I. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai một ẩn (nĩi gọn là phơng trình bậc hai) là phơng trình cĩ dạng ax2 +bx c+ =0 (a≠0)
2. Các bớc giải bài tốn bằng cách lập hệ phơng trình
B
ớ c 1: Lập hệ phơng trình.
- Chọn hai ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho chúng;
- Biểu diễn các đại lợng cha biết theo các ẩn và các đại lợng đã biết; - Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
B
ớ c 2: Giải hệ hai phơng trình nĩi trên . B
ớ c 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phơng trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào khơng rồi kết luận.
Phân dạng bài tập chi tiết
Dạng 1: Tốn chuyển động - Ba đại lợng: S, v, t - Quan hệ: S = vt; t = S v ; v = S t (dùng cơng thức S = v.t từ đĩ tìm mối quan hệ giữa S , v và t)
- Chú ý bài tốn canơ :
Vxuơi dịng = Vthực + Vnớc ; Vngợc dịng = Vthực – Vnớc
*) Tốn đi gặp nhau cần chú ý đến tổng quãng đờng và thời gian bắt đầu khởi hành.
*) Tốn đuổi kịp nhau chú ý đến vận tốc hơn kém và quãng đờng đi đợc cho đến khi đuổi kịp nhau
Dạng 2: Tốn về quan hệ giữa các số
= +
ab 10a b
= + +
abc 100a 10b c
Điều kiện: 0 < a ≤ 9; 0 ≤ b, c ≤ 9 (a, b, c ∈ Z )
Dạng 3: Tốn làm chung, làm riêng, năng suất
*) Bài tốn làm chung, làm riêng: + Qui ớc: Cả cơng việc là 1 đơn vị.
+ Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài tốn thực hiện đợc bao nhiêu phần cơng việc.
+ Cơng thức: Phần cơng việc = Thời gian1 + Số lợng cơng việc = Thời gian . Năng suất. *) Bài tốn năng suất:
+ Gồm ba đại lợng: Tổng sản phẩm ; năng suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất . Thời gian;
=> Thời gian = Tổng sản phẩmNăng suất ; Năng suất = Tổng sản phẩmThời gian .
Dạng 4: Tốn diện tích
Dạng 5: Tốn cĩ quan hệ hình học Dạng 6: Tốn cĩ nội dung lí, hĩa
Dạng 7: Tốn dân số, tốn phần trăm
VIII – Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung
a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức cĩ nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) Các bớc tiến hành: B
ớ c 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc.
B
ớ c 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung.
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức cĩ dạng hằng đẳng thức. b) Các hằng đẳng thức quan trọng
69
Tài liệu Ơn thi vào Trung học Phổ thơng thơng
1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 + + = + 2 ≥ a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 − + = − 2 ≥ a 2 a.b b ( a b) (a,b 0) 3) a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) a b ( a− = + b).( a− b) (a,b 0)≥ 5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 + + + = + ≥ 3 3 3 a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 − + − = − ≥ 3 3 3 a 3a b 3b a b ( a b) (a,b 0) 7) a3 +b3 =(a b)(a+ 2 −ab b )+ 2 + = 3 + 3 = + − + ≥ a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1). 8) a3 −b3 =(a b)(a− 2 +ab b )+ 2 − = 3 − 3 = − + + ≥ a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1). 9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2 + + + + + = + + 2 ≥ a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a b c) (a,b 0) Phơng pháp 3: Nhĩm các hạng tử
Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha cĩ nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng đẳng thức mà sau khi nhĩm các hạng tử đĩ hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhĩm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc cĩ nhân tử chung, cụ thể:
B
ớ c 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhĩm.
B
ớ c 2: Nhĩm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
B
ớ c 3: Đặt nhân tử chung cho tồn đa thức.
Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhĩm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
*) Các tr ờng hợp :
a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) Tính : ∆ = b2 - 4ac:
- Nếu ∆ = b2 - 4ac < 0: Đa thức khơng phân tích đợc.
- Nếu ∆ = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất
- Nếu ∆ = b2 - 4ac > 0
+) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q. +) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R. b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:
- Nhẩm nghiệm của đa thức:
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ⇒ đa thức cĩ nghiệm bằng 1.
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ⇒ đa thức cĩ nghiệm bằng - 1.
- Lu ý định lý: " Nếu đa thức cĩ nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đĩ phải là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức cĩ nghiệm hữu tỉ dạng qp thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử cĩ bậc cao nhất".
- Khi biết một nghiệm của đa thức ta cĩ thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc – ne để hạ bậc của đa thức.
Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)
- Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thơng của phép chia)
*) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0
Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
- Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta cĩ thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 .
- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp
Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định
Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải.
Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam thức bậc hai
- áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c cĩ nghiệm x1, x2 thì : P = a(x - x1)(x - x2)
các bài tốn áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử