: ANPH AA ANPH A= ANPHA
7. Mét sè dÓng toĨn khĨc:
7.1 Sè cã ợuỡi bÊt biỏn víi mải luü thõa:
1) Luü thõa bẹc bÊt kÈ cĐa cĨc sè cã chƠ sè tẹn cĩng bững 1 ; 5 ; 6 (vÌ chừ nhƠng sè Êy) ợồu cã chƠ sè tẹn cĩng bững 1 ; 5 ; 6 (cã ợuỡi bÊt biỏn).
2) Luü thõa bẹc bÊt kÈ cĐa cĨc sè cã chƠ sè tẹn cĩng bững 25 hoậc 76 (vÌ chừ nhƠng sè Êy) ợồu cã chƠ sè tẹn cĩng bững 25 hoậc 76 (cã ợuỡi bÊt biỏn).
3) Luü thõa bẹc bÊt kÈ cĐa cĨc sè cã chƠ sè tẹn cĩng bững 376 hoậc 625 (vÌ chừ nhƠng sè Êy) ợồu cã chƠ sè tẹn cĩng bững 376 hoậc 625 (cã ợuỡi bÊt biỏn).
4) Luü thõa bẹc bÊt kÈ cĐa cĨc sè cã chƠ sè tẹn cĩng bững 9376 hoậc 0625 (vÌ chừ nhƠng sè Êy) ợồu cã chƠ sè tẹn cĩng bững 9376 hoậc 0625 (cã ợuỡi bÊt biỏn).
...
BÌi 31: TÈm sè dỨ khi chia sè 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317)
Giội:
- Giộ sö A, B lÌ hai sè tù nhiởn cã tẹn cĩng lÌ 376, thÈ:
A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762
= 2000t + 1376; víi a, b t ∈ N
⇒ A.B chia 2000 cã sè dỨ lÌ 1376.
Víi k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thùc hiơn (k - 1) lđn phƯp nhờn 2 sè ợồu cã tẹn cĩng lÌ 376 rại chia cho 2000) thÈ ợỨîc dỨ lÌ 1376. ớồ bÌi ụng víi k = 2005!
BÌi 32: TÈm 2 chƠ sè tẹn cĩng cĐa sè:
A = 21999 + 22000 + 22001 H.DÉn: - Ta cã: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 = 7 x 29 x 210 x (220)99 - Ta cã (dĩng mĨy): 29 = 512 210 = 1024 ; 220 = 1048576
Nhẹn xƯt: sè cã 2 chƠ sè tẹn cĩng lÌ 76, luü thõa bẹc bÊt kú còng cã 2 chƠ sè tẹn
cĩng lÌ 76. Vẹy (220)99 còng cã 2 sè tẹn cĩng lÌ 76.
⇒ 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = ...16. Vẹy 2 chƠ sè cuèi cĩng cĐa A lÌ 16
BÌi 33: TÈm bèn chƠ sè tẹn cĩng cĐa 51994.
Giội:
- Ta cã: 54 = 625
- Nhẹn thÊy sè cã tẹn cĩng lÌ 625 luü thõa bẹc bÊt kú vÉn cã tẹn cĩng lÌ 625 - Do ợã:
51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625. Vẹy bèn chƠ sè tẹn cĩng cĐa sè 51994 lÌ 5625.
7.2 Khai triốn nhẺ thục Newton vÌ bÌi toĨn chia hỏt:
-Ta cã khai triốn:
( )n n 1 n 1 2 n 2 2 ... n 1 n 1 n n n n a b+ =a +C a b C a− + − b + +C ab− − +b 1 ( 1) 2 2 ( 1)( 2) 3 3 ( 1) 2 2 1 ... 1.2 1.2.3 1.2 n n n n n n n n n n n n n n a na b− + a b− − − a b− − a b − nab − b = + + + + + + +
- Khi chụng minh vồ tÝnh chia hỏt cĐa cĨc luü thõa, cđn nhí mét sè kỏt quộ sau: 1) an - bn chia hỏt cho a - b (a ≠ b) 2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hỏt cho a + b (a ≠ -b) 3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: béi sè cĐa a) ớậc biơt: (a + 1)n = BS a + 1 (a - 1)2n = BS a + 1 (a - 1)2n + 1 = BS a - 1
BÌi 34: TÈm sè dỨ khi chia 2100 cho:
a) 9 b) 5 c) 125
Giội:
a) Luü thõa cĐa 2 sĨt víi mét béi cĐa 9 lÌ 23 = 8 = (9 - 1)
- Ta cã: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7 Vẹy sè dỨ khi chia 2100 cho 9 lÌ 7.
