* Những tri thức về phơng pháp thực hiện những hoạt động tơng ứng với nội dung toán học cụ thể nhu cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỷ, giải phơng trình trung phơng, dựng tam giác biết độ dài ba cạnh của tam giác đó,… * Những tri thức về phơng pháp thực hiện những hoạt động toán học phức hợp nh định nghĩa, chứng minh, giải toán bằng cách lập phơng trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích, Cho học sinh tập luyện những hoạt… động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực toán học t- ơng ứng.
* Những tri thức về phơng pháp thực hiện những hoạt động toán học nh hoạt động t duy hàm, phân chia trờng hợp, lật ngợc vấn đề,…
* Những tri thức phơng pháp thực hiện những hoạt động chung nh so sánh, khái quát hoá, trừu tợng hoá, xét tơng tự,…
* Những tri thức phơng pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic nh thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trớc, liên kết hai mệnh đề thành một hội hay tuyển của chúng.v.v…
Nhìn chung liên quan đến tri thức phơng pháp có nhiều vấn đề cần cân nhắc, giải quyết, chẳng hạn nh: - Xác định tối thiểu những tri thức cần dạy.
- Xác định yêu cầu về mức độ hoàn chỉnh của những tri thức phơng pháp cần dạy, đặc biệt đối với những phơng pháp có tính chất tìm đoán. Những tri thức quá chung chung sẽ ít có tác dụng chỉ dẫn, điều khiển hoạt động. Mặt khác những tri thức phơng pháp rậm rạp lại có thể làm cho học sinh rơi vào tình trạng rối ren.
-Xác định yâu cầu về mức độ tờng minh của những tri thức phơng pháp cần dạy: Dạy một cách tờng minh hay thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động, hay chỉ thực hành ăn khớp với tri thức phơng pháp nào đó, hay là một hình thức trung gian với hình thức kể trên.
- Xác định yêu cầu về mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành tri thức phơng pháp, lập luận lôgic hay dựa vào trực giác hoặc thừa nhận không chứng minh.
Đứng trớc một nội dung dạy học, ngời thầy giáo cần nắm tất cả các tri thức phơng pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm đợc nh vậy không phải để dạy tất cả cho học sinh một cách tờng minh mà còn phải căn cứ vào mục tiêu và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việc thích hợp, từ cấp độ dạy học tờng minh tri thức phơng pháp đợc phát biểu tổng quát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phơng pháp.
Sau đây chúng ta xét những kỹ năng cơ bản cần rèn luyện cho học sinh:
a, Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựng ảnh của các hình qua các phép dời cụ thể, phép vị tự.
Trớc hết cần quan tâm dựng ảnh của đờng, tia,đoạn thẳng, góc, đờng tròn, các hình đơn giản thờng gặp khi giải toán.
Ví dụ 3: Học sinh cần biết các cách dựng dựng ảnh của đờng thẳng a qua phép đối xứng trục, có trục là d trong
các trờng hợp a cắt d ; a vuông góc với d ; a song song với d.
Cách tổng quát dựa vào bất biến thẳng hàng suy ra dựng ảnh của đờng thẳng quy về dựng ảnh của hai điểm M, N thuộc đờng thẳng đó; đờng thẳng ảnh sẽ đi qua hai điểm M’, N’ .
Có thể rèn luyện cho học sinh những kỹ năng khác dựng ảnh của đờng thẳng ứng với những trờng hợp cụ thể a, b, c nh sau: a' d a d a d a a' H I M M M' M'
Chẳng hạn có thể lập luận đối với trờng hợp a, dẫn tới a’ là đờng thẳng qua I tạo với d một góc bằng góc giữa d và a.
Vì Đd : d→ d’
a→ a’ nên (d, a ) = ( d, a’)
Trờng hợp c, lập luận quy về dựng ảnh của M là M’, dựng a’ qua M’ và a’ // d. Lập luận đó dựa vào tính chất bảo tồn góc của phép đối xứng trục, góc giữa d và a bằng góc giữa d và a’.
Thông qua việc xét các cách dựng ảnh, học sinh không chỉ đợc rèn luyện kỹ năng mà còn là cơ hội khắc sâu các bất biến và các tính chất khác.
