Hàm α(x)được gọi làvô cùng bé (VCB) khi x !x0 nếu lim
x!x0α(x) =0 Hay ta có thể phát biểu định nghĩa VCB khix !x0 như sau:
Hàm α(x)được gọi là VCB khix !x0 nếu
8ε>0,9δ >0:0<jx x0j< δ=) jα(x)j< ε
Chú thích: Ta cũng có khái niệm VCB cho quá trình x!∞ thay vì quá trình x!x0
Tính chất:
1 Nếu α(x)là VCB khix !x0 vàC là một hằng số thì cũng làCα(x) cũng là VCB khix !x0
2 Nếu α1(x), ...,αn(x)là một số hữu hạn các VCB khix !x0 thì tổng
α1(x) +...+αn(x)và tích của chúngα1(x)...αn(x)cũng là các VCB khi x !x0
3 Nếu α(x)là một VCB khi x !x0 và f(x)là hàm bị chận trong một lân cận: 0<jx x0j<δ,thì thì tích α(x)f(x) cũng là các VCB khi
Xét hai VCB α(x), β(x) trong cùng một quá trình x !x0 hay x !∞ 1 Nếu lim x!x0 α(x) β(x) =k 2R,k 6=0: thì ta nói α(x), β(x) là hai VCB ngang cấp 2 Nếu lim x!x0 α(x)
β(x) =1: thì ta nói α(x),β(x) là hai VCB tương đương. Ta ký hiệu α(x)~ β(x)
3 Nếu lim
x!x0
α(x)
β(x) =0: thì ta nói α(x) làVCB cấp cao hơn β(x), hay
β(x) làVCB cấp thấp hơnα(x).Ta ký hiệu α(x) =o( β(x))
4 Nếu không tồn tại lim
x!x0
α(x)
β(x) thì ta nói α(x),β(x) làhai VCB không so sánh được với nhau
5 Nếu α(x) là VCB ngang cấp với βk(x),(k >0):thì ta nói α(x)là VCB cấp k so với VCB β(x)
Khử dạng vô định:
1 Nếu α(x)~α(x)và β(x)~β(x)khi x !x0 thì lim
x!x0α(x) α(x) β(x) lim x!x0 α(x) β(x)
2 Nếu α(x) =o(β(x))khi x !x0 thì α(x) +β(x)~β(x)khi x !x0
3 Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử α(x) và β(x)là hai VCB khi
x !x0,trong đó α(x)và β(x)đều là tổng của một số hữu hạn các VCB khix !x0.Khi đó, lim
x!x0
α(x)
β(x) = lim
x!x0 của tỷ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử số và mẫu số
Chương 2. Hàm Số Liên Tục