2. Một số ứng dụng của tích phân xác định
Trong phần này, khi quan sát 1 hình phẳng hay 1 vật thể, chúng ta cần để ý đến tính đối xứng của hình để đơn giản hóa quá trình tính toán hoặc để chọn một hệ qui chiếu thích hợp để giải quyết bài toán dễ dàng hơn
1. Tính diện tích hình phẳng :
Miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
Giả sử miền phẳng D giới hạn bởi các đường : x=a,x =b (a<b),
y =f1(x),y =f2(x) trong đó f1,f2 liên tục từng khúc trên[a,b].Gọi diện tích của miền phẳng D là S. Khi đó ta có:
b
Tương tự, nếu D giới hạn bởi các đườngy =a,y =b (a<b),x =g1(y),
x =g2(y) trong đó g1,g2 liên tục từng khúc trên[a,b].Khi đó ta có:
S =
b
Z
a
Ví dụ. Tính diện tích của hình ellip
f(x,y): xa22 +yb22 1, (a>0, b>0)
Vì hình ellip nhận các trục toạ đ ộ làm trục đối xứng nên diện tích của nó là S =4 a R 0 y(x)dx =4 a R 0 b a p a2 x2dx.
Đổi biến x =asint, ta códx =acostdt. Khi x=0, thì t =0, khix =a, thì t= π
2,p p
a2 x2 =ajcostj=acost với 0 t π
2.Vậy Vậy S = 4b a π 2 R 0 a2cos2tdt = 2ab π 2 R 0 (1+cos 2t)dt = 2ab t+sin 22 t π2 0 =πab.
Miền phẳng D giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số: x=x(t); y =y(t) và α t β S = β Z α y(t).x0(t) dt
Ví dụ: Tính diện tích của hình giới hạn bởi trục hoành và một nhịp của đường cong Cycloid:
2.Tính độ dài đường cong phẳng:
Phương trình cho trong hệ tọa độ Descartes vuông góc: Giả sử đường cong a
AB cho bởi phương trình: y =f(x),A(a,f(a)),
B(b,f(b)).Trong đóf có đạo hàm liên tục trên [a,b].Khi đó độ dài cung
a
AB được tính theo công thức:
l = b Z a q 1 f02(x)dx
Phương trình cho trong dạng tham số:
x = ϕ(t), y =ψ(t), a t b trong đó ϕva` ψcó các đạo hàm liên tục trên [a,b] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b
3.Thể tích vật tròn xoay:
Công thức tổng quát: Vật thể (V) nằm giữa 2 mặt phẳng vuông góc với trục Ox, các mặt phẳng này có phương trình làx =a,x =b (a<b). Các thiết diện của vật thể (V) vuông góc với trục Ox nằm trên mặt phẳng có phương trình: x=x0(a x0 b) có diện tích tương ứngS(x0).Khi đó thể tích của vật thể (V) tính theo công thức:
V =
Z b
a
S(x)dx
Công thức tính cho vật thể tròn xoay:Vật thể (V) tròn xoay là vật thể được tạo thành do 1 hình thang cong giới hạn bởi các đường x =a,x =b
(a<b),y =0 và y =f(x) 0 quay quanh trục Ox. Khi đó thể tích của vật thể (V) tính theo công thức:
Z b