Cụ thể đối với phép vị tự, định nghĩa không có gì phức tạp nhng GV phải có bảng phụ tốt để học sinh hình dung phép vị tự biến một hình H thành hình H’ nh thế nào, và có thể vẽ các trờng hợp tơng ứng với k > 0; k < 0; k = -1. Ngoài các tính chất của phép vị tự, ta chú trọng nói kỹ tới ảnh của đờng tròn qua phép vị tự và cách xác định tâm vị tự của hai đờng tròn. V
Ví dụ 4: Xét bài toán “Cho góc ∠xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Dựng đờng tròn đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc”
x y A I' I O A'
Chúng ta có thể phân tích việc truyền thụ tri thức phơng pháp thông qua việc tìm kiếm lời giải của bài toán: + Làm rõ tri thức sự vật xuất hiện trong bài toán: Góc ∠xOy và điểm A.
Yêu cầu dựng đờng tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai cạnh của góc; có nghĩa là đờng tròn cần dựng phải thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện.
Giáo viên kiến tạo kiến thức: Dùng phép vị tự vì có điểm A, O cố định, chỉ cần lập tỷ số vị tự.
Đặt vấn đề ngợc lại là tại sao có điểm cố định mà không dùng phép đối xứng tâm? hay là có tia Ox, tia Oy và OA cố định thì có thể dùng phép đối xúng tâm, đối xứng trục, phép tịnh tiến?
-ở đây tạm bỏ qua dữ kiện đi qua điểm A, luôn dựng đựơc đờng tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy có tâm nằm trên tia phân giác của góc. Và có thể khẳng định rằng tâm đờng tròn cần dựng cũng nằm trên tia phân giác đó
+ Đề xuất phép biến hình để giải bài toán dựng hình. + Xây dựng hệ thống các bớc dựng hình:
Bớc 1. Phân tích:
Giả sử ta dựng đợc đờng tròn tâm I đi qua điểm A và tiếp xúc với hai tia Ox, Oy. Tâm I của đờng tròn này phải nằm trên đờng phân giác của góc ∠xOy.
Ta hãy dựng thêm đờng tròn tâm I’ cũng tiếp xúc với Ox, Oy. Nh vậy O là tâm vị tự ngoài của đờng tròn tâm I và I’.
- Dựng một đờng tròn tâm I’ sao cho tiếp xúc với Ox và Oy.
- Gọi A’ là một trong hai giao điểm của tia OA với đờng tròn tâm I’.
- Thực hiện phép vị tự tâm O với tỷ số vị tự k = '
OAOA OA
thì đờng tròn tâm I’ sẽ biến thành đờng tròn tâm I cần dựng thoả mãn các điều kiện bài toán.
Bớc 3. Chứng minh:
Dễ dàng chứng minh đợc đờng tròn tâm I tiếp xúc với hai tia Ox và Oy vì tâm I nằm trên đờng phân giác của góc ∠xOy.
Qua phép vị tự tâm O tỷ số k = '
OAOA OA
nên A’ thuộc đờng tròn tâm I’ còn A thuộc đờng tròn tâm I.
Bớc 4. Biện luận nghiệm hình:
Vì tia OA luôn luôn cắt đờng tròn tâm I tại hai điểm phân biệt nên bài toán luôn có hai nghiệm hình. Bài toán trên là trờng hợp riêng của bài toán tổng quát sau:
Cho góc xOy và đờng tròn ( O ). Hãy dựng đờng tròn ( O’ ) tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy và tiếp xúc với đờng tròn ( O ).
Theo quan điểm kiến tạo học sinh dựa vào kinh nghiệm của bản thân,huy động chúng vào quá trình tơng tác với các tình huống, tiêu hoá chúng và rút ra đợc điều cần hình thành.
Xuất phát từ bài toán đơn giản ở ví dụ 4 trên chúng ta phân tích để đi đến lời giải cho bài toán tổng quát Bài toán trở thành tìm điểm tiếp xúc S của ( O2 ) với ( O1).
Thực hiện phép vị tự: V O21 O R R S − : ( O2 ) → ( O1)
( S , O , O’ thẳng hàng) suy ra ( O’) là ảnh của ( O ) nên S là giao điểm của OO’ với đờng tròn ( O ) Cách dựng:
Dựng hai tiếp tuyến (Ox)’; (Oy)’ lần lợt song song với Ox và Oy. Khi đó (Ox)’ cắt (Oy)’ tại O’
Nhờ dựng đờng tròn qua tâm của ( O ), bán kính R và tiếp xúc với hai cạnh O’x1 và O’y1. x1 y1 x y (Oy)' (Ox)' S O1 O' O O2 O’x1// Ox cách Ox một khoảng bằng R - R1 O’y1// Oy cách Oy một khoảng bằng R - R1.
