DỰA TRÊN CƠ SỞ ĐẠI SỐ GIA TỬ.
Tiếp theo trong phần này, chúng ta sẽ đề xuất một phƣơng pháp nội suy mới dựa trên phƣơng pháp nội suy mờ đối với tập mờ dạng CNFS (convex normal fuzzy set) của D. Tikk, T.D.Gedeon, P.Branyi ([17][18]); Phƣơng pháp của các tác giả này tiếp tục phát triển phƣơng pháp nội suy của Koczy và Hirota (phƣơng pháp KH) [16] và phƣơng pháp MACI (phƣơng pháp Modify Alpha - Cut Interpolation); Phƣơng pháp trên tạm gọi là phƣơng pháp IMUL[17][18] (Improved MULtidimentional ); Phƣơng pháp này khắc phục đƣợc các trƣờng hợp bất thƣờng của tập mờ kết luận thu đƣợc (không còn là CNFS) của bài toán suy diễn sau khi nội suy theo phƣơng pháp KH.
Phƣơng pháp nội suy của chúng ta dựa trên metric trên đại số gia tử đã đƣợc xây dựng trong phần trên. Phƣơng pháp đề ra ở đây bỏ qua đƣợc bƣớc tích hợp các đại số gia tử khác nhau, đồng thời tính toán đƣợc bán kính mờ của kết luận. Kết hợp với ánh xạ ngƣợc -1
của ánh xạ lƣợng hóa ngữ nghĩa , ta có thể rút ra đƣợc giá trị ngôn ngữ tƣơng ứng của kết luận.
Từ các tính chất của độ đo tính mờ ta thấy rằng khi có các tham số fm(c+),
fm(c-) và các (h) để xây dựng , với định nghĩa đệ qui của fm(x) từ fm(c+), fm(c-) và các (h), ta có thể tính đƣợc các fm(hc+) và các fm(hc-) và từ đó tính đƣợc fm(x) với x X.
Với x X, nếu Sign(hp+qx)=-1 đặt a= (x)- fm(x) và b= (x)+ fm(x). Ngƣợc lại nếu nếu Sign(hp+qx)=1 đặt a= (x)- fm(x) và b= (x)+ fm(x). Khi đó với x X, tập mờ tam giác (a, (x),b) là hoàn toàn xác định. Xét K: F[0,1] [0,1] là hàm khử mờ theo phƣơng pháp cực đại, với tập mờ tam giác A=(a,v(x),b) thì K(A)=v(x). Do đó hàm đo mờ (x)=(a, (x),b) trong mệnh đề 3.1 dƣới đây là xác định.
Mệnh đề 3.1
Cho đại số gia tử mở rộng đối xứng (X,C,H, ), là ánh xạ lượng hóa ngữ nghĩa trên X, F[0,1] là tập tất cả các tập mờ trên [0,1]. K: F[0,1] [0,1] là hàm khử mờ theo phương pháp cực đại.
Ta có :X F[0,1] với (x)=(a, (x),b) là một hàm đo mờ trên X.
Tiếp theo nhƣ đã nêu trong phần đầu mục này, dựa vào phƣơng pháp nội suy mờ của D. Tikk, T.D.Gedeon, P.Branyi [17][18], dƣới đây chúng ta sẽ đề xuất một thuật toán nội suy mới để giải bài toán mô hình mờ dựa trên cơ sở đại số gia tử. Với thuật toán này với đầu vào X0=(A01,A02,..A0n) cuả mô hình mờ M, chúng ta sẽ tính toán đƣợc một tập mờ tam giác (a0, (B0),b0) ứng với kết luận Y=B0 , ở đây (B0) là giá trị lƣợng hóa của biến ngôn ngữ ứng với kết luận B0 và |b0-a0| là độ dài bán kính mờ của nó.
Tƣ tƣởng chính của thuật toán nhƣ sau:
Với mỗi luật thứ t (t=1,...,m) trong mô hình M là: If X1 = At1 and X2=At2 and ... and Xn=Atn Then Y= Bt Đặt Xt
=(At1,At2,..Atn), ta tính khoảng cách từ đầu vào X0
=(A01,A02,..A0n) đến các Xt để xác định các Xj, Xk gần với X0 nhất. Với khoảng cách (X0,Xt) có thể đƣợc tính theo các phƣơng pháp sau:
(X0,Xt) = n i i ti v A A v 1 2 0 )] ( ) ( [ (khoảng cách Euclide) (1) (X0,Xt) = w n i w i ti v A A v 1 0 )] ( ) ( [ (khoảng cách Minkowski) (X0,Xt) = n i i ti v A A v 1 0 )| ( ) ( | (khoảng cách Hamming). Đặt F(Xt) = 1 1 * ( ) n ti i v A n với t=0,1,2,....
