IV.1. Nhắc lại về đại số gia tử tuyến tính đầy đủ đối xứng
Xét đại số gia tử tuyến tính đầy đủ và đối xứng của biến ngôn ngữ TRUTH sinh bởi tập từ sinh G={True, False} . Trong đại số này mọi phần tử x có duy nhất một phần tử ngƣợc x- đƣợc định nghĩa nhƣ sau: x = hn . . . h1c, x− = hn . . . h1c’, với
c, c’ G. Toán tử bù (complement) và toán tử kéo theo (implication) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ¬x = x− và x => y = ¬x y với mọi x, y. Ở đây , lần lƣợt là toán tử joint, meet trên dàn AX.
Định lý 4.1 (xem [11]). Cho AX = (X,G,C,H,) là một đại số gia tử đầy đủ tuyến tính và đối xứng. Khi đó,
(i) ¬(hx) = h¬x, với mọi h LH and x X. (ii) ¬(¬x) = x, với mọi x X.
(iii) ¬(x y) = ¬x ∩¬y và ¬(x ∩ y) = ¬x ¬y, với mọi x, y X. (iv) x ∩¬x y ¬y, với mọi x, y X.
(v) x ∩¬x W x ¬x, với mọi x X. (vi) ¬1 = 0,¬0 = 1 và ¬W = W.
(vii) x > y iff ¬x < ¬y, với mọi x, y X. (viii) x =>y = ¬y =>¬x,
(ix) x =>(y=>z) = y =>(x =>z),
(x) x =>y x’ => y’ if x x’ và/hoặc y y’,
(xi) x => y = 1 iff x = 0 or y = 1,
(xii) 1 => x = x và x => 1 = 1; 0 => x = 1 và x => 0 = ¬x,
(xiii) x => y W iff x W hoặc y W, và x => y W iff x W and y W.
IV.2. Tính thỏa của một công thức logic mờ
Các khái niệm về biến, term và công thức logic mờ đƣợc hiểu tƣơng tự nhƣ trong logic mệnh đề, ở đây chân trị của một công thức logic mờ là một giá trị trên đại số gia tử đầy đủ tuyến tính của biến ngôn ngữ TRUTH. Dƣới đây chúng ta sẽ thiết lập một mối quan hệ giữa công thức logic mờ và phụ thuộc hàm mờ dựa trên đại số gia tử vừa nêu ở phần III.
Trong các phần dƣới ta sẽ gặp khái niệm quan hệ 2-bộ thƣờng gặp trong cơ sở dữ liệu quan hệ. Đó là các quan hệ r chỉ bao gồm 2 bộ {t1, t2}.
Định nghĩa 4.1 (Phép gán chân trị cho một công thức logic mờ).
Xét lược đồ quan hệ R={A1, A2,...,An} và r = {t1, t2} là một quan hệ 2-bộ trên R. Một phép gán chân trị trên biến Ai dựa trên r, kí hiệu Ir được định nghĩa như sau:
Ir (Ai) H(True) nếu k: t1[Ai] =k t2[Ai] và Ir (Ai) H(False) nếu t1[Ai] k t2[Ai].
Ở đây H(True), H(False) lần lƣợt là tập các giá trị ngôn ngữ sinh từ 2 từ sinh True và False bởi các gia tử thuộc H trong đại số gia tử đầy đủ tuyến tính của biến ngôn ngữ TRUTH.
Định nghĩa 4.2 (Công thức logic mờ suy dẫn)
Xét phụ thuộc hàm X Y trên lược đồ quan hệ R={A1, A2,...,An}. Ở đây X={A1,A2,...,Am} và Y={B1,B2,…,Bn}. Xét công thức logic mờ như sau: f= (A1 A2 ... Am =>B1 B2 … Bn) , ta nói f là công thức logic mờ được suy dẫn từ phụ thuộc hàm X Y. Kí hiệu X => Y.
Định nghĩa 4.3 (Tính thỏa của công thức logic mờ)
Ta nói công thức lôgic mờ f = (X => Y) là được thỏa, nếu tồn tại các phép gán chân trị Ir trên các biến có trong f.
Ir(f) = Ir((A1 A2 ... Am) => (B1 B2 … Bn))
= -(Ir(A1) Ir(A2) ... Ir(Am)) (Ir(B1) Ir(B2) ... Ir(Bm)) H(True). Ngược lại nếu Ir(f) H(False), ta nói công thức f là không được thỏa.