Nh vậy, ở trên chúng ta đã xét loại loại kỹ năng giải bài toán thuận sau đây:
Cho biết phép biến hình cụ thể F và hình H, hãy xác định hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Ta lại xét một loại kỹ năng khác không kém phần quan trọng đó là:
b, Kỹ năng xác định phép biến hình cụ thể F khi cho biết hình này là ảnh của hình kia.
Trong SGK Hình học 11 hiện hành đã quan tâm đến kỹ năng trên thông qua yêu cầu học sinh giải các bài tập hoặc trình bày trong phần lý thuyết nh xác định phép vị tự khi cho biết hai đờng tròn; các bài tập trong SGK Hình học 11 chẳng hạn: Bài tập 2 trang 9 yêu cầu tìm tất cả các phép tịnh tiến biến đờng thẳng a thành đờng thẳng a’ khi cho a// a’. Bài tập 7 trang 13 yêu cầu tìm phép đối xứng trục Đa biến d thành d’ nếu:
( a ): d // d’ ( b ): d≡ d’ ( c ): d cắt d’
( d ): d ⊥d’ d d' d ; d' d' d d d' d) b) a)
Giáo viên cần quan tâm bổ sung các trờng hợp khác phong phú hơn và đồng thời cho thêm hệ thống các bài tập ứng dụng khác để rèn luyện tốt hơn các kỹ năng. Từ đó giúp học sinh nhạy cảm hơn trong việc lựa chọn các phép biến hình khi giải các bài toán cụ thể.
Ví dụ :
Cho hai đờng tròn có tâm lần lợt là O và O’; các bán kính tơng ứng R và R’ tiếp xúc với nhau. Hãy xác định các phép vị tự biến đờng tròn ( O ) thành đờng tròn ( O’ ).
Kiến thức chủ yếu để xác định phép vị tự là dựa vào các mệnh đề sau:
-Qua phép vị tự đờng thẳng a biến thành đờng thẳng a’ thì a // a’ hoặc a trùng a’ ( phơng bất biến).
c) b) a) M' O I O O' O O' O' I' M M' M'' I M M'' I' M' M
Xét trờng hợp a: Hai đờng tròn ( O ) và ( O’) tiếp xúc ngoài. Ta vẽ qua O và O’ hai đờng thẳng song song bất kỳ cắt ( O ) tại M và ( O’) tại M’ và M’’; các véc tơ OM và O'M' cùng hớng, còn OM và O'M''ngợc hớng. Khi đó tâm I của phép vị tự biến ( O ) thành ( O’) là giao của đờng thẳng MM’ và OO’;
Đó là phép vị tự V R R I
'
. Gọi I’ là điểm tiếp xúc của ( O ) và ( O’). Khi đó hai tam giác MOI’ và M’’O’I’ là những tam giác cân có hai góc O∧ và O∧' bằng nhau, do chúng là các góc so le trong. Từ đó các góc ở đáy ∠
O
MI' và ∠M’’I’O’ bằng nhau nên M, I’, M’’ thẳng hàng. Suy ra I’ làtâm vị tự trong của phép vị tự V R
RI I
'
− biến ( O ) thành ( O’).
Vận dụng cách xác định phép vị tự biến ( O ) thành ( O’) ở trờng hợp a) cho trờng hợp b), với ( O ) và ( O’) tiếp xúc trong, ta có điểm tiếp xúc I của hai đờng tròn ( O ) và ( O’) là tâm vị tự ngoài của phép vị tự V R
RI I
' biến biến ( O ) thành ( O’); tâm vị tự trong của phép vị tự biến ( O ) thành ( O’) là I’, giao của MM’’ với đ ờng thẳng OO’, đó là phép vị tự V R
RI I
'' . ' .
Trong trờng hợp c) khi ( O ) và ( O’) có các bán kính R = R’ tiếp xúc ngoài thì điểm tiếp xúc I’ là tâm vị tự trong của phép vị tự V 1
'
−
I biến ( O ) thành ( O’); đó chính là phép đối xứng tâm I’.
Để rèn luyện các kỹ năng xác định phép vị tự nói trên chúng ta cho học sinh luyện tập các dạng toán cần xác định phép vị tự và tổng quát xác định phép biến hình nói chung.
2.2.2.Các tri thức phơng pháp theo hớng vận dụng lý thuyết kiến tạo thông qua dạy học các kiến thức về phép biến hình cần chú trọng: