1. Giới hạn hàm số: Định nghĩa
Cho x0 và hàm số f xác định trong lân cận của x0 (không cần thiết phải xác định tại x0). Ta gọi số thựcLlà giới hạn của hàm sốy =f(x) khi x
tiến về x0,nếu
8ε>0,9δ(e)>0:0<jx x0j<δ =) jf(x) Lj<ε
Nói cách khác, lim
x!x0f(x) =Lnếu các giá trị của hàm f(x)gần Lmột cách tùy ý khi các giá trị của biến x đủ gầnx0 nhưng khác vớix0
Ví dụ. Chứng minh lim
x!2(2x+1) =5.Thật vậy, ta có với mọi ε>0, j(2x+1) 5j=2jx 2j<ε khi jx 2j< ε/2,nghĩa là nếu lấy
Ta gọi số thực Llàgiới hạn của hàm sốy =f(x)khi x tiến ra vô cực, nếu
8ε>0,9N>0:jxj>N =) jf(x) Lj<ε
Nói chung số N phụ thuộc vào ε.Ta ký hiệu lim
x!∞f(x) =LVí dụ. Chứng minh lim Ví dụ. Chứng minh lim x!∞ 1 x =0.Thật vậy, 1 x 0 = j1xj < εkhi jxj> 1ε,nên 8ε >0,9N = 1ε :jxj>N =) 1x 0 < ε
Giới hạn trái: Cho x0 và hàm số f xác định trong lân cận củax0. Ta gọi số thực Llàgiới hạn trái của hàm sốy =f(x)khi x tiến vềx0 từ bên trái nếu
8ε>0,9δ(e)>0:x0 δ<x <x0 =) jf(x) Lj<ε
Ký hiệu : lim
x!x0 f(x) =L
Giới hạn phải: Cho x0 và hàm sốf xác định trong lân cận của x0. Ta gọi số thực L làgiới hạn phải của hàm số y =f(x)khi x tiến vềx0 từ bên phải nếu
8ε>0,9δ(e)>0:x0<x <x0+δ =) jf(x) Lj<ε
Ký hiệu : lim
x!x0+
Định lý: lim x!x0f(x) =L, lim x!x0 f(x) =Lvà lim x!x0+ f(x) =L