Như chúng ta đã biết bản thân HĐ, gợi động cơ trung gian cho HĐ và truyền thụ tri thức đặc biệt là tri thức phương pháp là những yếu tố phương pháp mà dựa vào chúng, ta có thể tổ chức cho chủ thể HS tiến hành những HĐ một cách tích cực, tự giác, có hiệu quả, đảm bảo sự phát triển nói chung
O J A N M B D Q C P I
và kết quả học tập nói riêng. Chúng được coi là thành tố cơ sở vì mọi phương pháp GQVĐ đều hướng vào chúng.
Có thể nói rằng những thành tố dù đóng vai trò quan trọng song chúng lại được ví như một viên gạch chứ không phải là tòa nhà phương pháp dạy học. Vì vậy, người thầy giáo có vai trò là người thợ tạo ra những mạch hồ gắn kết những viên gạch đó, tạo nên ngôi nhà phương pháp dạy học, hay nói cách khác liên kết các thành tố trên tổ chức đồng thời một cách thích hợp các HĐ đó trong dạy học là yêu cầu và nhiệm vụ của người thầy.
Cơ sở để khẳng định điều đó là do các HĐ này có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, có khi HĐ này tạo tiền đề để thực hiện HĐ kia và HĐ kia lại được triển khai dựa trên những HĐ khác. Chẳng hạn, xuất phát từ nội dung vấn đề cần giải quyết, muốn phát hiện HĐ thì phải biết gợi động cơ để phát hiện.
Riêng với HĐ gợi động cơ, nó là HĐ thúc đẩy các HĐ khác phát triển, kích thích và góp phần thực hiện các HĐ còn lại. Nhờ gợi động cơ HS có ý thức rõ vì sao phải thực hiện HĐ này hay HĐ khác.
1.5.Vai trò của các thành tố cơ sở trong hoạt động GQVĐ
- Tạo nên bầu không khí học tập sôi động, môi trường tâm lý thuận lợi. HS say mê hứng thú, có động lực học tập.
- Phát huy và rèn luyện tính tích cực, tự giác, sáng tạo của HS trong học tập.
- Gợi động cơ trung gian: Một HĐ cần thiết giúp HS tìm được hướng GQVĐ, hiểu sâu, nhớ lâu, nắm vững và vận dụng kiến thức đã học.
1.6. Hoạt động GQVĐ trong dạy học Toán. a)Cơ sở triết học
Triết học duy vật biện chứng đã chỉ ra rằng:”Mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển”. Một vấn đề được gợi ra cho HS học tập chính là một mâu thuẫn giữa yêu cầu nhiệm vụ nhận thức với kiến thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình huống này phản ánh một cách lôgic và biện chứng quan hệ bên trong
kiến thức cũ, kỹ năng cũ và kinh nghiệm cũ đối với yêu cầu giải thích sự kiện mới hoặc đổi mới tình thế.
b)Cơ sở tâm lý học
Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cần phải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề: “Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống có vấn đề” [44, trang 435].
c)Cơ sở giáo dục học
Hoạt động GQVĐ phù hợp với nguyên tắc tính tự giác và tích cực vì nó khêu gợi được HĐ học tập mà chủ thể được hướng đích, gợi động cơ cho quá trình GQVĐ.
Tác dụng giáo dục của kiểu HĐ này là ở chổ nó dạy cho HS học cách khám phá, tức là rèn luyện cho họ cách GQVĐ một cách khoa học. Đồng thời, nó góp phần bồi dưỡng người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo, chủ động, tích cực, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch và thói quen tự kiểm tra.
1.6.1. Hoạt động GQVĐ theo các quan điểm dạy học. a) Vấn đề
Một vấn đề biểu thị một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thỏa mãn các điều kiện sau:
+Câu hỏi chưa có người giải đáp (hoặc yêu cầu hành động chưa được thực hiện)
+Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi (hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra)
Vấn đề mang một ý nghĩa khách quan như vậy thật ra ít xuất hiện trong dạy học toán cũng như dạy học nói chung, vấn đề dạy học được biểu đạt bởi một nhiệm vụ nhận thức chưa được giải quyết, hoàn toàn mang tính khách quan bên ngoài người học, được hành thành từ một khó khăn về lý luận hay thực tiễn, mà việc giải quyết khó khăn đó là kết quả quá trình tích cực HĐ của
HS. Có người cho rằng trong mỗi vấn đề phải có cái chưa biết, cái đã biết và điều kiện quy định các mối liên hệ giữa các nhân tố đó. Tuy nhiên, để có thể vận dụng một cách có hiệu quả khái niệm vấn đề trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm này như sau:
Một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thỏa mãn các điều kiện sau:
+HS chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó.
+HS chưa có một quy tắc có tính chất thuật giải nào để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra.
