Sự liên tục và gián đoạn là một trong những khái niệm quan trọng của Giải tích. Trớc hết ta thấy rằng, hàm liên tục là hàm mà ta không phải nhấc bút lên khi vẽ đồ thị của nó. Còn hàm gián đoạn thì không vẽ đợc nh vậy.
∗ Trong thực tế, khi đi xem phim ở rạp chiếu bóng, ngời phụ trách ánh sáng quay từ từ cái cần biến trở, ánh sáng tờ mờ liên tục tắt dần rồi tắt hẳn. Nh- ng khi ở nhà, lúc tắt bóng đèn thì trớc một thời điểm nào đó độ sáng vẫn không giảm và đột nhiên tắt hẳn. Sự chuyển từ sáng tới tối nh thế đợc mô tả bằng một hàm gián đoạn.
∗ Thời gian có thuộc tính liên tục, nhng khi phân chia thành giây, phút, giờ thì lại là gián đoạn.…
∗ Đờng thẳng là trờng hợp điển hình cho sự liên tục. Nhng các con số tự nhiên kết hợp với điểm trên đờng thẳng là là gián đoan.
∗ Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đờng đi đợc tăng liên tục theo thời gian.
Bây giờ ta xét một ví dụ tổng quát: Khi ta đi trên đờng dốc hoặc trông thấy những ngọn núi chẳng hạn ta có suy nghĩ gì về độ dốc của một mặt hay một đờng cong? ở đây ta chỉ xét các đờng, trên một đờng cong trơn bất kì ta
đánh dấu một điểm và tự hỏi: Độ dốc của đờng cong tại điểm này là gì? Độ dốc ? A B
Tại điểm đó ta dựng 2 đờng thẳng: Tiếp tuyến và đờng thẳng nằm ngang. Bây giờ đã có thể nói đến độ dốc dựa vào góc của 2 đờng thẳng này. Nhng cũng không cần phải biết số đo của góc mà ta sẽ dùng hệ số góc của tiếp tuyến - tức là đạo hàm.
Và ta nói: độ dốc của đờng cong tại điểm A bằng +2, tại điểm B là 1 2 − thì với một nhà toán học, không cần hình vẽ cũng hình dung đợc rằng 1
2
− là sự xuống dốc thoai thoải, còn +2 là sự lên dốc dựng đứng của đờng cong nếu xét từ trái qua phải.
Dấu dơng của đạo hàm trong một khoảng là điều chứng tỏ sự tăng của hàm trong khoảng đó. Dấu âm chứng tỏ sự giảm. Đạo hàm đổi dấu tại điểm nào đó có nghĩa là tại điểm đó các phần tăng và giảm kề nhau. Đó là điểm cực trị - cực
đại hoặc cực tiểu. Nếu giảm đợc thay thế bởi tăng - cực tiểu. Còn tăng đợc thay
thế bởi giảm - cực đại.
Nhng tăng có thể từ đang tăng nhanh rồi chậm đi và đến một lúc nào đó đ- ợc thay thế bởi giảm. Hoặc ngợc lại, giảm cũng có thể từ giảm mạnh rồi chậm đi và đến một lúc nào đó đợc thay thế bởi tăng. Toán học đặc trng những đặc điểm nh vậy bằng các từ "lồi" và "lõm".
Với đờng cong lồi, từ trái sang phải ta thấy độ dốc của đờng cong giảm, tức là đạo hàm giảm, mà sự giảm là đạo hàm âm. Nên sự giảm của đạo hàm là
đạo hàm của đạo hàm âm, tức là đạo hàm bậc 2 âm. Điều này đã phản ánh một định lí trong [26, tr. 67].
Những điểm tại đó lồi đợc thay bằng lõm hoặc ngợc lại là những điểm
uốn. Tiếp tuyến tại đó sẽ cắt đờng cong.
Điểm cực đại đó là đỉnh của đờng cong lồi, tính lồi lại ứng với dấu âm của đạo hàm bậc 2. Điều này chứng tỏ đạo hàm bậc 2 âm là tiêu chuẩn cho cực đại. Cũng nh vậy, đạo hàm bậc nhất bằng 0 kết hợp với giá trị dơng của đạo hàm bậc 2 là tiêu chuẩn cho cực tiểu. Điều này đã phản ánh một định lí trong [26, tr. 58].
