kờ́t phi tuyờ́n
Xét bụ ̣ liờn kờ́t phi tuyờ́n có hai cụ̉ng vào và hai cụ̉ng ra như hình 2.1. Sự truyờ̀n sóng trong că ̣p sợi quang liờn kờ́t được mụ tả bằng phương trình Schrodinger liờn kờ́t phi tuyờ́n
(2.22)
là các hờ ̣ sụ́ trong chuụ̃i khai triờ̉n Taylor
n=1,2
và n=1,2 k là sụ́ sóng được tính toán ta ̣i
là võ ̣n tụ́c nhóm đảo là tán sắc võ ̣n tụ́c nhóm
là hờ ̣ sụ́ liờn kờ́t tuyờ́n tính ( ) là hờ ̣ sụ́ liờn kết phi tuyến ( )
là hờ ̣ sụ́ tán sắc bõ ̣c cao hơn
là các hờ ̣ sụ́ phi tuyờ́n Kerr thường được sử du ̣ng như sau:
Trong đú SPM và XPM là cỏc hiệu ứng tự biến điệu pha và hiệu ứng biến điệu pha chộo. Hiệu ứng tự biến điệu pha trong quỏ trỡnh lan truyền tớn hiệu (xung) gõy nờn sự dịch chuyển tần và sự mở rộng phổ của xung.
Hiệu ứng biến điệu pha chộo giữa cỏc tớn hiệu quang cú thể gõy nờn hiện tượng mộo và vỡ xung, sự mất ổn định điều biến trong giới hạn tỏn sắc thường và sự dịch chuyển tần số của xung.
Sử du ̣ng các phép biờ́n đụ̉i sau:
, n=1,2 (2.24) (2.25)
(2.26)
Đụ ̣ lờ ̣ch pha võ ̣n tụ́c giữa hai xung truyờ̀n (2.27) Đụ ̣ lờ ̣ch võ ̣n tụ́c giữa hai xung truyờ̀n (2.28) Khi hai xung có cùng bước sóng, thì hai tham sụ́ trờn được bỏ qua, cũng như khi hai sơ ̣i quang cùng võ ̣t liờ ̣u và đă ̣c tính hình ho ̣c giụ́ng nhau.
Thời gian tham chiờ́u ( là đụ ̣ rụ ̣ng xung ban đõ̀u, là chiờ̀u dài tán sắc)
Ta suy ra hờ ̣ phương trình sau:
(2.29)
(2.30)
Đờ̉ thuận lợi nghiờn cứu ảnh hưởng của thành phõ̀n phi tuyờ́n trong phương trình truyờ̀n xung trong bụ ̣ liờn kờ́t, ta coi rằng hai xung truyờ̀n có cùng bước sóng, và do có sự phõn tách lõi của hai sợi quang nờn hiờ ̣n tượng XPM xảy ra rṍt yờ́u, có thờ̉ set vờ̀ zero. Hờ ̣ phương trình (2.29) (2.30) có thờ̉ viờ́t la ̣i như sau:
(2.31)
với
Hơn nữa, nờ́u đă ̣t:
Và trong trường hợp tán sắc bṍt thường <0 thì ta có các kờ́t quả sau: D=1 ,
Hờ ̣ phương trình (2.20) suy ra:
(2.33)
(2.34)
Trong hệ phương trỡnh được đơn giản hoỏ trờn thỡ cỏc hệ số tương ứng với hệ số liờn kết tuyến tớnh và phi tuyến. Chỳng cú sự ảnh hưởng rừ rệt trong phương trỡnh truyền súng của bộ liờn kết phi tuyến. Sau đõy ta sẽ dựng phương phỏp mụ phỏng số học thực nghiệm để làm rừ sự ảnh hưởng này.
