Trờn cơ sơ lý thuyết lan truyền súng trong cặp sợi quang liờn kết như đó trỡnh bày ở mục 1.1 của chương 1, chỳng ta xõy dựng cỏc phương trỡnh lớ thuyết lan truyền súng trong bộ liờn kết phi tuyến để làm cơ sở nghiờn cứu và xõy dựng cỏc biểu thức mụ tả sự phụ thuộc của cụng suất ra tại hai cổng ra với cụng suất vào.
Xét mụ ̣t sóng có da ̣ng như sau:
E(x,y,z,t) = (2.1) trong đú là hàm phõn bụ́ khụng gian của trường i, là hằng sụ́ truyờ̀n mode, (z) là biờn đụ ̣ (i = 1,2).
Hệ phương trỡnh đạo hàm biờn độ trong hai mode [7]
(2.2) (2.3) - là cỏc hệ số liờn kết được xỏc định như sau:
= (2.4)
= (2.6)
= (2.7)
Trong đú là cỏc trường điện (xung) của hai mode truyền, vectơ phõn cực tuyến tớnh là chỉ số khỳc xạ phi tuyến, là chỉ số chiết suất tuyến tớnh.
Ta xỏc định cụ thể chiờ́t suṍt của bụ ̣ liờn kờ́t phi tuyờ́n như sau:
ở đõy là chiờ́t suṍt của lớp phủ hai sợi quang; lõ̀n lươ ̣t là chiờ́t suṍt tuyờ́n tính của lõi sợi Kerr và lõi sợi tuyờ́n tính, là hờ ̣ sụ́ chiờ́t suṍt phi tuyờ́n của sợi Kerr.
Hai sóng trong bụ ̣ liờn kờ́t thoả mãn phương trình Helmholtz như sau:
( 2.8)
với là vecstơ sóng.
Hàm đươ ̣c xác đi ̣nh bằng cách giải phương trình (2.8) và thoả mãn phương trình Helmholtz sau:
Tương tự đờ̉ xác đi ̣nh biờn đụ ̣ bằng cách giải phương trình (2.8) và sử du ̣ng phương pháp gõ̀n đúng hàm bao biờ́n đụ̉i chõ ̣m và sau khi rút go ̣n, biờ̉u thức đa ̣o hàm biờn đụ ̣ như sau:
(2.10) (2.11) Ở đõy là hờ ̣ sụ́ liờn kờ́t:
, mụ tả sự liờn kờ́t của hai sóng trong sợi thứ i,
, mụ tả sự truyờ̀n sóng từ sợi lõn cõ ̣n,
, mụ tả ảnh hưởng của hiờ ̣u ứng Kerr trong sơ ̣i phi tuyờ́n.
Trong thực tờ́, bụ ̣ liờn kờ́t sơ ̣i có , vì võ ̣y biờ́n đụ̉i chõ ̣m theo sự thay đụ̉i của biờn đụ ̣ . Từ đó suy ra:
(2.12)
Từ hờ ̣ phương trình (2.10) (2.11) chúng ta có thờ̉ thṍy rằng hờ ̣ sụ́ làm thay đụ̉i hờ ̣ sụ́ truyờ̀n mode
Nờ́u ; là những nghiờ ̣m của phương
trình sóng dừng đụ́i với mụ̃i sợi, Khi đó hệ phương trình (2.10) (2.11) sẽ là: (2.13) (2.14) và (2.15) (2.16) ở đõy