3.1 Định nghĩa
• Cho a, b là hai sô nguyeđn . Ta nói raỉng a chia hêt b (hoaịc a là ước cụa b, hoaịc
b chia hêt cho a, hoaịc b là boơi cụa a), ký hieơu a | b nêu toăn tái moơt sô nguyeđn c sao cho b = ac.
• Rõ ràng là a | 0 với mĩi sô nguyeđn a, và 0 | a khi và chư khi a = 0
3.2 Tính chât ( a, b, c, d là các sô nguyeđn)
thì a = ± b. ) Nêu a | b và b | c thì a | c ) Nêu a | b và a | c thì a | b + c 7) | d thì ac | bd i = 1, 2, …, n thì a | (bi, mi là các sô nguyeđn) 1) ± a | a và ±1 | a. 2) Nêu a | 1 thì a = ± 1 3) Nêu a | b và b | a 4 5) Nêu a | b thì a | bc 6 Nêu a | b và c
8) Nêu a | b thì an| bn ( n là sô tự nhieđn)
∀ ∑ = n 1 i i ib m 9) Nêu a | bi ,
Chứng minh: Vieơc chứng minh chư là sự kieơm tra đơn giạn từ định nghĩa.
3.3 Định lí ( phép chia Euclide)
Cho a, b là hai sô nguyeđn với b ≠ 0. Khi đó toăn tái duy nhât moơt caịp sô nguyeđn q, r sao cho a = b q + r với 0 ≤ r < |b| .
(q gĩi là thương và r gĩi là dư cu
a h c o
û p ép hia a ch b)
Chứng minh:
• Sự toăn tái. Đaịt S = {n∈9
r ; với r ≥ 0. Maịt khác, vì k = max S neđn k+ 1
: n|b|≤ a} ⊂ 9, khi đó S khác ∅ vì – |a| ∈ S .
S bị chaịn tređn neđn có phaăn tử lớn nhât k. Do k |b | ≤ a neđn a = k | b | +
∉ S, tức là, (k+1) | b | > a. Từ đó suy ra k Nêu > thì k | b | = qb, và từ những đieău đã trình bày ở ùi 0 ≤ r < | b |. . Khi đó ta có r – = b(q’– q). Vì | r – r’| < | b | neđn | b || q’– q | < | b | hay | q’ - q | < 1. Từ đó q’ = q 3 | b | + | b | > k | b | + r hay r < | b |. đaịt q = ⎨⎧ k ⎩− k khi b<0 tređn ta có a = bq + r vơ khi b 0
• Sự duy nhât. Giạ sử a = bq + r ; a = bq’+ r’ với 0 ≤ r, r' < | b |
r’
và r = r' .
.4 Ước chung lớn nhât (ƯCLN)
• Sô nguyeđn c được gĩi là ước chung cụa n sô nguyeđn a , a , ..., a nêu c là ước
• Sô nguyeđn c được gĩi là ước chung lớn nhât cụa n sô nguyeđn a1, a2, ..., an khi
3.5 Định líù
1 2 n
cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n.
và chư khi d là ước chung cụa a1,...,an và nêu c là ước chung bât kỳ cụa a1,...,an thì c là ước d.
• NHAƠN XÉT:
a) Nêu d1 và d2 là các ước chung lớn nhât cụa a1, a2, ..., an thì d1 = ±d2 .
Người ta thường viêt (a1, a2, ..., an ) đeơ chư ước chung lớn nhât khođng ađm cụa n sô nguyeđn a1, a2, ..., an .
b) Rõ ràng raỉng ƯCLN cụa 0 và b là b.
Chư
aịt I = {y : y =
ùng minh :
Nêu a1 = a2 = ... = an = 0 thì rõ ràng (a1, a2, ..., an ) = 0. Giạ sử a1, a2, ..., an khođng đoăng thời baỉng khođng.
∈9 ∑n = x a , x Đ ∈9 , i =1,2,…,n} và J = {| y | : y ∈ 1 i i i i I}– {0}. 1 i i ia x I. Ta sẽ
chứn n . Thaơt vaơy, với moêi i ta có ai =
qi + ri ; 0 ≤ ri < | d |. Suy ra
J. Từ đó suy ra d là ước chung cụa ,...,a . Maịt khác nêu c là ước chung bât kỳ cụa a ,...,a thì c là ước cụa
Vì a1, a2, ..., an khođng đoăng thời baỉng 0 neđn I ≠ {0} và từ đó J ≠ ∅. Do J bị haịn dưới, neđn J có sô nhỏ nhât. Giạ sử | d | = min J với d = n ∈
c ∑
=
g minh d là ước chung lớn nhât cụa a1,..., a d
ri = ai – dqi = (–x1qi )a1 +...+ (– xi–1qi )ai –1 + (1– xi qi )ai +...+(– xnqi )an.