b) Luü thõa cĐa 2 sĨt víi mét béi cĐa 25 lÌ 210 = 1024 = (BS 25 - 1) - Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1
Vẹy sè dỨ khi chia 2100 cho 25 lÌ 1 c) Dĩng cỡng thục Newton:
100 ( )50 50 49 50.49 2
2 5 1 5 50.5 ... .5 50.5 1
2
ớố ý rững 48 sè hÓng ợđu ợồu chụa thõa sè 5 víi sè mò lín hŨn hoậc bững 3 nởn chia hỏt cho 125, hai sè hÓng kỏ tiỏp còng chia hỏt cho125, sè hÓng cuèi lÌ 1.
Vẹy 2100 = BS 125 + 1 ⇒ Sè dỨ cĐa 2100 khi chia cho 125 lÌ 1
Tăng quĨt: Nỏu mét sè tù nhiởn n khỡng chia hỏt cho 5 thÈ chia n100 cho 125 ta ợỨîc sè dỨ lÌ 1.
BÌi 35: TÈm ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa 2100.
H.DÉn: - Ta tÈm dỨ trong phƯp chia 2100 cho 1000.
- TrỨíc hỏt tÈm sè dỨ cĐa phƯp chia 2100 cho 125. Theo bÌi 34: 2100 = BS 125 + 1, mÌ 2100 lÌ sè chỎn, nởn ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa nã chừ cã thố lÌ (dĩng mĨy tÝnh ợố thö):
126, 376, 626 hoậc 876.
- Hiốn nhiởn 2100 chia hỏt cho 8 nởn ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa nã phội chia hỏt cho 8. Bèn sè trởn chừ cã 376 thoộ mỈn ợiồu kiơn nÌy. Vẹy ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa 2100 lÌ 376.
Tăng quĨt: Nỏu n lÌ sè tù nhiởn chỎn khỡng chia hỏt cho 5 thÈ ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa n100 lÌ 376.
BÌi 36: TÈm ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa 3100.
Giội: - Ta phờn tÝch nhỨ sau: 100 ( )50 50 50.49 2 3 10 1 10 ... .10 50.10 1 2 = − = − + − + = BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1. Vẹy 3100 tẹn cĩng lÌ 001.
Tăng quĨt: Nỏu n lÌ sè tù nhiởn lị khỡng chia hỏt cho 5 thÈ ba chƠ sè tẹn cĩng cĐa n100 lÌ 001.
BÌi 37: Thay cĨc dÊu * bẽi cĨc chƠ sè thÝch hîp:
896 = 496 9 * * 290 961.
H.DÉn:
- Ta cã: (896 - 1) M (89 - 1) ⇒ (896 - 1) M 11
(896 - 1) M (893 + 1) ⇒ (896 - 1) M (89 + 1) ⇒ (896 - 1) M 9 - ớật A = (896 - 1) = 496 9 x y 290 960. Ta cã A chia hỏt cho 9 vÌ 11.