Định lý 4.2
Xét phụ thuộc hàm X Y trên lược đồ quan hệ R và r là quan hệ 2-bộ trên R. Phụ thuộc hàm X Y thỏa trên r khi và chỉ khi công thức logic suy dẫn từ nó X => Y được thỏa với phép gán chân trị trên r.
Chứng minh: Giả sử quan hệ r thỏa phụ thuộc hàm X Y, khi đó t1[X] =k(X) t2[Y]. Ở đây X={A1,A2,...,Am} và Y={B1,B2,…,Bn}. Giả sử công thức logic mờ F= (A1 A2 ... Am) => (B1 B2 … Bn) là không thỏa với một phép gán chân trị Ir’, tức Ir’(F) H(False). Ta có Ir’(F) = Ir’((A1 A2 ... Am) =>(B1 B2 … Bn)) = -(Ir’(A1) Ir’(A2) ... Ir’(Am)) (Ir’(B1) Ir’(B2) ... Ir’(Bm)) H(False). Do đó với i=1,2,...,m, Ir’(Ai) H(True) và j=1,2,...,n, Ir’(Bj) H(False). (*)
Nếu với i=1,2,...,m, Ir’(Ai) H(True) thì t1[X]=k(X)t2[X]. Do giả thiết X Y thỏa trên r nên từ t1[X]=k(X)t2[X] ta có t1[Y] =k(Y) t2[Y]. Tức với j=1,2,...,m, ta có t1[Bj]=k(Bj)t2[Bj], hay Ir’(Bj) H(True). Vô lý với (*). Vậy công thức F= (X => Y) là thỏa với mọi phép gán chân trị Ir.
Ngƣợc lại giả sử công thức logic mờ f = (A1 A2 ... Am) => (B1 B2 … Bn) thỏa với phép gán chân trị Ir. Ta có Ir(f) = Ir((A1 A2 ... Am) =>(B1 B2 … Bn)) = - (Ir(A1) Ir(A2) ... Ir(Am)) (Ir(B1) Ir(B2) ... Ir(Bm)) H(True). Khi đó xảy ra 2 trƣờng hợp:
b) (Ir(B1) Ir(B2) ... Ir(Bn)) H(True).
Giả sử xảy ra trƣờng hợp a), khi đó i=1,2,...,m, Ir(Ai) H(False). Do đó t1[Ai]
k(Ai) t2[Ai] và vì vậy t1[X] k(X) t2[X] và từ đây phụ thuộc hàm X Y thỏa trên r. Giả sử xảy ra trƣờng hợp b), khi đó j=1,2,...,n, Ir(Bj) H(True), vì vậy t1[Y] =k(Y)t2[Y] và phụ thuộc hàm X Y thỏa trên r. Định lý chứng minh xong.
Định lý 4.3
Xét phụ thuộc hàm X Y trên lược đồ quan hệ R và F là tập các phụ thuộc hàm trên R. Khi đó ta có:
F => X Y khi và chỉ khi F => X Y trên các quan hệ 2 – bộ.
Chứng minh: Điều kiện cần của định lý là hiển nhiên. Ta chỉ cần chứng minh
điều kiện đủ. Giả sử F => X Y trên các quan hệ 2 – bộ nhƣng X Y không đƣợc suy dẫn logic từ F. Khi đó tồn tại quan hệ r trên R thỏa tất cả các phụ thuộc hàm trong F nhƣng r không thỏa X Y. Tức tồn tại 2 bộ ti, tj trên r sao cho ti[X] =k(X) tj[X] nhƣng ti[Y] k(Y) tj[Y] . Xét quan hệ r*
chỉ bao gồm 2 bộ ti, tj nói trên thì r* thỏa F nhƣng không thỏa X Y. Vô lý, vậy F => XY.
Định lý 4.4
Xét phụ thuộc hàm X Y trên lược đồ quan hệ R và F là tập các phụ thuộc hàm trên R. Khi đó F => X Y trên các quan hệ 2 – bộ khi và chỉ khi công thức logic mờ X => Y được suy dẫn từ F, ở đây F là tập các công thức logic mờ suy dẫn từ tập phụ thuộc hàm F theo định nghĩa 4.2.
Chứng minh: Giả sử Ir là một phép gán chân trị trên R sao cho các công thức
logic mờ dẫn xuất từ các phụ thuộc hàm F là đƣợc thỏa và công thức X => Y là không thỏa. Khi đó ta sẽ xây dựng đƣợc một quan hệ rZ gồm 2 bộ thỏa các phụ thuộc hàm F nhƣng không thỏa phụ thuộc hàm X Y.