2.2.1.4. Chủ đề Vi phân và Tích phân
- Phép vi phân liên quan đến vấn đề đặt ra về vận tốc biến thiên của một hàm bất kì khi đối thay đổi, lúc đó vận tốc này là biến thiên và việc xác định nó đòi hỏi chính xác với mọi giá trị bất kì của đối. Tuy nhiên nó không chỉ có ích trong việc xác định vận tốc tức thời của chuyển động:
∗ Điện tích của bộ nguồn mắc vào một mạch điện giảm đi theo thời gian. Vận tốc giảm là dòng điện. Dòng này có thể khác nhau ở những thời điểm khác nhau và vì thế phải đợc tính nh là đạo hàm của điện tích theo thời gian.
∗ Nhiệt lợng trong một vật đang nung nóng tăng lên khi nhiệt độ tăng. C- ờng độ tăng là nhiệt dung - nó là riêng cho mỗi nhiệt độ. ở đây không thể tính toán nếu không có phép vi phân - nhiệt dung là đạo hàm của nhiệt lợng theo nhiệt độ.
∗ Cũng không đợc quên rằng phép tính vi phân là phơng tiện để vẽ tiếp tuyến với một đờng cong. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm mà đồ thị là đờng cong; đạo hàm đợc lấy với giá trị của đối ứng với tiếp điểm. Nắm đ- ợc điều này, khi dạy công thức (sinx)' = cosx có thể phát biểu bằng ngôn ngữ đồ thị: hệ số góc của tiếp tuyến với đờng sin tại mỗi điểm sẽ bằng chiều cao của đờng cosin tại điểm ấy.
- Phép tính tích phân là phép toán ngợc với phép vi phân và liên quan đến vấn đề tính quảng đờng đã đi theo một đồ thị khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá lớn trong thời gian chuyển động: đờng đi của vật từ một thời điểm cho trớc đến một thời điểm khác là tích phân xác định
của vận tốc theo thời gian lấy từ thời điểm ban đầu (đợc gọi là cận dới của tích phân) đến thời điểm cuối (cận trên của tích phân). Ngoài ra:
∗ Phép tích phân cho phép xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời điểm.
∗ Xác định độ tăng nhiệt lợng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệt dung của nó tại mỗi nhiệt độ.
Nói gọn hơn, phép tính tích phân cho phép tính tổng của một biến thiên biến đổi.
Ta không quên rằng, tích phân còn là phơng tiện để tính diện tích: Diện tích phần ở dới đờng cong là tích phân xác định của hàm mà đồ thị là đờng cong trong khoảng mà hàm đã đợc cho.
- Công thức Newton - Leibniz.
Khi đi xe máy trên đờng, đồng hồ báo cây số có thể là một dòng số tuỳ ý và đờng đi không phụ thuộc vào số này. Muốn xác định quảng đờng đi, phải lấy số chỉ ở máy đếm lúc đến đích trừ đi số lúc khởi hành.
Hoặc khi đến của hàng mua một vật gì đó, ngời bán hàng sẽ xác định trọng lợng bằng cách lấy hiệu của trọng lợng toàn bộ và vật đựng nó.
Còn trong vật lí ta gặp "hiệu điện thế". Dòng trong mạch điện đợc xác định bởi nó chứ tuyệt nhiên không phải là giá trị tuyệt đối của điện thế ở đầu này hay đầu kia của mạch.
Mọi việc sẽ xảy ra y nh vậy khi tính toán đờng đi theo vận tốc. Đờng đi là nguyên hàm của vận tốc. Nó có thể đợc tính từ một điểm gốc bất kì. Nhng số gia của đờng đi từ một thời điểm này đến một thời điểm khác bao giờ cũng bằng cùng một số là tích phân xác định của vận tốc lấy từ một trong các thời điểm đã chọn cho đến thời điểm kia. Và đây là một nguyên tắc chung: Tích phân xác định của một hàm nào đó với các cận đã cho là hiệu giữa các giá trị của một nguyên hàm tại cận trên và cận dới. Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tính tích phân xác định - công thức Newton - Leipnit.
phát triển xuất phát từ nhu cầu thực tiễn. Do vậy, chúng sẽ phản ánh lại thực tiễn, giải thích và phục vụ thực tiễn.
