ớẺnh lÝ: ớèi víi cĨc sè tù nhiởn a vÌ m tuú ý, cĨc sè dỨ cĐa phƯp chia a, a2, a3, a4... cho m lập lÓi mét cĨch tuđn hoÌn (cã thố khỡng bÕt ợđu tõ ợđu).
Chụng minh. Ta lÊy m + 1 luü thõa ợđu tiởn: a, a2, a3, a4..., am, am+1
vÌ xƯt cĨc sè dỨ cĐa chóng khi chia cho m. VÈ khi chia cho m chừ cã thố cã cĨc sè dỨ {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mÌ lÓi cã m + 1 sè, nởn trong cĨc sè trởn phội cã hai sè cã cĩng sè dỨ khi chia cho m. ChÒng hÓn hai sè ợã lÌ ak vÌ ak + l, trong ợã l > 0.
Khi ợã:
ak≡ ak + l (mod m) (1)
Víi mải n ≥ k nhờn cộ hai vỏ cĐa phƯp ợạng dỨ (1) víi an - k sỹ ợỨîc: an≡ an + l (mod m)
ớiồu nÌy chụng tá rững bÕt ợđu tõ vẺ trÝ tỨŨng ụng víi ak cĨc sè dỨ lập lÓi tuđn hoÌn.
Sè l ợỨîc gải lÌ chu kú tuđn hoÌn cĐa cĨc sè dỨ khi chia luü thõa cĐa a cho m.
Sau ợờy ta xƯt mét sè dÓng bÌi tẹp sö dông ợẺnh lÝ trởn:
BÌi toĨn: XƯt cĨc luü thõa liởn tiỏp cĐa sè 2:
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...
TÈm xem khi chia cĨc luü thõa nÌy cho 5 nhẹn ợỨîc cĨc loÓi sè dỨ nÌo ?
Giội: Ta cã:
21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 ≡ 3 (mod 5), 24 = 16 ≡ 1 (mod 5) (1)
ớố tÈm sè dỨ khi chia 25 cho 5 ta nhờn cộ hai vỏ phƯp ợạng dỨ (1) víi 2 sỹ ợỨîc: 25 = 24.2 ≡ 1x2 ≡ 2 (mod 5)
26 = 25.2 ≡ 2x2 ≡ 4 (mod 5) 27 = 26.2 ≡ 4x2 ≡ 3 (mod 5) ...
Ta viỏt kỏt quộ vÌo hai hÌng: hÌng trởn ghi cĨc luü thõa, hÌng dỨíi ghi sè dỨ tỨŨng ụng khi chia cĨc luü thõa nÌy cho 5:
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 ...
(2 4 3 1) (2 4 3 1) (2 4 3 ...
⇒ hÌng thụ hai cho ta thÊy rững cĨc sè dỨ lẹp lÓi mét cĨch tuđn hoÌn: sau 4 sè dỨ (2, 4, 3, 1) lÓi lập lÓi theo ợóng thụ tù trởn.
BÌi 10: TÈm sè dỨ khi chia 22005 cho 5
Giội:
* Ĩp dông kỏt quộ trởn: ta cã 2005 ≡ 1 (mod 4) ⇒ sè dỨ khi chia 22005 cho 5 lÌ 2
BÌi 11: TÈm chƠ sè cuèi cĩng cĐa sè: 234
Giội:
- XƯt cĨc luü thõa cĐa 2 khi chia cho 10 (sö dông MTBT ợố tÝnh cĨc luü thõa cĐa 2, ta thùc hiơn theo quy trÈnh sau: