6. Sô nguyeđn tô
1.2 Tích cụ an phaăn tử trong nửa nhóm
cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n.
và chư khi d là ước chung cụa a1,...,an và nêu c là ước chung bât kỳ cụa a1,...,an thì c là ước d.
• NHAƠN XÉT:
a) Nêu d1 và d2 là các ước chung lớn nhât cụa a1, a2, ..., an thì d1 = ±d2 .
Người ta thường viêt (a1, a2, ..., an ) đeơ chư ước chung lớn nhât khođng ađm cụa n sô nguyeđn a1, a2, ..., an .
b) Rõ ràng raỉng ƯCLN cụa 0 và b là b.
Chư
aịt I = {y : y =
ùng minh :
Nêu a1 = a2 = ... = an = 0 thì rõ ràng (a1, a2, ..., an ) = 0. Giạ sử a1, a2, ..., an khođng đoăng thời baỉng khođng.
∈9 ∑n = x a , x Đ ∈9 , i =1,2,…,n} và J = {| y | : y ∈ 1 i i i i I}– {0}. 1 i i ia x I. Ta sẽ
chứn n . Thaơt vaơy, với moêi i ta có ai =
qi + ri ; 0 ≤ ri < | d |. Suy ra
J. Từ đó suy ra d là ước chung cụa ,...,a . Maịt khác nêu c là ước chung bât kỳ cụa a ,...,a thì c là ước cụa
Vì a1, a2, ..., an khođng đoăng thời baỉng 0 neđn I ≠ {0} và từ đó J ≠ ∅. Do J bị haịn dưới, neđn J có sô nhỏ nhât. Giạ sử | d | = min J với d = n ∈
c ∑
=
g minh d là ước chung lớn nhât cụa a1,..., a d
ri = ai – dqi = (–x1qi )a1 +...+ (– xi–1qi )ai –1 + (1– xi qi )ai +...+(– xnqi )an.
Từ đó ri∈ I với mĩi i = 1, 2, …, n. Ta phại có ri = 0 vì nêu khođng thì ri∈ J và đieău này mađu thuaơn với | d | là sô nhỏ nhât cụa
∑ = n 1 i i ia x a1 n 1 n
tức là c là ước cụa d. Vaơy d là ƯCLN cụa a1,..., an .
3.6 Heơ quạ
a) Nêu e là ước chung lớn nhât cụa a1, a2,..., an thì toăn tái x1, x2, ...,xn ∈9 sao cho = x1a1 + x2a2 +...+ xnan.
cho e =
1a1 + x2a2 +...+ xnan thì e là ước chung lớn nhât cụa a1, a2,..., an.
= d neđn ta có đieău phại chứng minh.
n thì c là ước cụa tức là c e
b) Nêu e là ước chung cụa a1, a2,..., an và toăn tái x1, x2, ...,xn ∈9 sao x
Chứng minh:
a) Xét ước chung lớn nhât d cụa a1, a2,..., an trong chứng minh định lí 1.5. Vì ± e ∑ = n 1 i i ia x
b) Giạ sử c là ước chung bât kỳ cụa a1,...,a
là ước cụa e. Vaơy e là ƯCLN cụa a1,..., an .
3.7 Định líù
d là ước chung lớn nhât cụaa1, a2, ..., an khi và chư khi d là ước chung lớn nhât ụa (a1,...,an-1) và an .
hứng minh :
Giạ sử d = (a1 ,. . ., an), d1 = ((a1 ,. . ., an-1), an) và m = (a1 ,. . ., an-1). Vì d là ước d là ƯC cụa m và an ; nhưng d1 là ƯCLN cụa m và a neđn d là ước cụa d1. Maịt khác d1 là ƯC cụa m và an neđn d1 là ƯC cụa cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n và do d là là ƯCLN cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n neđn d1
ø ước d. Từ đó d1 = d. c
C
cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n neđn
n
la
3.8 Định lí
Giạ sử a, b, q, r là những sô nguyeđn thỏa mãn heơ thức a = bq + r. Khi đó ƯCLN ụa a và b cũng là ƯCLN cụa b và r.
cũng t ƯC bât kì cụa b và r, khi đó vì a = bq + r neđn c
û v
c
Chứng minh: Nêu đaịt d = (a, b) thì d | a và d | b, nhưng vì r = a – bq neđn ta có d | r và d | b. Giạ sử c là moơ
cũng là ƯC cua b và a, aơy c phại là ước cụa d. Từ đó d = (b, r).