Gọi Z = {A R: Ir(A) H(True)}. Xét quan hệ rZ nhƣ sau:
Các thuộc tính thuộc Z Các thuộc tính thuộc R\Z
t1 aaaa....aaaaa aaaa....aaaaa
t2 aaaa....aaaaa bbbb....bbbbb
Ở đây a và b là những giá trị của các thuộc tính A Z, sao cho a k b.
Quan hệ rZ thỏa các công thức logic mờ dẫn xuất từ các phụ thuộc hàm F. Thật vậy với công thức U => V F. Nếu t1[U] =k(U) t2[U], khi đó với mọi thuộc tính A U, ta có t1[A]=k(A)t2[A] nên A Z và U Z, nên Ir(U) H(True). Nếu t1[V] k(V) t2[V], tức A V sao cho t1[A] k(A) t2[A], từ đây A Z và V Z, nên Ir(V) H(False). Do đó Ir(X=>Y) = -Ir(Ir(X) Ir(Y)) H(False). Vô lý với giả thiết Ir là một phép gán chân trị trên R sao cho các công thức logic mờ dẫn xuất từ các phụ thuộc hàm F là đƣợc thỏa.
Bây giờ ta chứng minh rZ không thỏa X Y. Thật vậy, từ giả thiết X =>Y không thỏa với phép gán chân trị Ir nên Ir(X) H(True) và Ir(Y) H(False) (*).
Giả sử rZ thỏa X Y, tức t1[X]=k(X)t2[X] => t1[Y] =k(Y) t2[Y], khi đó Y Z, tức Ir(Bi) H(True) với Bi Y, do đó Ir(Y) H(True), vô lý với (*). Vậy rZ không
thỏa X Y. Nên X Y đƣợc suy dẫn logic từ F trên quan hệ 2-bộ thì X => Y đƣợc suy dẫn từ F.
Ngƣợc lại, ta chứng minh nếu công thức logic mờ X => Y đƣợc suy dẫn từ F thì X Y đƣợc suy dẫn logic từ F trên quan hệ 2-bộ. Thật vậy nếu giả sử X Y không đƣợc suy dẫn logic từ F trên quan hệ 2-bộ (*).
Khi đó tồn tại quan hệ r chỉ gồm 2 bộ {t1, t2} thỏa các phụ thuộc hàm trong F nhƣng không thỏa X Y. Lúc này, xét phép gán chân trị Ir dƣợc định nghĩa trên quan hệ r. Với mọi công thức logic mờ f= (W => V) dẫn xuất từ một phụ thuộc hàm trong F. W =W1W2...Wp và V=V1V2...Vq.
Nếu Ir(f)=-Ir(W) Ir(V)=-(Ir(W1) Ir(W2) ... Ir(Wp))
(Ir(V1) Ir(V2) ... Ir(Vq)) H(False), khi đó i=1,2,...,p, Ir(Wi) H(True) và j=1,2,...,q, Ir(Vj) H(False). Từ đây ta có t1[W] =k(W)t2[W] nhƣng t1[V] =k(V)t2[V] . Điều này là vô lý với r thỏa các phụ thuộc hàm trong F. Vậy nên ta phải có Ir(f) H(True).
Hơn nữa ta thấy với X Y. X = X1X2...Xm và Y=Y1Y2...Yn. Giả sử Ir(X=>Y) H(True), khi đó xảy ra 2 trƣờng hợp :
a) (Ir(X1) Ir(X2) ... Ir(Xm)) H(False). b) (Ir(Y1) Ir(Y2) ... Ir(Yn)) H(True).
Giả sử xảy ra trƣờng hợp a), khi đó i=1,2,...,m, Ir(Xi) H(False). Do đó t1[Xi]
k(Xi) t2[Xi] và vì vậy t1[X] k(X) t2[X] và từ đây phụ thuộc hàm X Y thỏa trên r. Vô lý với giả thiết (*).
Giả sử xảy ra trƣờng hợp b), khi đó j=1,2,...,n, Ir(Yj) H(True), vì vậy t1[Y] =k(Y) t2[Y] và phụ thuộc hàm X Y thỏa trên r, điều này cũng vô lý với giả thiết (*).
Vậy nên Ir(X=>Y) H(False) và do đó công thức logic mờ X=> Y không đƣợc suy dẫn từ F. Điều này là ngƣợc với giả thiết của điều kiện đủ của định lý. Vậy X
Y đƣợc suy dẫn logic từ F trên quan hệ 2-bộ. Định lý chứng minh xong.