Từ đó ri∈ I với mĩi i = 1, 2, …, n. Ta phại có ri = 0 vì nêu khođng thì ri∈ J và đieău này mađu thuaơn với | d | là sô nhỏ nhât cụa
∑ = n 1 i i ia x a1 n 1 n
tức là c là ước cụa d. Vaơy d là ƯCLN cụa a1,..., an .
3.6 Heơ quạ
a) Nêu e là ước chung lớn nhât cụa a1, a2,..., an thì toăn tái x1, x2, ...,xn ∈9 sao cho = x1a1 + x2a2 +...+ xnan.
cho e =
1a1 + x2a2 +...+ xnan thì e là ước chung lớn nhât cụa a1, a2,..., an.
= d neđn ta có đieău phại chứng minh.
n thì c là ước cụa tức là c e
b) Nêu e là ước chung cụa a1, a2,..., an và toăn tái x1, x2, ...,xn ∈9 sao x
Chứng minh:
a) Xét ước chung lớn nhât d cụa a1, a2,..., an trong chứng minh định lí 1.5. Vì ± e ∑ = n 1 i i ia x
b) Giạ sử c là ước chung bât kỳ cụa a1,...,a
là ước cụa e. Vaơy e là ƯCLN cụa a1,..., an .
3.7 Định líù
d là ước chung lớn nhât cụaa1, a2, ..., an khi và chư khi d là ước chung lớn nhât ụa (a1,...,an-1) và an .
hứng minh :
Giạ sử d = (a1 ,. . ., an), d1 = ((a1 ,. . ., an-1), an) và m = (a1 ,. . ., an-1). Vì d là ước d là ƯC cụa m và an ; nhưng d1 là ƯCLN cụa m và a neđn d là ước cụa d1. Maịt khác d1 là ƯC cụa m và an neđn d1 là ƯC cụa cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n và do d là là ƯCLN cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n neđn d1
ø ước d. Từ đó d1 = d. c
C
cụa ai với mĩi i = 1, 2, …, n neđn
n
la
3.8 Định lí
Giạ sử a, b, q, r là những sô nguyeđn thỏa mãn heơ thức a = bq + r. Khi đó ƯCLN ụa a và b cũng là ƯCLN cụa b và r.
cũng t ƯC bât kì cụa b và r, khi đó vì a = bq + r neđn c
û v
c
Chứng minh: Nêu đaịt d = (a, b) thì d | a và d | b, nhưng vì r = a – bq neđn ta có d | r và d | b. Giạ sử c là moơ
cũng là ƯC cua b và a, aơy c phại là ước cụa d. Từ đó d = (b, r).
3.9 Thuaơt toán tìm ƯCLN cụa hai sô
Giạ sử muôn tìm ƯCLN cụa hai sô nguyeđn a và b. Nêu a 0 thì rõ ràng ƯCL= N cụa a lăn b đeău khác 0. Thuaơt toán là oơt quá trình thực hieơn lieđn tiêp các phép chia:
Bước 1: Chia a cho b a = bq0 + r0 với 0 ≤ r0 < | b |. r0q1 + với 0 ≤ r1 < r0 . Nêu r1 = 0 thì dừng. Nêu r2≠ 0 , thì đi đên bước 3
. . .
Bước n : Chia rn – 1 cho rn rn–1 = rn qn+1 + rn+1 với 0 ≤ rn+1 < rn .
Quá trình chia như vaơy phại châm dứt sau moơt sô hữu hán bước vì dãy các sô tự Giạ sử đên bước n ào đó ta có r = 0 và r 0, thì theo định lí 3.8 suy ra ƯCLN cụa a và b là r .
iại: Ta saĩp xêp các phép chia lieđn tiêp như sau: a và b là b, vì vaơy ta chư xét cho trường hợp cạ m
•
Nêu r0 = 0 thì dừng. Nêu r0 ≠ 0 thì đi đên bước 2
• Bước 2: Chia b cho r0 b = r1 .
•
nhieđn | b | > r0 > … > ri >… ≥ 0 khođng theơ giạm vođ hán.
n n+1 n≠ n • VÍ DÚ: Tìm ƯCLN cụa 9100 và 1848 G 4 1 12 5 9100 : 1848 : 1708 : 140 : 28 1708 140 28 0 Từ đó (9100, 1848) = 28.