3.9 Thuaơt toán tìm ƯCLN cụa hai sô
Giạ sử muôn tìm ƯCLN cụa hai sô nguyeđn a và b. Nêu a 0 thì rõ ràng ƯCL= N cụa a lăn b đeău khác 0. Thuaơt toán là oơt quá trình thực hieơn lieđn tiêp các phép chia:
Bước 1: Chia a cho b a = bq0 + r0 với 0 ≤ r0 < | b |. r0q1 + với 0 ≤ r1 < r0 . Nêu r1 = 0 thì dừng. Nêu r2≠ 0 , thì đi đên bước 3
. . .
Bước n : Chia rn – 1 cho rn rn–1 = rn qn+1 + rn+1 với 0 ≤ rn+1 < rn .
Quá trình chia như vaơy phại châm dứt sau moơt sô hữu hán bước vì dãy các sô tự Giạ sử đên bước n ào đó ta có r = 0 và r 0, thì theo định lí 3.8 suy ra ƯCLN cụa a và b là r .
iại: Ta saĩp xêp các phép chia lieđn tiêp như sau: a và b là b, vì vaơy ta chư xét cho trường hợp cạ m
•
Nêu r0 = 0 thì dừng. Nêu r0 ≠ 0 thì đi đên bước 2
• Bước 2: Chia b cho r0 b = r1 .
•
nhieđn | b | > r0 > … > ri >… ≥ 0 khođng theơ giạm vođ hán.
n n+1 n≠ n • VÍ DÚ: Tìm ƯCLN cụa 9100 và 1848 G 4 1 12 5 9100 : 1848 : 1708 : 140 : 28 1708 140 28 0 Từ đó (9100, 1848) = 28.
4. Sô nguyeđn tô cùng nhau.
4.1 Định nghĩa
• Các sô nguyeđn a1, a2, ..., an được gĩi là nguyeđn tô cùng nhau nêu chúng nhaơn ô 1 làm ƯCLN.
• Ta nói raỉng các sô nguyeđn a1, a2, ..., an nguyeđn tô cùng nhau từng đođi nêu và chư nêu (ai, aj) = 1 với mĩi i ≠ j.
• NHAƠN XÉT:
1) Nêu các sô nguyeđn a1, a2, ..., a đ â au từng đođi thì chúng là đó
1 2 a3 n 1 2 3 n 3 n
hẳng hán a1 = 3, a2 = 10, a3 = 15. 2) Nêu (a, b) = 1 và c | b thì (a, c) = 1. Thaơt vaơy, nêu d
n nguyen to cùng nh nguyeđn tô cùng nhau, vì khi
(a , a , , ..., a ) = ((a , a ), a , ..., a ) = (1, a , ..., a ) = 1
Đieău ngược lái nói chung khođng đúng, c
∈∠ và (d | a, d | c) ì (d | a, d | b), vaơy d = 1. Từ đó suy ra (a, c) = 1.
zout) th 4.2 Định lí (Be 2, ..., xn sao cho 1 i i ia x = 1.
Đieău kieơn caăn và đụ đeơ các sô nguyeđn a1, a2, ..., an nguyeđn tô cùng nhau là toăn tái
các sô nguyeđn x1, x ∑n
=
Chứng minh: Suy ra trực tiêp từ heơ quạ 1.6
4.3 Định lí (Gauss)
Nêu các sô nguyeđn a, b, c thỏa mãn a | bc và (a, b) = 1 thì a | c.
Chư và a | bc. Theo định lí Bezout, toăn tái hai sô nguyeđn x
c axc + byc. Vì a | axc và a | byc neđn a |c.