Sự mụ phỏng mang tớnh số học thường được sử dụng để minh hoạ và chứng minh cho quỏ trỡnh truyền xung trong bộ liờn kết. Cú nhiều phương phỏp số học cú thể được sử dụng. Trong khuụn khổ đề tài này, chỳng tụi xin được ỏp dụng
phương phỏp Fourier phõn đoạn Split-Step Fourier (SSFM) bởi vỡ nú cú độ chớnh xỏc cao. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Xột bộ liờn kết phi tuyến cú chiều dài z, bỏn kớnh lừi sợi a, giỏ trị tham số vận tốc nhúm = -10.2 /km tại bước súng λ= 1.55 m. Giỏ trị hệ số tuyến tớnh được sử dụng = 1, giỏ trị hệ số phi tuyến được lấy giỏ trị = (-0.15, -0.8, -2)
Ta sẽ phõn tớch cỏc hỡnh vẽ sau:
Xột một xung đơn (xung 1 trong đồ thị) được truyền vào cổng sợi phi tuyến của bộ liờn kết phi tuyến. Như đó trỡnh bày ở mục 1.2.2 “ minh hoạ ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến lờn cặp sợi quang liờn kết”, với giỏ trị = -0.15 cũn nhỏ, dạng xung ra qua sợi tuyến tớnh (xung 2) bị chia thành 2 đỉnh nhỏ hơn và bị mộo so với dạng xung vào (hỡnh 2.3). Khi giỏ trị tăng lờn thỡ hiệu ứng Kerr xảy ra mạnh hơn, đỉnh xung sẽ thấp đi và bị trải rộng hơn (hỡnh 2.4, 2.5)
Hỡnh 2.4: Dạng xung vào và xung ra trong NLDC với hệ số phi tuyến = -0.8
Hỡnh 2.5: Dạng xung vào và xung ra trong NLDC với hệ số phi tuyến = -2
Nhận xột:
Kết quả mụ phỏng số học mụ tả một xung đơn truyền qua bộ liờn kết phi tuyến giỳp ta mụ phỏng được xung ra, từ đú thấy được ảnh hưởng của tỏn sắc và cỏc hiệu ứng phi tuyến lờn hoạt động của bộ liờn kết phi tuyến.
Trong minh hoạ trờn thỡ ta đó mụ phỏng đỏp ứng của xung vào qua cổng ra tuyến tớnh. Cũn tại cổng ra phi tuyến thỡ dưới ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr, một phần cụng suất khụng thể truyền hết qua sợi tuyến tớnh mà vẫn cũn truyền một phần trong sợi phi tuyến.
Do đú bộ liờn kết phi tuyến khụng chỉ được dựng để chuyển mạch và thực hiện cỏc phộp toỏn logic mà thiết bị này cũn cú thể được sử dụng để sắp xếp cỏc xung yếu và mạnh, tỏch rời chỳng trong hai cổng ra 1 và 2 như hỡnh 2.2.
2.5 Khảo sỏt ảnh hưởng của hiờ ̣u ứng Kerr lờn quá trình chuyển đổi cụng suất của bụ ̣ liờn kờ́t phi tuyờ́n
Nguyờn tắc hoạt động của NLDC dựa trờn cơ sở của cỏc hiệu ứng phi tuyến kiểu Kerr, do chiết suất của mụi trường truyền dẫn thay đổi theo cường độ trường lan truyền trong đú, nờn khi cường độ trường quang tăng thỡ chiết suất của sợi phi tuyến tăng làm cho phản xạ trong sợi phi tuyến tăng và tớn hiệu khỳc xạ qua sợi tuyến tớnh giảm, nờn cụng suất khụng thể truyền hết qua sợi tuyến tớnh mà vẫn cũn một phần trong sợi phi tuyến.
Cường độ vào càng cao, thỡ dĩ nhiờn hiệu ứng Kerr xảy ra càng mạnh và do đú cụng suất quang hầu như chỉ được truyền trong sợi phi tuyến.
Từ phương trỡnh (2.21) ta cú thể thấy cụng suất chuyển đổi biến thiờn tuần hoàn từ sợi quang này sang sợi quang khỏc theo chiều dài bộ liờn kết.
Trong phần mụ phỏng sự lan truyền của một xung đơn ở trờn, ta đó thấy là đỏp ứng xung ra qua cổng ra tuyến tớnh khụng cũn giữ nguyờn hỡnh dạng ban đầu. Dưới tỏc động của hiệu ứng Kerr, một phần cụng suất khụng thể truyền hết qua sợi tuyến tớnh mà vẫn cũn truyền một phần trong sợi phi tuyến. Dạng xung ra ở cổng tuyến tớnh bị chia nhỏ và mộo xung, đú là do tỏc động của hiệu ứng SPM ( hiệu ứng XPM được cho là khụng đỏng kể).
Cũng từ phương trỡnh lan truyền súng trong bộ liờn kết phi tuyến, ta thiết lập hệ số truyền cụng suất của bộ liờn kết để tiện việc nghiờn cứu và minh hoạ ảnh hưởng của thành phần phi tuyến.
