BÌi 19: TÈm sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong cĨc sè tù nhiởn dÓng:
1 2 3 4x y z
chia hỏt cho 7.
Giội:
- Sè lín nhÊt dÓng 1 2 3 4x y z chia hỏt cho 7 sỹ phội cã dÓng: 19293 4z víi z ∈{0, 1, 2,...,8, 9} lđn lỨît thö víi z = 9; 8; 7; 6; 5... ợỏn z = 5, ta cã:
1929354 ÷ 7 = (275622)
Vẹy sè lín nhÊt dÓng 1 2 3 4x y z chia hỏt cho 7 lÌ 1929354, thỨŨng lÌ 275622 - Sè nhá nhÊt dÓng 1 2 3 4x y z chia hỏt cho 7 sỹ phội cã dÓng:
10203 4z víi z ∈{0, 1, 2,...,8, 9} lđn lỨît thö víi z = 0; 1; 2; 3... ợỏn z = 3, ta cã:
1020334 ÷ 7 = (145762)
Vẹy sè nhá nhÊt dÓng 1 2 3 4x y z chia hỏt cho 7 lÌ 1020334, thỨŨng lÌ 145762
BÌi 20: TÈm sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong cĨc sè tù nhiởn dÓng:
1 2 3 4x y z chia hỏt cho 13.
ớĨp sè: - Sè lín nhÊt dÓng 1 2 3 4x y z chia hỏt cho 13 lÌ 1929304 - Sè nhá nhÊt dÓng 1 2 3 4x y z chia hỏt cho 13 lÌ 1020344
BÌi 21: (ớồ thi chản ợéi tuyốn từnh Phó Thả tham gia kÈ thi khu vùc nÙm 2004)
TÈm tÊt cộ cĨc sè n dÓng: 1235679 4 N = x y chia hỏt cho 24. H.DÉn: - VÈ N M 24 ⇒ N M 3 ; N M 8 ⇒ (37 + x + y) M 3 ; 4x yM 8. ⇒ y chừ cã thố lÌ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840
BÌi 22: TÈm cĨc sè khi bÈnh phỨŨng sỹ cã tẹn cĩng lÌ ba chƠ sè 4. Cã hay khỡng cĨc sè
khi bÈnh phỨŨng cã tẹn cĩng lÌ bèn chƠ sè 4 ?
H.DÉn:
- ChƠ sè cuèi cĩng cĐa x2 lÌ 4 thÈ chƠ sè cuèi cĩng cĐa x lÌ 2 hoậc 8. TÝnh trởn mĨy bÈnh phỨŨng cĐa sè:
2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chừ cã cĨc sè: ta chừ cã cĨc sè:
12, 62, 38, 88
khi bÈnh phỨŨng cã tẹn cĩng lÌ hai chƠ sè 4. - TÝnh trởn mĨy bÈnh phỨŨng cĐa cĨc sè: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta ợỨîc: 462, 962, 38, 538 khi bÈnh phỨŨng cã tẹn cĩng lÌ 444.
* TỨŨng tù cĨch lÌm trởn, ta cã kỏt luẹn: khỡng cã N nÌo ợố N2 kỏt thóc bẽi 4444.
BÌi 23: TÈm tÊt cộ cĨc sè cã 6 chƠ sè thoỈ mỈn:
1) Sè tÓo thÌnh bẽi ba chƠ sè cuèi lín hŨn sè tÓo thÌnh bẽi ba chƠ sè ợđu 1 ợŨn vẺ 2) LÌ sè chÝnh phỨŨng. H. DÉn: - Gải sè cđn tÈm lÌ: n a a a a a a= 1 2 3 4 5 6 . - ớật x a a a= 1 2 3. Khi Êy a a a4 5 6= +x 1 vÌ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.
Vẹy hai trong ba sè nguyởn tè 7, 11, 13 phội lÌ Ứíc cĐa mét trong hai thõa sè cĐa vỏ trĨi vÌ sè cßn lÓi phội lÌ Ứíc cĐa thõa sè cßn lÓi cĐa vỏ trĨi.
n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.
BÌi 24: TÈm tÊt cộ cĨc sè tù nhiởn x thoộ mỈn: 10000 < x < 15000 vÌ khi chia x cho 393
còng nhỨ 655 ợồu cã sè dỨ lÌ 210.
H.DÉn: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Tõ giộ thiỏt, ta cã: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hỏt cho 393 x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hỏt cho 655 ⇒ x -210 chia hỏt cho BCNN (393 ; 655) = 1965 ⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210 - Tõ giộ thiỏt 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8. TÝnh trởn mĨy: Víi k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035 Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vẹy cĨc sè phội tÈm lÌ: 10035, 12000, 13965
BÌi 25: TÈm cĨc chƠ sè x, y, z ợố 579xyz chia hỏt cho 5, 7 vÌ 9.
