỏi 4: + uuur uuur uuur r
GA + GB + GC = 0.
Gợi ý trả lời câu hỏi 3: + uuuur uuuur uuur
MA = MG + GA; uuuur uuuur uuur
MB = MG + GB;
uuuur uuuur uuur
MC = MG + GC.
=> MAuuuur+ MBuuuur+ MCuuuur=3 MG→+( GAuuur+GBuuur +GCuuur)=3 MG→
*) Sử dụng các pha dạy học kiến tạo đối với nhóm học sinh khá, giỏi.
Qua ví dụ trên giáo viên có thể hớng dẫn học sinh dự đoán các bài toán t- ơng tự, các bài toán tổng quát.
Bài toán 1: ( Sử dụng dạy học kiến tạo ở mức độ thấp)
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB và CD. G là trung điểm của IJ. Chứng minh rằng:MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4MGuuuur, với mọi M
Gợi ý: Ta có: GA GB GC GD Ouuur uuur uuur uuur ur+ + + = . Mà GA MA MGuuur uuur uuuur= − ...Suy ra điều phải chứng minh.
Sau đó giáo viên nâng dần mức độ dạy học kiến tạo lên.
Bài toán 2: Cho n điểm phân biệt A1, A2, ..., An ( n > 2). Chứng minh rằng: a. Luôn tồn tại duy nhất điểm G thoả mãn: GA1 +GA2 +...+GAn =O. b. Với điểm M bất kỳ ta luôn có: 1 2
1
( ... n)
MG MA MA MA
n
= + + +
uuuur uuur uuuuur uuuur Nhận xét: Với điểm M bất kỳ ta có: O GA ... GA GA1 + 2 + + n = ⇔ nGM+MA1+ MA2 +...+ MAn =O ⇔ (MA MA ... MA ) n MG= 1 + 2 + + n 1 .
G gọi là trọng tâm hệ n điểm A1, A2, ..., An.
Việc chứng minh bài toán 2, học sinh có thể xây dựng bằng phơng pháp quy nạp hoặc chứng minh qua hai bớc tồn tại và duy nhất một điểm G thoả mãn.
Ta xét bài toán tổng quát của ví dụ 1 theo hệ số của các vectơ ta có :
Bài toán 3: Cho hai điểm A, B phân biệt và hai số thực α, β (α+β≠0) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một điểm I sao cho αIA + βIB=O.
Hớng dẫn: Ta có αIA + βIB =O ⇔ - αAI+ β(AB−AI)=O ⇔ (α + β) AI = βAB ⇒ AI AB β + α β =
Đẳng thức trên chứng tỏ sự tồn tại duy nhất của điểm I, đồng thời chỉ ra cách dựng điểm I.
Điểm I gọi là tâm tỷ cự của hai điểm {A, B} với bộ số (α, β). Kết hợp bài toán 2 và bài toán 3 ta có :
Bài toán 4: Với n điểm phân biệt A1, A2, ..., An ( n > 2) và n số thực α1,
α2,..., αn sao cho α1 + α2 + ... + αn ≠ 0 .Khi đó tồn tại duy nhất điểm I sao cho:
α1IA1 + α2IA2 +...+αnIAn =O.
Điểm I đợc gọi là tâm tỷ cự của hệ điểm {A1, A2, ... , An} ứng với bộ số {α1, α2,..., αn}.
Bài toán này đợc chứng minh bằng quy nạp