Trong phần nghiờn cứu về sự ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr, chỳng tụi dựa trờn lý thuyết của S.M.Jensen được xõy dựng từ những năm 1980. Hai khỏi niệm cơ bản là độ dài kết hợp và độ dài 3dB được đưa vào.
Độ dài kết hợp của bộ liờn kết là độ dài mà cụng suất từ một sợi truyền hoàn toàn qua sợi khỏc của bộ liờn kết, nghĩa là hệ số truyền cụng suất
trong cựng một sợi bằng khụng = 0. Sau khi truyền qua một chiều dài kết hợp thỡ cụng suất trong mỗi sợi quang chuyển đổi hoàn toàn sang sợi thứ hai. Độ dài 3dB của bộ liờn kết là độ dài mà một nửa cụng suất được truyền từ sợi này sang sợi khỏc của bộ liờn kết, nghĩa là hệ số truyền cụng suất = 50%.
Độ dài kết hợp và độ dài 3dB của NDLC khụng chỉ phụ thuộc vào hệ số liờn kết C mà cũn phụ thuộc cụng suất vào
= {1+ cn(2z| )}/2 (2.35)
(z) = (0) - (z)
Trong đú cn(2z| là hàm số Jacobi elliptic, và = ở đõy là cụng suất tới hạn (sẽ trỡnh bày chi tiết ở phần sau).
• Khi <<1, (0) << thỡ (z) = trong trường hợp này hệ số truyền cụng suất của NLDC khụng phụ thuộc cụng suất vào và hoạt động giống như tớnh chất của LDC. Hiệu ứng Kerr chưa xảy ra, cụng suất
truyền từ sợi này sang sợi khỏc cú tớnh tuần hoàn theo chiều dài bộ liờn kết.
• Khi = 1, (0) = thỡ (z)= (1+ sec(2kz)) /2, một nửa cụng suất được truyền từ sợi này sang sợi kia của bộ liờn kết.
• Khi >>1, (0) >> , ứng với cụng suất vào lớn thỡ hiệu ứng Kerr cao, lỳc này chiết suất của sợi phi tuyến đủ lớn để hiện tượng khỳc xạ thấp hơn hiện tượng phản xạ nờn hệ số truyền cụng suất qua sợi tuyến tớnh nhỏ hơn 50%.
Hỡnh 2.7: Dạng cụng suất truyền trong ống dẫn súng 1 của NLDC ứng với cỏc giỏ trị khỏc nhau của .
Khi cụng suất vào thấp, ≤ 0.6, NLDC hoạt động giống như bộ liờn kết tuyến tớnh. Tại khoảng cỏch Z/ 0.5, tất cả cỏc họ đường cong đều thể hiện cụng suất trong sợi phi tuyến được truyền sang sợi tuyến tớnh.
Do đú hiệu ứng Kerr là nguyờn nhõn làm cho cụng suất ra tại cổng 1 và cổng 2 phụ thuộc cụng suất vào (0). Bằng sự điều khiển cụng suất đầu vào, ta cú thể điều khiển sự chuyển đổi cụng suất từ cổng 1 sang cổng
2 và ngược lại. Do vậy NLDC là một thiết bị chuyển mạch quang sử dụng tớnh phi tuyến làm nguyờn tắc hoạt động. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hỡnh 2.8: Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC qua cổng ra (1) và (2) phụ thuộc vào cường độ vào. NLDC hoạt động giống như bộ chuyển mạch quang dựa trờn hiệu
ứng Kerr. Đường nột liền theo lý thuyết, đường nột đứt theo thực nghiệm.
2.6 Khảo sỏt kết quả bằng mụ phỏng thực nghiệm và tớnh toỏn số học
Ta sử dụng phương phỏp mụ phỏng và tớnh toỏn số học để kiểm nghiệm sự ảnh hưởng của hiệu ứng Kerr lờn hoạt động của NLDC.