Giội:
- VÈ cĨc sè 5, 7, 9 ợỡi mét nguyởn tè cĩng nhau nởn ta phội tÈm cĨc chƠ sè x, y, z sao cho 579xyz chia hỏt cho 5.7.9 = 315.
Ta cã 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz
⇒ 30 + xyz chia hỏt cho 315. VÈ 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nởn (Dĩng mĨy tÝnh tÈm cĨc béi cĐa 315 trong khoộng (30 ; 1029):
- Nỏu 30 + xyz = 315 thÈ xyz = 315 - 30 = 285 - Nỏu 30 + xyz = 630 thÈ xyz = 630 - 30 = 600 - Nỏu 30 + xyz = 945 thÈ xyz = 945 - 30 = 915 Vẹy ta cã ợĨp sè sau:
x y z
2 8 5
9 1 5
BÌi 26: (Thi Quèc tỏ IMO 1962):
TÈm sè nguyởn dỨŨng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: 1) Viỏt dỨíi dÓng thẹp phờn a cã tẹn cĩng lÌ sè 6.
2) Nỏu bá chƠ sè 6 cuèi cĩng vÌ ợật chƠ sè 6 lởn trỨíc cĨc chƠ sè cßn lÓi sỹ ợỨîc mét sè gÊp 4 lđn chƠ sè ban ợđu.
Giội: - Giộ sö sè cđn tÈm cã n + 1 chƠ sè. - Tõ ợiồu kiơn 1) sè ợã dÓng: a a a1 2... 6n - Tõ ợiồu kiơn 2), ta cã: 6a a a1 2... n = 4.a a a1 2... 6n (*) - ớật a a a a= 1 2... n , thÈ: a a a1 2... 6n = 10a + 6 6a a a1 2... n = 6.10n + a - Khi ợã (*) trẽ thÌnh: 6.10n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**) ớÒng thục (**) chụng tá vỏ trĨi chia hỏt cho 13.
VÈ (2 ; 13) = 1 nởn: 10n - 4 chia hỏt cho 13.
BÌi toĨn quy vồ: TÈm sè tù nhiởn n nhá nhÊt ợố (10n - 4) chia hỏt cho 13, khi ợã tÈm ra sè a vÌ sè cđn tÈm cã dÓng: 10a + 6.
Thö lđn lỨît trởn mĨy cĨc giĨ trẺ n = 1; 2;... thÈ (10n - 4) lđn lỨît lÌ: 6, 96, 996, 9996, 99996,... vÌ sè ợđu tiởn chia hỏt cho 13 lÌ: 99996. Khi ợã a = 15384 ⇒ Sè cđn tÈm lÌ: 153846.
BÌi 27: TÈm sè tù nhiởn n sao cho:
a) 2n + 7 chia hỏt cho n + 1 b) n + 2 chia hỏt cho 7 - n
H.DÉn:
a) Lẹp cỡng thục (2n + 7) : (n + 1) trởn mĨy vÌ thö lđn lỨît n = 0, 1, 2,... ta ợỨîc n = 0 vÌ n = 4 thÈ 2n + 7 chia hỏt cho n + 1.
Chụng minh víi mải n ≥ 5, ta ợồu cã 2n + 7 khỡng chia hỏt cho n + 1, thẹt vẹy: (2n + 7) M (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] M (n + 1) ⇒ 5 M (n + 1) ⇒ n ≤ 5. Vẹy sè n cđn tÈm lÌ 0 hoậc 4.
BÌi 28: TÈm sè tù nhiởn n nhá nhÊt sao cho n3 lÌ mét sè cã 3 chƠ sè ợđu vÌ 4 chƠ sè cuèi ợồu lÌ sè 1. Giội: Nhẹn xƯt: 1) ớố n3 cã tẹn cĩng lÌ 11 thÈ n cã tẹn cĩng lÌ sè 1. Thö trởn mĨy cĨc sè: 11, 21, 31,...81, 91
ợỨîc duy nhÊt sè 71 khi luü thõa bẹc ba cã tẹn cĩng lÌ 11. 2) ớố n3 cã tẹn cĩng lÌ 111 thÈ n cã phội tẹn cĩng lÌ sè 471.
(Thö trởn mĨy víi cĨc sè: 171, 271, 371,...871, 971 )
3) ớố n3 cã tẹn cĩng lÌ 1111 thÈ n phội cã tẹn cĩng lÌ sè 8471.