ùng minh: Giạ sử (a, b) = 1
và y sao cho ax + by = 1. Suy ra =
4.4 Định lí
Cho x, a1, a2, …, a là các sô nguyeđn khác 0. Khi đó n
((x, ai) = 1, với mĩi i {1, 2, …, n}) ∈ ⇔ ( x, ∏n
= a ) = 1
ử (x, a1) = (x, a2). Theo định lí Bezout, toăn tái u1, v1, u2,
2 1 1 1 2 + a2v2 = 1. Khi đó (x, a1 a2) = 1 vì 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 i i Chứng minh:
(⇒) Ta chứng minh baỉng cách qui náp theo n. Với n = 1 thì khẳng định là hieơn nhieđn. Đôi với n = 2, giạ s
∈9 sao cho xu + a v = 1 và xu v
Vaơy, khẳng định đúng với n = 2. Bađy giờ, giạ thiêt khẳng định đúng với n và giạ sử a1, a2, …, an+1 ∈9 sao cho (x, ai) = 1, với mĩi i∈ {1, 2, …, n, n +1}. Thê thì (x, ai)
, ( x, ) = 1, roăi theo kêt
( x, ∏ = n 1 i i a
= 1, với mĩi i∈ {1, 2, …, n} và theo giạ thiêt qui náp quạ khạo sát cho trường hợp n = 2 ta có
∏+1 n ∏n = a ) = ( x, = a .an+1) = 1 1 i i 1 i i (⇐) Nêu ( x, ∏n =1 i i
a ) = 1 thì theo nhaơn xét 2) trong múc 4.1 suy ra (x, ai) = 1.
5 Boơi chung nhỏ nhât (BCNN)
5.1 Định nghĩa :
, n.
• Sô nguyeđn d được gĩi là boơi chung nhỏ nhât (BCNN) cụa n sô nguyeđn a1,...,an khi và chư khi d là boơi chung cụa a
) Nêu d , d là các boơi chung nhỏ nhât cụa a ,...,a thì d = d . Vaơy boơi chung
1,...,an] đeơ chư boơi chung nhỏ nhât khođng ađm cụa a1,...,an .
2) B b là 0.
5.2 Meơnh đeă
• Sô nguyeđn c được gĩi là moơt boơi chung cụa n sô nguyeđn a1,...,an nêu ai | c với mĩi i = 1, 2, …
1,...,an và nêu c là moơt boơi chung bât kì cụa a1,...,an thì d | c.
• NHAƠN XÉT:
1 1 2 1 n 1 ± 2
nhỏ nhât cụa a1,...,an là duy nhât theo nghĩa sai khác dâu. Ta dùng kiù hieơu [a
CNN cụa 0 và
(a, b)[a, b] = | ab | với mĩi a, b ∈9
Chứng minh:
Nêu a = 0 hoaịc b = 0 thì hieơn nhieđn. Vaơy ta chư chứng minh cho trường hợp a và b
) b , a ( ab
đeău khác 0, khi đó (a,b) ≠ 0. Nêu đaịt m = thì m là moơt boơi chung cụa a và b. Gĩi t là moơt boơi chung bât kì cụa a và b. Vì a | t neđn toăn tái c ∈9 sao cho t = ac, từ đó ) b , a ( t = ) b , a ( ac . Vì b t neđn ) b , a ( b cũng là ước cụa ) b , a ( t , và do | đó ) b , a ( b là ước cụa ) b , a ( ac . Nhưng ) , a ( a và ) b , a ( b
là nguyeđn tô cùng nhau neđn
theo định lí Gauss(4.3) suy ra ) b , a (
b là ước cụa c. Vaơy
) b , a ( ab là ước cụa ac = t, từ t, là đó m | tức là m = [a, b]
• NHAƠN XÉT: Từ meơnh đeă 5.2 suy ra nêu a và b là nguyeđn tô cùng nhau thì ab BCNN cụa a và b.
5.3 Meơnh đeă
[a1,...,an] = [[a1,...,an-1], an] . (Ta chứng minh baỉng quy náp.)
tái mn–1 = [a1,...,an–1] . Đaịt m = [mn–1, an]. Vì m là boơi chung cụa Hieơn nhieđn t là boơi chung cụa a1,...,an-1 , do đó t là boơi cụa mn-1 và an . Vì m là
,
. Sô nguyeđn tô
BCNN cụa n sô nguyeđn a1,...,an luođn luođn toăn tái và
Chứng minh
• n = 2 (do 5.2)
• Giạ sử toăn
mn–1 và an neđn m là boơi chung cụa a1,...,an. Giạ sử t là boơi chung cụa a1,...,an . BCNN cụa mn-1 và an neđn t là boơi cụa m. Vaơy m = [a1...,an]
6
các â nguyeđn dương ∠. Các khái nieơm và kêt quạ đó cũng có theơ chuyeơn leđn taơp các sô n
nh ghĩa
Đeơ đơn giạn, các khái nieơm và kêt quạ trong phaăn này ta chư trình bày tređn taơp so
guyeđn 9.