Xột bộ liờn kết phi tuyến
Hỡnh 2.9: Sơ đồ của NLDC với chiều dài liờn kết
Từ hệ phương trỡnh (2.2) (2.3), ta viết được phương trỡnh truyền súng trong NLDC cú cấu trỳc dạng phẳng như hỡnh 2.10 như sau:
(z)/dz = i . (z) + i( | + 2 | (z) (2.36) (2.37) Trong đú (z) và (z) là biờn độ tương ứng với mode ngang của trường thứ i (x,z)= (x) (z)exp[-i z] với i= 2,4
Cỏc hệ số liờn kết được xỏc định như sau:
= ( /4) (x) dx (2.38)
= ( /4) (x) dx (2.39)
= ( ) (x) dx (2.40)
= ( ) (x) (x) dx (2.41)
với = - ; = -
Hỡnh 2.10: Cấu trỳc dạng mặt phẳng của NLDC. Ở đõy P = (0) là cụng suất vào tại cổng 1, (z) cụng suất truyền trong kờnh i (i = 2,4) = =2.56,
=2.589, =2.585
Ta sẽ phõn tớch khi cụng suất vào = (0) được bơm vào cổng 1 (mụi trường 2) và (0)=0 thỡ NLDC sử dụng tham số trờn hoạt động như bộ chuyển mạch quang hay bộ phõn chia cụng suất quang như thế nào.
Từ phương trỡnh (2.35), ta cú: = {1+ cn(2 z|m)}/2 trong đú = *(z), và m =
Hỡnh 2.11: Dạng trong cổng 1 của NLDC ứng với cỏc cụng suất vào khỏc nhau với d=3 và b=3 m
Hỡnh 2.12: Dạng trong cổng 1 của NLDC ứng với cỏc cụng suất vào khỏc nhau với d=3 và b=2 m
Nhận xột:
Hai đồ thị hỡnh 2.11 và 2.12 tớnh toỏn thực nghiệm số học cụng suất của NLDC hoàn toàn phự hợp với đồ thị dựa vào lý thuyết hỡnh 2.7.
Chỳng ta sẽ đi sõu vào nghiờn cứu ảnh hưởng của hiệu ứng tự biến điệu pha SPM tới cụng suất chuyển đổi giữa cỏc đường dẫn súng của NLDC như thế nào (với giả thiết bỏ qua hiệu ứng biến điệu pha chộo XPM xảy ra khụng đỏng kể). Cụng suất tới hạn được xỏc định như sau:
= Aλ / trong đú A là diện tớch vựng mode hiệu dụng, bước súng λ, là hệ số chiết suất phi tuyến của sợi Kerr, chiều dài liờn kết: khi cụng suất chuyển đổi hoàn toàn từ cổng1 sang cổng 2 trờn một độ dài liờn kết , = /2K trong đú K là hệ số liờn kết tuyến tớnh giữa hai cổng, trong phạm vi luận văn này ta chọn K= 1 . Do vậy 1.5cm.
Nhận xột: khi tăng thỡ giảm, điều này sẽ được ứng dụng sau này khi tăng tớnh phi tuyến làm giảm cụng suất tới hạn.
Từ hệ phương trỡnh (2.36) (2.37) suy ra
/dz = K (z) + Q(z)| (2.42)
/dz = K (z) + R(z)| (2.43)
trong đú K là hệ số liờn kết tuyến tớnh giữa hai đường dẫn súng liền kề, Q và R mụ tả ảnh hưởng của hiệu ứng SPM, tỉ lệ với hệ số chiết suất phi tuyến theo
cụng thức (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Q = = , Q và R tỉ lệ thuận với .
Từ khỏi niệm hiệu ứng Kerr, ta được biết chiết suất của mụi trường truyền dẫn thay đổi theo cường độ trường lan truyền: n( ) = n + . Trong đú n( ) là chỉ số chiết suất khỳc xạ trong ống i (i =1;2).
Độ lệch pha lan truyền đầu vào của bộ liờn kết phi tuyến được xỏc định:
SPM gõy ra sự tự dịch pha trong quỏ trỡnh lan truyền súng với độ lệch pha
= =(n+ .Với
tiếp với (cường độ vào) nờn độ lệch pha phi tuyến giống hệt sự thay đổi của cường độ xung. làm cho cụng suất khụng chuyển đổi toàn bộ từ cổng 1 sang cổng 2, mà vẫn cũn truyền một phần trong cổng 1. Sự gia tăng hiệu ứng SPM được thực hiện ở đường dẫn súng 1( sợi phi tuyến), từ thực nghiệm người ta xỏc định được Q(z) qua năm biểu thức mụ tả ảnh hưởng của SPM như sau [10]:
(dạng tuyến tớnh); (dạng số mũ)
(dạng Gaussian); (dạng hằng số)
và (dạng Logarit).