(Thö trởn mĨy víi cĨc sè: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 )
- Giộ sö m lÌ sè chƠ sè ợụng giƠa cĨc sè 111 vÌ 1111: + Nỏu m = 3k, k ∈Z+, thÈ: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 ( { { { 4 3 4 3 3 111000...000000 111 ... 1111 112000...000000 m k k = k < < 14 2 43 14 2 43 ) ⇒ 31110.10k+1< 3n3 = 3111...1111< 31120.10k+1 TÝnh trởn mĨy: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1
Do ợã, víi k ≥ 1. Cho k = 1 ta ợỨîc n bÕt ợđu bững sè 103, nghưa lÌ: n = 103...8471
⇒ Sè nhá nhÊt trong cĨc sè ợã lÌ: n = 1038471 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+ Nỏu m = 3k + 1 vÌ m = 3k + 2, ta ợỨîc cĨc sè nÌy ợồu vỨît quĨ sè 1038471
Kỏt luẹn: Sè nhá nhÊt thoỈ mỈn yởu cđu bÌi toĨn lÌ: n = 1038471 khi ợã:
BÌi 29: a) TÈm sè tù nhiởn n nhá nhÊt mÌ n2 bÕt ợđu bẽi sè 19 vÌ kỏt thóc bững sè 89 b) TÈm sè tù nhiởn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ợã xxxxxx lÌ 6 sè cã thố
khĨc nhau).
Giội:
a) TrỨíc hỏt ta tÈm sè n2 cã tẹn cĩng lÌ 89:
- VÈ n2 cã tẹn cĩng lÌ 9 nởn n chừ cã thố cã tẹn cĩng lÌ 3 hoậc 7. - Thö trởn mĨy cĨc sè: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta tÈm ợỨîc:
ợố n2 cã tẹn cĩng lÌ 89 thÈ n phội cã 2 sè tẹn cĩng lÌ mét trong cĨc sè sau:
17, 33, 67, 83 (*)
* Bờy giê ta tÈm sè n2 bÕt ợđu bẽi sè 19: - ớố n2 bÕt ợđu bẽi sè 19 thÈ nã phội cã dÓng:
19 x 10k≤ n2 < 20 x 10k ⇔ 19.10k 20.10k n ≤ < (1) + Nỏu k = 2m thÈ ta cã (1), trẽ thÌnh: 19.10m≤ <n 20.10m ⇔ 4,3588989.10m≤ n < 4,472135955.10m (2) Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trởn mĨy):
ta ợỨîc n cã thố lÌ: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447 + Nỏu k = 2m thÈ ta cã (1), trẽ thÌnh:
190.10m≤ <n 200.10m
⇔ 13,78404875.10m≤ n < 14,14213562.10m (3) Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trởn mĨy):
ta ợỨîc n cã thố lÌ: 14, 138, 139, ... , 141
1379, 1380, 1381, ... , 1414
Tãm lÓi ợố n bÕt ợđu bẽi sè 19 thÈ n cã thố lÌ:
14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**)
Tõ (*) vÌ (**) ta nhẹn thÊy trong cĨc sè trởn chừ cã sè 1383 thoộ mỈn bÌi toĨn. b) Ta cã: 2525 x 108≤ x2 < 2526 x 108
⇔ 50,24937811 x 104≤ x < 50,25932749 x 104
Vẹy : 502493 < x < 502593
Sè x tẹn cĩng phội lÌ: 17, 33, 67, 83 (theo cờu a), do ợã cĨc sè thoộ mỈn lÌ: 502517, 502533, 502567, 502583.
BÌi 30: Víi giĨ trẺ tù nhiởn nÌo cĐa n thÈ: 1,01n - 1 < (n - 1) vÌ 1,01n > n. Giội: - Ta cã: 1,01512 ≈ 163,133... < 512 1,011024≈ 26612,56.. > 1024 Vẹy: 512 < n < 1024
Thu hỦp khoộng cĨch chụa n bững phỨŨng phĨp chia ợỡi: - Chia ợỡi ợoÓn [512 ; 1024], ta cã:
521 1024 768 768 2 1,01 1,01 2083,603... 768 + = = > Vẹy lÓi cã: 512 < n < 768
Sau mét sè bỨíc chia ợỡi nhỨ thỏ ợi ợỏn: 650 < n < 652
Cuèi cĩng ta cã: 1,01651 = 650,45... < 651 1,01652 = 656,95.. > 652
⇒ n = 652
Ta hoÌn toÌn giội bÌi toĨn trởn bững mét quy trÈnh trởn MTBT:
(Thuẹt toĨn: XƯt hiơu 1,01A - A , gĨn cho A cĨc giĨ trẺ tù nhiởn: 0, 1, 2,... dõng lÓi khi hiơu trởn chuyốn tõ (-) sang (+)) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- GĨn cho ỡ nhí A giĨ trẺ tù nhiởn ợđu tiởn:
0 SHIFT STO A
- Lẹp cỡng thục tÝnh hiơu 1,01A - A vÌ gĨn giĨ trẺ ỡ nhí bẽi sè tù nhiởn kỏ tiỏp:
1,01 ∧ ANPHA A - ANPHA A