6.1 Đị n
Moơt sô tự nhieđn khác 1 gĩi là sô nguyeđn tô nêu nó chư chia hêt cho 1 và cho
• CHÚ Ý : Sô 1 khođng phại là sô nguyeđn tô cũng khođng phại là hợp sô.
•
chính nó . Moơt sô tự nhieđn khác 1 và khođng phại là sô nguyeđn tô được gĩi là hợp sô. Ta có theơ nói sô nguyeđn n là sô nguyeđn tô nêu | n | là sô nguyeđn tô.
6.2 Định lí
Ước sô dương nhỏ nhât khác 1 cụa moơt sô tự nhieđn lớn hơn 1 là moơt sô nguyeđn tô.
Chứng minh: Xét a ∈∠ và a >1. Gĩi p là ước sô dương nhỏ nhât khác 1 cụa a. với :1 < ø đieău này mađu thuăn với tính nhỏ Nêu p khođng phại là nguyeđn tô thì p là hợp sô, neđn p có moơt ước sô là p1
p1 < p. Nhưng khi đó p1 cũng là ước sô cụa a, va
nhât cụa p.
6.3 Định lí
Chứng minh: Giạ sử ngược lái, ∠ chư có moơt sô hữu hán các sô nguyeđn tô là p1
,..., pn . Từ 6.3 suy ra sô tự nhieđn M = p1 ...pn + 1 có ướùc sô dương nhỏ nhât khác 1 là moơt sô nguyeđn tô p. Như thê toăn tái j ∈ {1, 2, …, n} sao cho p = pj, do đó p | p1
.pn. Từ đó p | (M – p1 ...pn) hay p | 1 (mađu thuaơn) ..
6.4 Định lí
Cho a ∈∠ và p là sô nguyeđn tô. Khi đó hoaịc (a, p) = 1 hoaịc p | a.
hứng minh: Vì (a, p) là moơt ước cụa p, neđn nó chư có theơ là p hoaịc là 1. Nêu (a, p .
C
) ≠ 1 thì (a, p) = p , nhưng khi đó p | a
6.5 Định líù
iạ sử a ,...,a ∈∠ và p là sô nguyeđn tô. Khi đó hai đieău sau đađy là
G 1 n tương đương cụa ∏n = a 1) p là ước 1 i i
2) Toăn tái i∈ {1, 2, …, n} sao cho p | ai .
Chứng minh:
(1 2) Giạ sử p ⇒ | ∏n . Nêu p khođng là ước cụa các a , với
= i, t eo 6.4 p =1, và đieău 2 ⇒ 1) là hieơn nhieđn 1 i i a i mĩi thì h
suy ra (p, ai) =1, với mĩi i. Từ đó, theo định lí 4.4, (p, ∏ai ) =1, vaơy
= n
1 i
đó dăn đên mađu thuăn. (
6.6 Định lí
Ước sô dương nhỏ nhât khác 1 cụa moơt hợp sô a >1 là moơt sô nguyeđn tô nhỏ hơn hoaịc baỉng a.
Chứng minh: Giạ sử ước sô đó là p, khi đó p là nguyeđn tô và a = pa1.Vì a1 là moơt ước dương khác cụa a neđn a1≥ p, thê thì a = pa1≥ p2.Vaơy p ≤ a
6.7 Sàng Eratosthène
Đeơ laơp bạng sô nguyeđn tô khođng vượt quá moơt sô nguyeđn dương n, ta có theơđ áp úng moơt phương pháp gĩi là sàng Eratosthen. Noơi dung cụa phương pháp này như sau :
• Laơp dãy sô 1, 2, 3, 4, …, n
(Sô thứ nhât lớn hơn 1 cụa dãy sô tređn là 2, hieơn nhieđn 2 là sô nguyeđn tô)
• Trong dãy sô tređn, ta xóa tât cạ các boơi cụa 2.
(Sô thứ nhât đứng sau 2 khođng bị óa là 3. eơn x Hi nhieđn 3 là sô nguyeđn tô) Tiêp túc ta xóa tât cạ các boơi cụa 3.