Nếu F(X0) [F(Xj),F(Xk)] hoặc F(X0) [F(Xk),F(Xj)] ta sẽ nội suy tuyến tính dựa trên Xj, Xk, dựa trên phƣơng trình (X0,Xj): (X0,Xk)= (B0,Bj): (B0,Bk).
Ta có:
Với n i ji ki n i ji i A A A A t 1 2 1 2 0 )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( Tƣơng tự a0 và b0 đƣợc tính nhƣ sau: a0 = (1- ta)aj + taak (3) b0 = (1- tb)bj + tbbk (4)
Với aj, bj, ak, bk tƣơng ứng là các đầu mút của các bán kính mờ của Bj, Bk.
n i ji ki n i ji i a a a a a t 1 2 1 2 0 ) ( ) ( và n i ji ki n i ji i b b b b b t 1 2 1 2 0 ) ( ) (
Với a0i, b0j, aji, bji, aki, bki tƣơng ứng là các đầu mút bán kính mờ của A0i, Aji,Aki.
Ngƣợc lại F(X0) [F(Xj),F(Xk)] hoặc F(X0) [F(Xk),F(Xj)] có thể ngoại suy để tính đƣợc giá trị (B0), tuy vậy sẽ cho sai số lớn, ở đây có thể tính nhƣ sau:
- Tìm chỉ số l sao cho (X0,Xl)= min( (X0,Xt)) ( t=1,...,m; l j; l k) - (B0) = ( (Bj)+ (Bk)+ (Bl))/3.
F(Xt) thực chất là một phép tích hợp mờ (xem thêm [2][15]) nhằm xác định đƣợc F(X0) [F(Xj),F(Xk)] hoặc F(X0) [F(Xk),F(Xj)] để quyết định nội suy hay ngoại suy.
Các công thức (2), (3), (4) và công thức tính t nói trên chính là công thức nội suy tuyến tính trên không gian n chiều.
Ở đây cũng có thể sử dụng cách tính trung bình cộng (B0) = (( (Bj)+ (Bk))/2. Đây cũng là một phƣơng pháp xấp xỉ theo phƣơng pháp bình phƣơng bé nhất. Nhƣng trong bài chúng tôi sử dụng phƣơng pháp nội suy tuyến tính.
Thuật toán 3.2
Input: Cho mô hình mờ (M), Đầu vào X0=(A01,A02,..A0n).
Output: Giá trị Y=B0
Phương pháp:
Bƣớc 1:
- Tính các giá trị (Ati) , (Bt); i=1,...,n, t=1,...,m đối với mỗi mệnh đề IF - THEN.
- Tính các bán kính mờ a0i, b0i; i=1,...,n Bƣớc 2:
- Tính các khoảng cách (X0,Xi) theo công thức (1). Bƣớc 3:
- Xác định j , k sao cho (X0,Xj), (X0,Xk)= min( (X0,Xt)) ( t=1,...,m; k j). - Tính các bán kính mờ aji, bji, aki, bki,
- Nếu F(X0) [F(Xj),F(Xk)] hoặc F(X0
) [F(Xk),F(Xj)] nội suy theo các công thức (2), (3), (4) để xác định B0.
Ngƣợc lại nếu F(X0) [F(Xj),F(Xk)] hoặc F(X0) [F(Xk),F(Xj)] thì
- Tìm chỉ số l sao cho (X0,Xl)= min( (X0,Xt)) ( t=1,...,m; l j; l k) - (B0) = ( (Bj)+ (Bk)+ (Bl))/3
Bƣớc 4:
- Từ giá trị (B0), áp dụng hàm ngƣợc -1 để tính ra giá trị ngôn ngữ của B0.
Return.