Nếu hiểu theo nghĩa trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập toán. Những bài toán nếu chỉ yêu cầu HS trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán thì không phải là những vấn đề. Nguyễn Hữu Châu đã viết: “Vấn đề bao hàm ý nghĩa rộng rãi và tổng quát hơn, nó được xác định như một nhiệm vụ đối với HS, mà trong đó, mỗi HS đều hứng thú, mong muốn cùng bạn tìm phương án giải quyết”
b)Tình huống có vấn đề
Tình huống có vấn đề đó là trở ngại về trí tuệ của con người, xuất hiện khi con người chưa biết cách giải thích sự kiện, hiện tượng, quá trình của thực tế, khi họ chưa đạt được mục đích bằng cách thức hành động quen thuộc. Tình huống này kích thích con người tìm tòi cách giải thích hay hành động mới. Tình huống có vấn đề là quy luật của HĐ nhận thức sáng tạo, có hiệu quả. Nó quy định sự khởi đầu của tư duy, hành động của tư duy tích cực sẽ diễn ra trong quá trình GQVĐ. Tình huống có vấn đề là một tình huống dạy học gợi ra cho HS thấy khó khăn về mặt lý luận hay thực tiễn (là mưu thuẫn nhận thức giữa cái đã biết và cái chưa biết), mà HS thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, HĐ để biến đổi đối tượng.
c) Hoạt động GQVĐ
Theo GS Nguyễn Bá Kim , Vũ Dương Thụy thì quá trình này được chia thành những giai đoạn những bước có mục đích chuyên biệt, có thể phác họa như sau:
- Sự xuất hiện của chính vấn đề và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể GQVĐ. Chủ thể nhận thức sâu sắc và chấp nhận vấn đề để giải quyết.
- Quá trình tìm kiếm cách GQVĐ đã được chấp nhận, được lý giải chứng minh và kiểm tra.
- Tìm được kết quả cuối cùng và đánh giá toàn diện các kết quả tìm được. Như vậy, khi thực hiện hoạt động GQVĐ về đại thể HS có thể thực hiện theo trình tự các bước như sau:
Bước 1: Tri giác vấn đề
- Tạo tình huống gợi vấn đề.
- Giải thích và chính xác hóa để hiểu đúng tình huống.
- Phát biểu vấn đề và đặt mục đích GQVĐ đó. Ở đây có thể có 2 mức độ: GV trực tiếp chỉ ra vấn đề hoặc HS sau khi tìm hiểu đã tự phát hiện ra vấn đề.
Bước 2: Giải quyết vấn đề
Đây là bước quan trọng nhất cụ thể như sau:
- Phân tích vấn đề, làm rõ mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm. - Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh thậm chí bác bỏ và chuyển hướng khi cần thiết. Trong khâu này thường hay sử dụng các HĐ trí tuệ như sau:
+ Hoạt động xem xét các vấn đề tương tự. + Hoạt động đặc biệt hóa bài toán.
+ Hoạt động khái quát hóa bài toán. + Hoạt động dự đoán
+ Hoạt động quy lạ về quen nhờ biến đổi hình thức bài toán. + Hoạt động huy động kiến thức để GQVĐ.
Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm ra hướng đi đúng. Sau khi tìm được một giải pháp để GQVĐ, GV có thể hướng dẫn HS tiếp tục tìm thêm những giải khác để lựa chọn ra giải pháp hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày cách GQVĐ.
Khi đã tìm được giải pháp để GQVĐ đặt ra, người học phải trình bày lại toàn bộ lời giải, từ việc phát biểu vấn đề cho tới cách GQVĐ. Trong khi trình bày cần tuân thủ các quy định như: ghi rõ giả thiết, kết luận đối với các bài toán chứng minh; phân biệt rõ các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh , biện luận đối với bài toán dựng hình; giữ gìn vở sạch,chữ đẹp,...
Bước 4: Kiểm tra và nguyên cứu sâu lời giải.
- Kiểm tra tính đúng đắn và phù hợp thực tế của lời giải. - Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của lời giải
- Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả.
- Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề ... và giải quyết các vấn đề đó nếu có thể.
1.6.2. Hoạt động GQVĐ theo tư tưởng G.polia.
Trong cuốn Sáng tạo toán học của G.Polia, đã mô tả cấu trúc cho việc GQVĐ bởi mô hình:
- Bước 1:Tìm hiểu vấn đề.
- Bước 2:Lập kế hoạch giải quyết. - Bước 3:Thực hiện kế hoạnh. - Bước 4: Kiểm tra lại.
Ở bước 2 và 3 tác giả quan tâm đến nhiều quá trình tìm tòi lời giải
Trong cuốn Giải một bài toán như thế nào của G.Polia, đã mô tả cấu trúc cho việc GQVĐ bởi mô hình:
- Bước 1:Làm quen với bài toán, đi sâu vào nghiên cứu bài toán. - Bước 2:Tìm ý hay.
- Bước 3:Thực hiện chương trình. - Bước 4: Nhìn lại cách giải.
Các bước trên tác giả đều quan tâm đến các câu hỏi sau nhằm tìm tòi lời giải bài toán:
Tôi phải bắt đầu từ đâu?. Tôi có thể làm gì?. Làm như thế, tôi được lợi gì?.
1.6.3 Các hoạt động GQVĐ của HS trong dạy học Toán.
Hoạt động để GQVĐ trong luận văn này chúng tôi chú trọng rèn luyện cho HS một số HĐ sau:
Hoạt động tương tự hóa. Hoạt động đặc biệt hóa. Hoạt động khái quát hóa.