Trong khi đú ở đường dẫn súng 2 (sợi tuyến tớnh) được duy trỡ R(z) =1.
Trong cỏc biểu thức SPM được chuẩn hoỏ này thỡ Q(z) tăng từ 1 tới sau quỏ trỡnh chuyển đổi cụng suất qua chiều dài L của NLDC.
Hỡnh 2.14: Mối quan hệ giữa và ( gia tăng SPM dẫn tới giảm ) K=1, = /2, R(z)=1 (cổng 2), Q(z) (cổng 1)
Hỡnh 2.15: Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC khi K=1, = /2K= , Q(z) = R(z) = 1
Nhận xột: Dạng đồ thị đặc tớnh cụng suất ra của NLDC hoàn toàn phự hợp với lý thuyết.
Ứng với năm biểu thức SPM trờn ta cú cỏc đặc tớnh cụng suất ra của NLDC như sau:
Hỡnh 2.16: (a) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 1; (b) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 2. Sử dụng K=1, = /2K= , Q(z) ống 1,
=3;4.2 và 6
Hỡnh 2.17: (a) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 1; (b) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 2. Sử dụng K=1, = /2K= , Q(z) cổng 1,
=2; 3.8 và 5 3) Dạng hằng số:
Hỡnh 2.18: (a) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 1; (b) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 2. Sử dụng K=1, = /2K= , Q(z) cổng 1,
=2; 3.4 và 5 4) Dạng số mũ:
Hỡnh 2.19: (a) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 1; (b) Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng 2. Sử dụng K=1, = /2K= , Q(z) cổng 1,
=4; 5.5 và 7.0
5) Dạng Gaussian (theo thực nghiệm)
Hỡnh 2.20 Đặc tớnh cụng suất ra của NLDC tại cổng ra 1 và 2. Xung vuụng 540 fs; Xung Gauss 90 fs.
Nhận xột: Đặc tớnh cụng suất ra tại hai cổng phự hợp với lý thuyết ( hỡnh 2.8). Ta thấy khi β tăng thỡ dạng đường đặc trưng hệ số truyền cụng suất khụng thay đổi nhưng cú độ dốc lớn hơn, nghĩa là khi β tăng thỡ hệ số truyền cụng suất
trong sợi phi tuyến tăng và hệ số truyền cụng suất từ sợi phi tuyến sang tuyến tớnh giảm.
2.7 Kết luận chương 2
Từ việc thiết lập phương trỡnh lý thuyết truyền súng trong bộ liờn kết phi tuyến, chỳng ta tập trung vào nghiờn cứu ảnh hưởng của hiệu ứng SPM được thể hiện trong hệ số liờn kết phi tuyến. Qua năm hệ thức của SPM và từ cỏc biểu thức diễn tả sự truyền cụng suất giữa cỏc sợi, chỳng ta đó vẽ được cỏc đường đặc trưng truyền cụng suất trong bộ liờn kết phi tuyến.
Sự phụ thuộc của hệ số truyền cụng suất của bộ liờn kết phi tuyến vào hiệu ứng Kerr tương ứng với phụ thuộc vào cường độ vào. Ứng với một giỏ trị của cường độ vào nếu hệ số chiết suất phi tuyến tăng thỡ hệ số truyền cụng suất qua sợi tuyến tớnh giảm. Đối với khoảng cường độ vào thấp thỡ dự cú thay đổi hệ số chiết suất phi tuyến thỡ hệ số truyền cụng suất vẫn cú giỏ trị khụng thay đổi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết quả nghiờn cứu lý thuyết sự truyền xung và sự chuyển đổi cụng suất trong bộ liờn kết phi tuyến hoàn toàn phự hợp với thực nghiệm.
Chỳng tụi đó thiết lập phương trỡnh lan truyền súng và cỏc biểu thức hệ số truyền cụng suất trong bộ liờn kết phi tuyến dựa trờn cơ sở lý thuyết của S.M.Jensen. Đõy là cơ sở để nghiờn cứu ảnh hưởng của hiệu ứng phi tuyến lờn hoạt động của bộ liờn kết. Cỏc kết quả chớnh mà chỳng tụi đó thu được là:
1) Bộ liờn kết phi tuyến mà nguyờn tắc làm việc dựa trờn hiệu ứng Kerr cú thể được sử dụng để làm thiết bị chuyển mạch quang, thực hiện cỏc phộp