2 Nhóm
2.2Các tính chât cơ bạn cụa nhóm
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ n 1 n a k i n > khi khi 0 n 0 n 0
Tính chât 1: Phaăn tử đơn vị cụa moơt nhóm là duy nhât.
û cụa nhóm chư có duy nhât moơt phaăn tử nghịch đạo.
tử a cụa nhóm (X, • ) có hai phaăn tử nghịch đạo là b
ính chât 3: Trong moơt nhóm luaơt giạn ước thực hieơn được với mĩi phaăn tử, tức là
• b = a • c hoaịc b • a = c • a kéo theo b = c.
a b
a ) −− …a
Chứng minh:
Giạ sử nhóm (X, • ) có hai phaăn tử đơn vị là 1 và 1* thì 1 = 1•1* = 1*.
Tính chât 2: Moêi phaăn tư
Chứng minh: Giạ sử phaăn
và b* thì b = 1• b = (b*• a) • b = b*• (a • b) = b*• 1 = b*.
T
từ đẳng thức a
Chứng minh: Giạ sử a, b, c là các phaăn tử cụa nhóm (X, •) thỏa mãn đẳng thức = a c. Nhađn beđn trái hai vê cụa đẳng thức này với a–1, ta có
a–1(a b) = a–1(a c), hay (a–1a) b = (a–1a) c, hay 1b = 1c, tức là b = c.
Tính chât 4: Trong nhóm (X,• ) ta có
1) (a b)–1 = b–1 a–1, hoaịc toơng quát hơn, (a a1 2 n–1 n n n
và đaịc bieơt, (a ) = (a ) , trong đó n
… a –1 = a−1 a 1 1 2−1a 1 1− , n –1 –1 n ∈∠ . 2) an am = an+m và (an)m = an m với mĩi n, m ∈9 . Chứng minh:
1) Vì (ab)(b–1a–1) = a(bb–1)a–1 = aa–1 = 1 (b–1a–1)(ab) = b–1(a–1a)b–1 = b–1b = 1
2) Nêu n = 0 hoaịc m = 0 là hieơn nhieđn. Nêu n, m > 0 , các cođng thức được suy ra rừ định lí 1.2. Nêu m , n < 0 thì
n am = (a–1)–n(a–1)– m = (a–1)(–n) + (–m) = (a–1)– (n + m) = an+m
(an)m = [(a–1)– n] m = [(a–n)–1]m = (a–n) – m = an m . Nêu m < 0 < n thì (an)m = ((an)–1 )– m = ((a–1)n)– m = (a–1)n (– m) = (a–1) – n m = an m a a = ⎩ ⎨ n 1 n 1 m n ) a ( ) a ( a − − − − khi n+m<0 n m ⎧ an+ma−m(a−m)−1 khi n+m≥0 = a . Tính chât 5: n + m
ho (X, • ) là moơt nửa nhóm. Khi đó ba đieău sau đađy là tương đương:
aăn tử a, b cụa X, phương trình ax = b cũng như phương trình
đ t p và mĩi phaăn tử
tư ại).
ơm ới mĩi phaăn tử b bât kì cụa X , nêu gĩi c là nghieơm cụa hương trình ax = b, thì ta có eb = e(ac) = (ea)c = ac =b.
ử nghịch đạo trái cụa a là e. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
–1
aịt khác, với mĩi phaăn tử b cụa X, gĩi b là nghịch đạo trái (và cũng là nghịch ụa b thì ta có : be = b(b–1b) = (bb–1)b = eb = b. ịch đạo cụa a và do đó X là C 1) (X, • ) là moơt nhóm. 2) Với mĩi ph
ya = b có nghieơm duy nhât.
3) Trong X toăn tái phaăn tử ơn vị trái ( ương ứng: đơn vị hại) cụa X đeău có nghịch đạo trái( ơng ứng: nghịch đạo ph
Chứng minh:
(1 ⇒ 2) Ta thây ngay giá trị x = a–1b là nghieơm cụa phương trình. Đó là nghie duy nhât vì nêu c cũng là nghieơm cụa phương trình, tức là ac = ax = b thì c = x. (2 ⇒ 3) Gĩi e là nghieơm cụa phương trình ya = a. Ta sẽ chư ra e là phaăn tử đơn vị trái. Thaơt vaơy, v
p
Giạ sử a là moơt phaăn tử bât kì cụa X, khi đó phaăn t ghieơm cụa phương trình ya =
n
(3 ⇒ 1) Giạ sử trong X toăn tái phaăn tử đơn vị trái e và mĩi phaăn tử cụa X đeău có nghịch đạo trái. Lây moơt phaăn tử bât kì a cụa X. gĩi a–1 là nghịch đạo trái cụa a và (a–1)–1 là nghịch đạo trái cụa a–1. Khi đó ta có
aa–1 = e(aa–1) = ((a–1)–1 a–1) (aa–1) = (a–1)–1(a–1 a)a–1 = (a–1)–1(ea–1) = (a–1) a–1 = e.
–1
M
đạo phại) c
–1
Vaơy, e là phaăn tử đơn vị cụa X và a là phaăn tử ngh oơt nhóm. m