Cần nói thêm rằng, sau khi trang bị metric trên đại số gia tử ta có thể sử dụng các phép nội suy bậc n hay nội suy trên lƣới nhƣ nội suy Newton hay nội suy Lagrange... Tuy vậy, các phép nội suy này có độ phức tạp tính toán cao. Ở đây chúng ta áp dụng nội suy bậc nhất với sai số có thể chấp nhận đƣợc. Vấn đề đƣợc kiểm chứng qua ví dụ dƣới đây.
Trong quá trình tính toán trong các ví dụ ở phần dƣới đây, ta sử dụng khoảng cách Euclide.
Ví dụ
Xét ví dụ sau đƣợc nêu ra trong [19] về điều khiển mờ cho một plant model với các luật điều khiển của nó đƣợc cấu trúc thành một mô hình mờ bao gồm các luật dạng e, e=> q theo bảng sau:
e \ e NB NM NS ZO PS PM PB NB PB NM PM NS PS ZO PB PM PS ZO NS NM NB PS NS PM NM PB NB
Các luật trên có dạng sau:
R1: If e is NB and e is ZO then q is PB
R2: If e is NM and e is ZO then q is PM
...
Trong đó e: lỗi (error), e: sự thay đổi của lỗi (change in error) và q: sự thay đổi của hành động điều khiển (change in control action), còn NB, NM,...,PB là các giá trị ngôn ngữ đƣợc biểu diễn bởi các tập mờ mà hàm thuộc của nó cho trong hình sau:
Trong [15] đã tính toán cho mô hình trên theo phƣơng pháp suy diễn mờ và nội suy mờ với các kết quả cho trong các bảng dƣới đây:
Bảng 1: Kết quả suy diễn mờ theo [15] và khử mờ theo phƣơng pháp trọng
tâm: (Vì các luật có tính đối xứng, nên chỉ cần tính một phần tƣ của bảng) e\ e NB NM NS ZO NB Unkn- own NM 4.0 3.0 NS 4.358 2.701 2.0 ZO 4.467 2.045 1.040 0 PS 4.358 1.169 0 PM 4.0 0 PB Unkn- own
Kết quả tính toán đối với mô hình mờ nói trên theo phƣơng pháp nội suy mờ trong [15] đƣợc cho theo bảng sau:
Bảng 2: Kết quả suy diễn sử dụng phƣơng pháp nội suy mờ trong [15].
e\ e NB NM NS ZO NB 5.964 NM 5.382 4.0 NS 5.874 3.897 2.0 ZO 5.958 4.0 2.0 0 PS 5.785 3.692 0 PM 3.015 0 PB 0
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng phƣơng pháp nội suy đƣa ra trong bài ở phần trên để tính toán các kết quả tƣơng tự cho mô hình này. Sau đó so sánh với các kết quả tính toán bằng phƣơng pháp suy diễn mờ và nội suy mờ trong [15], đồng thời đƣa ra các nhận xét về phƣơng pháp của chúng ta.
Các giá trị NB, NS, PB, ZO... trong mô hình này đƣợc chuyển dịch tƣơng ứng với các giá trị của biến ngôn ngữ diễn tả mức độ lớn nhỏ và sử dụng ánh xạ lƣợng hoá ngữ nghĩa với các tham số theo bảng sau, với giả thiết độ đo tính mờ của các gia tử là nhƣ nhau và = =1/2.
NB NM NS ZO PS PM PB NB NM NS ZO PS PM PB
Bảng 3
Các giá trị Giá trị ngôn ngữ tƣơng ứng Tham số của
NB NM NS ZO PS PM PB
More More Small More Possibly Small Possibly Little Small
W
Possibly Little Large More Possibly Large More More Large
(W) = = 0.5, = = 0.5
độ đo tính mờ của các gia tử
(less) = (possible) = (more) = (very) = 0.25
Các kết quả liên quan đến ánh xạ lƣợng hoá ngữ nghĩa với các tham số trên xin xem thêm trong [5][7].
Sau khi áp dụng phƣơng pháp nội suy vừa nêu trên ta có bảng kết quả suy diễn sau: Bảng 4 e\ e NB NM NS ZO NB 0.786458 NM 0.703125 0.744792 NS 0.703125 0.781250 0.552083 ZO 0.828125 0.703125 0.578125 0.5 PS 0.75000 0.625000 0.532360 PM 0.703125 0.584137 PB 0.635914
Các giá trị trong bảng 4 ở trên là các giá trị lƣợng hóa ngữ nghĩa của các biến ngôn ngữ của đầu ra q, tƣơng ứng với giá trị đầu vào e và e.