Bảng phản ánh thực tiễn của một số khái niệm trong Giải tích Khái niệm trong
môn Giải tích Sự phản ánh trong thực tiễn
Dãy số - Dãy các vết đạn trên bia ở trờng bắn.
Giới hạn - Xe mô tô chạy trong thành phố với vân tốc giới hạn là 40km/h.
- Chiều cao của con ngời là có giới hạn.
- Độ nóng của nớc có giới hạn (1000C) dù thời gian nấu có lâu bao nhiêu đi nữa.
Hàm số gián đoạn và liên tục
- Thời gian có thuộc tính liên tục, nhng khi phân chia thành giây, phút, giờ thì lại là gián đoạn.…
- Đờng thẳng là trờng hợp điển hình cho sự liên tục. Nh- ng các con số tự nhiên kết hợp với điểm trên đờng thẳng lại là gián đoan.
- Chiếc xe chạy từ Vinh ra Hà Nội thì quảng đờng đi đ- ợc tăng liên tục theo thời gian.
Đạo hàm - Bài toán tìm vận tốc tức thời của chuyển động thẳng không đều.
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm. Tích phân - Bài toán tìm diện tích của một hình thang cong.
2.2.2.Vấn đềứng dụng của Giải tích vào thực tiễn
Việc ứng dụng Toán học đã và đang đợc nhiều nhà khoa học giáo dục quan tâm. Theo PGS. TS. Ngô Hữu Dũng: ứng dụng Toán học vào thực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện cho học sinh [9, tr. 13 - 16]. Trong [27, tr. 54], một trong 5 yếu tố dạy học hiệu quả môn Giải tích đợc đa ra là: "Quan tâm đúng mức tới tính thực tiễn của môn Giải tích. Đặc biệt chú ý đến tính ứng dụng của môn Giải tích: ứng dụng vào giải quyết các bài toán trong thực tế và trong các môn học khác".
2.2.2.1. Vấn đề ứng dụng Giải tích trong nội bộ môn Toán
"Bản thân môn Toán không phải là tập hợp các dữ kiện tách rời nhau, hay là một thế giới "trừu tợng" tách biệt với đời sống và các khoa học khác mà trái lại, nó có tính liên hệ nội tại cao; có nguồn gốc từ thực tiễn" [27, tr. 59]. Tăng cờng hơn nữa các ứng dụng của Giải tích trong nội bộ môn Toán nhằm giúp học sinh nắm vững các tri thức, kĩ năng, phơng pháp và tạo tiền đề cho các ứng dụng ngoài Toán học. Đồng thời làm rõ tính nhiều tầng của mối liên hệ. Nhờ đó học sinh nắm đợc mạch tri thức Toán, "tránh tình trạng thấy cây mà không thấy rừng" [19, tr. 52]. Muốn vậy, trong dạy học giáo viên nên chú ý đến các ứng dụng của Giải tích trong các phân môn khác của Toán học. Rất nhiều bài toán đợc giải quyết hiệu quả hơn nhờ công cụ Giải tích. Chẳng hạn, việc nghiên cứu phơng trình, bất phơng trình ta quy về nghiên cứu hàm số: Bài toán tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x) cắt đồ thị (C') của hàm số y = g(x) tại n điểm có hoành độ thỏa mãn tính chất α đợc ứng dụng để giải quyết bài toán tìm m sao cho phơng trình f(x) = g(x) có n nghiệm thỏa mãn điều kiện α; tính liên tục đợc ứng dụng để chứng minh phơng trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức; tính đơn điệu của hàm số (đạo hàm) đợc ứng dụng để giải phơng trình, bất phơng trình và chứng minh bất đẳng thức; bài toán tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn tính chất αcũng đợc giải quyết dễ dàng nhờ hàm số…