Hoạt động dùng dự đoán để GQVĐ.
Hoạt động quy lạ về quen nhờ biến đổi hình thức bài toán. Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ.
Hoạt động huy động kiến thức để GQVĐ.
Điều quan trọng trong hoạt động GQVĐ là xoay quanh mấu chốt đi tìm cách giải. Do đó, cần phải rèn luyện cho HS các HĐ trí tuệ giúp thuận lợi cho việc nhận biết các dấu hiệu bản chất của vấn đề trong tình huống gợi vấn đề mà GV đưa ra hay bài toán đã cho.
G. Polya khẳng định: “khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa thường hợp tác với nhau trong việc giải quyết những vấn đề toán học” và “các phép khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự kết hợp một cách tự nhiên trong khi cố gắng tìm kiếm cách GQVĐ” [8, tr. 25, 28].
Cũng cần chú ý rằng, so sánh tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, … không những là phương tiện để tiến hành HĐ nhận thức, GQVĐ mà còn là những tri thức phương pháp cần rèn luyện cho HS (mang tính mục đích của dạy học toán). Tuy nhiên, ở nhà trường PT, chúng ta không có điều kiện và không nên dạy tường minh một cách độc lập và chuyên biệt các thao tác tư duy này. Do đó, cần phải phối hợp giữa hai chức năng này bằng cách “Thực hiện chức năng mục đích của HĐ trong quá trình thực hiện chức năng phương
tiện” [16, tr. 79], tức là thông qua các tình huống dạy học toán mà rèn luyện các thao tác đó cho HS và đồng thời với hoạt động GQVĐ.
1.6.3.1. Hoạt động tương tự hóa.
Theo Từ điển tiếng Việt, tương tự có nghĩa là: “hơi giống nhau” [3, tr. 559].
Theo G.polya: “Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Có thể nói tương tự là giống nhau nhưng ở mức độ xác định hơn một chút” [ 8, tr.24]; “Phép tương tự có lẽ có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng nhất” [8, tr. 28].
Tác giả Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Phép tương tự có thể coi như tiền thân của khái quát hóa bởi vì chuyển từ một trường hợp này sang một trường hợp riêng khác của cùng một cái tổng quát là một bước để đi đến những trường hợp riêng bất kì của cái tổng quát đó” [18].
“Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau” [33, tr. 24].
Tư duy chúng ta đầy rẫy sự tương tự: tiếng nói thông thường hàng ngày và những sự suy diễn tầm thường, ngôn ngữ của các tác phẩm nghệ thuật và những thành tựu khoa học cao xa. Mức độ của sự tương tự có thể khác nhau. Thường sử dụng những sự tương tự khó hiểu mơ hồ, không đầy đủ và không hoàn toàn rõ ràng, tuy rằng sự tương tự có thể đạt được mức độ chính xác của Toán học. Ta không nên coi thường một hình thức tương tự nào, mỗi một sự tương tự đều có thể đóng một vai trò nhất định trong việc tìm ra lời giải một bài toán.
Theo G.polya: “Anh có biết một bài toán nào gần giống với bài toán này không?” ; “Anh có biết một bài toán nào tương tự không ?. Anh thấy rằng bài toán đặt ra cho anh là một bài toán hình học trong không gian. Anh có thể nghĩ ra một bài toán hình học tương tự nhưng đơn giản hơn trong mặt phẳng không?. ” [6, tr 34].
+ Chúng có đường lối giải, phương pháp giải giống nhau.
+ Nội dung của chúng có những điểm giống nhau, có giả thiết hoặc kết luận giống nhau.
+ Chúng đề cập đến những vấn đề giống nhau, những đối tượng có tính chất giống nhau.
Trong HHKG và HHP ta có nhiều bài toán tương tự nhau như:
- Trong mặt phẳng ta có bài toán: “Cho tam giác ABC . Gọi O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác đó. Chứng minh rằng ba điểm O, G, H thuộc một đường thẳng”.
Trong không gian ta có bài toán: “Cho tứ diện trực tâm ABCD . Gọi O, G, H lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện. Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng”.
- Trong mặt phẳng có bài toán: “Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là BC a= , AB c= , AC b= . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng aIA bIB cIC 0uur+ uur+ uur r= ”.
Trong HHKG ta có bài toán: “Cho tứ diện ABCD có diện tích các mặt là S∆BCD =S1, S∆ACD =S2, S∆ABD =S3, S∆ABC =S4. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện chứng minh rằng:
1 2 3 4
S IA S IB S IC S ID 0uur+ uur+ uur+ uur r= ”.
1.6.3.2.Hoạt động đặc biệt hóa bài toán.
"Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho " [6].
Để giải bài toán, trước hết ta giải chúng cho một vài trường hợp đặc biệt, rồi thử dùng trường hợp đặc biệt này xem có giải các trường hợp đặc biệt khác trong bài toán tổng quát không.
Ví dụ . Cho tứ diện ABCD và bốn điểm M, N, E, F lần lượt nằm trên
các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm M,N,E,F đồng