Trong bảng 5 dƣới đây là các giá trị ngôn ngữ của đầu ra q, tƣơng ứng với giá trị đầu vào e và e.
Bảng 5
e\ e NB NM NS ZO
NB PossibleMoreLarge
NM MorePossibleLarge Large
NS MorePossibleLarge PossibleMoreLarge LittleLarge
ZO MoreMoreLarge MorePossibleLarge PossibleLittleLarge W
PS Large VeryPossibleLarge MoreLittleLarge
PM MorePossibleLarge PossibleLittleLarge
PB VeryPossibleLarge
Với đặc điểm của các giá trị cho trong mô hình nói trên và với giả thiết bán kính mờ của các giá trị biến ngôn ngữ tƣơng ứng đã tính trong bảng 3 là nhƣ nhau, các kết quả tính toán về giá trị vật lý của đầu ra q, tƣơng ứng với giá trị đầu vào e và e thu đƣợc trong bảng dƣới đây.
Bảng 6
e\ e NB NM NS ZO
NB 5.16
NM 3.66 4.41
ZO 6.0 3.66 1.41 0.0
PS 4.5 2.25 0.6
PM 3.66 1.52
PB 2.45
Bảng trên cho ta các giá trị vật lý của đầu ra q ứng với các giá trị khác nhau của e và e.
Nhận xét
- Dùng nội suy theo phƣơng pháp trên tính đƣợc kết quả với mọi giá trị đầu vào, trong khi dùng suy diễn mờ thì theo [15] là chƣa hẳn. Ví dụ trƣờng hợp e=NB và e=NB chẳng hạn, trong [15] đã chỉ ra trong trƣờng hợp này suy diễn mờ cho kết quả có hàm thuộc bằng 0 tại mọi điểm (Unknown). Theo phƣơng pháp trong đề tài này, chúng tôi tính đƣợc kết quả là giá trị ngôn ngữ PossibleMoreLarge và giá trị vật lý tƣơng ứng là 5.16.
- Phƣơng pháp của chúng ta trong bài dựa vào bản chất của phép nội suy nên thoả mãn một trong những điều kiện suy diễn “tốt” là: Nếu đầu vào bằng với giả thiết của một luật nào đó, thì đầu ra bằng với kết luận của luật đó. Trong khi suy diễn mờ thì chƣa hẳn, ví dụ trƣờng hợp e=ZO và e=NS chẳng hạn (xem bảng 1).
- Để đánh giá sai số của kết quả tính toán, chúng ta đƣa ra đây sai số mô hình của mô hình trên, sau đó so sánh các kết quả tính toán trong bài với kết quả tính trong [4] và sai số mô hình để đánh giá.
Sai số mô hình của mô hình trên với giả thiết mọi giá trị của các biến mờ là có sai số nhƣ nhau nếu tính theo phƣơng pháp của Cao-Kandel [20] sẽ là:
9-(-9)/(1+1+1+1+1+1+1)=18/7.
Còn sai số mô hình của mô hình mờ nói trên tính theo phƣơng pháp trong [21], đƣợc tính theo các công thức sau:
Error(B)=max{|r(B) - n| | NB(n) 0.5}
Error(B/B’) = min{max{|r(B) - n| | NB(n) =NB’(n)}, Error(B)}. Error(Mô hình M)=max min {Error(B/B’)}
Trong đó max lấy theo B và min lấy theo B’, với B, B’ là các biến mờ trong mô hình M. NB(n) là hàm thuộc của biến mờ B, còn r(B) là giá trị trung bình của các giá trị n sao cho NB(n)=1.
Dễ thấy sai số của mô hình tính theo các công thức trên là: 1.5
Chúng tôi không có số liệu thực của mô hình để xác định sai số tính toán. Tuy vậy so sánh với các số liệu tính toán bằng suy diễn mờ và theo phƣơng pháp nội suy mờ trong [15] trong bảng 1 và bảng 2 và kết quả tính đƣợc theo phƣơng pháp của chúng tôi ở bảng 6 có sai số với các kết quả tính theo các phƣơng pháp của [15] với sai số mô hình là khá hợp lý, vì hiệu số giữa các số liệu tƣơng ứng tính đƣợc trong bảng 6 và bảng 2 và giữa bảng 6 với bảng 1 so với sai số mô hình là sai khác không lớn lắm.