Ta cã tăng cĨc chƠ sè hÌng lị (tõ phội sang trĨi) cĐa A bững: 36 + y ; tăng cĨc chƠ sè hÌng chỎn cĐa A bững: 18 + x A chia hỏt cho 9 nởn: 54 + x + yM 9 ⇒ x + y ∈ {0 ; 9 ; 18} A chia hỏt cho 11 nởn: [(36 + y) - (18 + x)] M 11 ⇒ x - y ∈ {-4 ; 7} + Nỏu x + y = 0 thÈ x = y = 0 (loÓi) + Nỏu x + y = 18 thÈ x = y = 9 (loÓi) + Nỏu x + y = 9 : chó ý rững (x + y) vÌ (x - y) cĩng chỎn hoậc cĩng lị nởn: x - y = 7 ⇒ x = 8 ; y = 1. Vẹy 896 = 496 981 290 961
7.3 TÈm chƠ sè thụ k (k ∈ N) trong sè thẹp phờn vỡ hÓn tuđn hoÌn:
ớẺnh lÝ: (DÊu hiơu nhẹn biỏt mét phờn sè ợăi ợỨîc ra sè thẹp phờn hƠu hÓn)
ớiồu kiơn cđn vÌ ợĐ ợố mét phờn sè tèi giộn cã thố viỏt ợỨîc thÌnh ra sè thẹp phờn hƠu hÓn lÌ mÉu sè cĐa nã khỡng chụa nhƠng thõa sè nguyởn tè ngoÌi 2 vÌ 5.
* Tõ ợẺnh lÝ trởn ta rót ra nhẹn xƯt sau: Nỏu phờn sè tèi giộn a
b cã mÉu b khỡng chụa cĨc thõa sè nguyởn tè 2, 5 hoậc
ngoÌi thõa sè nguyởn tè 2, 5 cßn chụa cộ thõa sè nguyởn tè khĨc thÈ do cĨc sè dỨ trong quĨ trÈnh chia bao giê còng phội nhá hŨn b nởn cĨc sè dỨ chừ cã thố lÌ cĨc sè trong:
{1; 2; 3;...;b-1}
NhỨ vẹy trong phƯp chia a cho b, nhiồu nhÊt lÌ sau (b - 1) lđn chia cã thố gập cĨc sè dỨ khĨc nhau, nhỨng chÕc chÕn rững sau b lđn chia thÈ thỏ nÌo ta còng gập lÓi sè dỨ ợỈ gập trỨíc. Do ợã, nỏu ta cụ tiỏp tôc chia thÈ cĨc sè dỨ sỹ lập lÓi vÌ dư nhiởn cĨc chƠ sè trong thỨŨng còng lập lÓi.
Tõ ợã ợố tÈm chƠ sè thụ k sau dÊu phộy cĐa sè thẹp phờn vỡ hÓn tuđn hoÌn, ta chừ cđn xĨc ợẺnh ợỨîc chu kú lập lÓi cĐa cĨc chƠ sè trong thỨŨng, tõ ợã dÔ dÌng suy ra ợỨîc chƠ sè cđn tÈm.
BÌi 38: TÈm chƠ sè thẹp phờn thụ 2005 sau dÊu phộy cĐa sè:
) 1 ; ) 1 ; ) 10; ) 1 37 41 51 49 a A= b B= c C= d C= H.DÉn: a) Sè 1 0,027 027 (027)... 37
A= = tuđn hoÌn chu kú 3 chƠ sè 027.
VÈ 2005 ≡ 1 (mod 3) nởn chƠ sè thụ 2005 sau dÊu phộy cĐa A lÌ: b) Sè 1 0,02439 02439(02439)...
41
B= = tuđn hoÌn chu kú 5 chƠ sè 02439.
VÈ 2005 ≡ 0 (mod 5) nởn chƠ sè thụ 2005 sau dÊu phộy cĐa B lÌ: c) Sè 10 0,(1960784313725490)
51
C= = TH chu kú 16 chƠ sè:1960784313725490
VÈ 2005 ≡ 5 (mod 16) nởn chƠ sè thụ 2005 sau dÊu phộy cĐa C lÌ: d) Sè 1 0,(020408163265306122448979591836734693877551)
49
D= =
tuđn hoÌn chu kú 42 chƠ sè 020408163265306122448979591836734693877551 VÈ 2005 ≡ 31 (mod 42) nởn chƠ sè thụ 2005 sau dÊu phộy cĐa D lÌ:
Phđn IV: giội tam giĨc