2. Hàm số liên tục: Các tính chất của hàm liên tục
Định lý 2.1: Nếuf và g liên tục tại x0 và c là hằng số thì các hàm số sau liên tục:
1 f g
2 cf,fg
3 f
g (điều kiệng(x0)6=0)
Định lý 2.2: Nếu f liên tục tạib và lim
x!x0g(x) =b thì lim
x!x0f(g(x)) =f(lim
x!x0g(x)) Xem lại định lý trang 32.
Tính liên tục của các hàm sơ cấp:
1 Hàm đa thức liên tục trênR. Hàm hữu tỷ liên tục trên miền xác định của nó.
2 Hàm mũ y =ax (a>0)liên tục trên R
3 Hàm số Lôgarit y =logax (a>0,a6=1)liên tục trên (0,+∞)
4 Hàm số lũy thừa y =xα (α2R) liên tục trên (0,+∞).Vì
xα =eαlnx nên theo định lý về tính liên tục của hàm số hợp, hàm số lũy thừa liên tục trên (0,+∞)
5 Các hàm lượng giác ngược liên tục trên tập xác định của chúng: Hàm số y =arcsinx liên tục và tăng trên từ [ 1,1] lên[ π
2,π
2].Hàm số y =arccosx liên tục và giảm trên từ[ 1,1]lên[0,π]. Hàm số y =arccosx liên tục và giảm trên từ[ 1,1]lên[0,π]. Hàm số y =arctgx liên tục và tăng trên từ R lên( π
2,π
2).Hàm số y =arccotgx liên tục và giảm trên từ Rlên(0,π). Hàm số y =arccotgx liên tục và giảm trên từ Rlên(0,π).
Định lý: Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a,b]và N là một số thực bất kỳ giữa f(a)và f(b) vớif(a)6= f(b). Thì tồn tại số thựcc 2 [a,b] sao cho f(c) =N
Thí dụ: CMR phương trình 4x3 6x2+3x 2=0 có nghiệm nằm giữa 1 và 2