. . .
Cứ tiêp túc theo cách đó, ta xóa tât cạ các boơi sô cụa các sô nguyeđn tô nhỏ hơn moơt sô nguyeđn tô p, thì tât cạ các sô khođng bị xóa nhỏ hơn p2 đeău nguyeđn tô. Thaơt vaơy, mĩi hợp sô a nhỏ hơn p2 đeău đã bị xóa vì là boơi cụa ước sô dương nhỏ nhât
•
. . . .
•
a< p. cụa nó, uớc sô này, theo 6.6, nhỏ hơn
Suy ra raỉng :
1) Khi xóa các boơi cụa moơt ô nguy đn tô p, thì sô đaău tieđn bị xóa là ps e ) Khi đã xóa các boơi cụa các sô nguyeđn tô ≤
2.
n
2 thì hoàn thành vieỡc laơp bạng.
• VÍ DÚ: Nêu n = 50 thì ta chư xóa các boơi cụa các sô nguyeđn tô 2,3,5,7.
6.8 Định lí ( cơ bạn cụa sô hĩc)
e ke ân ứ tự h tử.
) Sự toăn tái. Xét a ∈∠ và a > 1.
sô nguyeđn tô nhỏ nhât cụa a1 . Ta có
a1 = p2a2 với 1 ≤ a2 < a1 . Nêu ). Nêu 2 sau . . . a > a1 > a2 > . . . > 1. ùc ở bước ù n = 1. Khi đó a = p1p2...pn. û p2...pn = a ...qm , trong đó, các pi , qj là các sô guyeđn tô. Khi đó p1| q1...qm và toăn tái j
Mĩi sô tự nhieđn lớn hơn 1 đeău phađn tích được thành tích những thừa sô nguyeđn tô, và sự phađn tích này là duy nhât n âu khođng ơ đe th các n ađn
Chứng minh
1
Gĩi p1 là ước sô nguyeđn tô nhỏ nhât cụa a. Ta có
a = p1a1 với 1 ≤ a1 < a.
Nêu a1 = 1 thì a = p1 ( chứng minh xong). Nêu a1 > 1, gĩi p2 là ước
a2 = 1 thì a = p1p2 ( chứng minh xong a > 1, laịp lái lý luaơn tređn cho các bước
Quá trình này phại kêt thúc sau moơt sô hữu hán bước vì ta có :
Giạ sử quá trình kêt thu thư n, với a
2) Sự duy nhât. Giạ sư p1 = q1q2
n ∈ {1, 2, …, m} sao cho p1 = qj (xem 6.5).
đánh sô lái, ta có theơ giạ sử p1 = q1 . Giạn ước ta có p2...pn = q2...qm. nh tređn . ta được 1 =
n+1 m j
Baỉng cách
Nêu m > n thì baỉng cách thực hieơn tiêp túc quá trì
phại có m ≤ n . Vì vai trò cụa m và n là như nhau, neđn ta cũng có n ≤ m .Từ đó hĩa sai khác nhau veă
6.9 Dáng phađn tích chính taĩc.
m = n và pi = qi với mĩi i. Vaơy phađn tích là duy nhât theo ng thứ tự các nhađn tử.
h moơt sô tự nhieđn a > 1 thành tích các nhađn tử nguyeđn tô, moơt vài û nguyeđn tô đó có theơ giông nhau. Kêt hợp các nhađn tử giông nhau lái và bieơu dieên tích cụa chúng dưới dáng lũy thừa thì sẽ dăn đên dáng sau gĩi
ø dáng phađn tích chính taĩc a = p ….p
• Khi phađn tíc
hoaịc tât cạ các nhađn tư
1 k 1 pk2 2 m k m . la • VÍ DÚ: 9100 = 22.52.7.13 ; 128 = 27. 6.10 Định lí
Cho moơt sô tự nhieđn a vơí dáng phađn tích chính taĩc a = pk1 1 pk2 2 ….p i ó d = p p …. pm với 0 m k m . Kh đ , moơt sô tự nhieđn d là ước cụa a khi và chư khi d có dáng :
r1 r2 r
1 2 m ≤ ri ≤ ki , i = 1, 2, …, m.
Giạ sử a và d có dáng như tređn, ta có