I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1 Đối với số tự nhiờn liờn tiếp :
a)Hóy viết tiếp số hạng thứ năm của dóy theo đỳng quy luật?
b)Chứng tỏ dóy trờn là một dóy xếp theo thứ tự tăng dần?
Bài 5: Viết tiếp ba số hạng vào dóy số sau : a) 1; 3; 4; 7; 11; 18;...
b) 0; 2; 4; 6; 12; 22;...c) 0 ; 3; 7; 12;... c) 0 ; 3; 7; 12;... d) 1; 2; 6; 24;...
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Dạng 2: Xỏc định số A cú thuộc dóy đó cho hay khụng?
Cỏch giải của dạng toỏn này:
- Xỏc định quy luật của dóy;
- Kiểm tra số A cú thoả món quy luật đú hay khụng?
Cỏc vớ dụ:
Bài 1: Cho dóy số: 2, 4, 6, 8,……
a. Dóy số được viết theo quy luật nào?
b. Số 2009 cú phải là số hạng của dóy khụng? Vỡ sao?
Giải: a. Ta nhận thấy: Số hạng thứ 1: 2 = 2 x 1 Số hạng thứ 2: 4 = 2 x 2 Số hạng thứ 3: 6 = 2 x 3 …... Số hạng thứ n: ? = 2 x n
Quy luật của dóy số là: Mỗi số hạng bằng 2 nhõn với số thứ tự của số hạng ấy.
b. Ta nhận thấy cỏc số hạng của dóy là số chẵn, mà số 2009 là số lẻ, nờn số 2009 khụng phải là số hạng của dóy.
Bài 2: Cho dóy số: 2, 5, 8, 11, 14, 17,…… - Viết tiếp 3 số hạng vào dóy số trờn?
- Số 2009 cú thuộc dóy số trờn khụng? Tại sao?
Giải:
- Ta thấy: 8 – 5 = 3; 11 – 8 = 3; ………
Dóy số trờn được viết theo quy luật sau: Kể từ số thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng số hạng đứng liền trước nú cộng với 3. Vậy 3 số hạng tiếp theo của dóy số là:
17 + 3 = 20 ; 20 + 3 = 23 ; 23 + 3 = 26
Dóy số được viết đầy đủ là: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Ta thấy: 2 : 3 = 0 dư 2 ; 5 : 3 = 1 dư 2 ; 8 : 3 = 2 dư 2 ; ...
Vậy đõy là dóy số mà mỗi số hạng khi chia cho 3 đều dư 2. Mà:
Bài 3: Em hóy cho biết:
a. Cỏc số 60, 483 cú thuộc dóy 80, 85, 90,…… hay khụng? b. Số 2002 cú thuộc dóy 2, 5, 8, 11,…… hay khụng?
c. Số nào trong cỏc số 798, 1000, 9999 cú thuộc dóy 3, 6, 12, 24,…… giải thớch tại sao?
Giải:
a. Cả 2 số 60, 483 đều khụng thuộc dóy đó cho vỡ: - Cỏc số hạng của dóy đó cho đều lớn hơn 60.
- Cỏc số hạng của dóy đó cho đều chia hết cho 5, mà 483 khụng chia hết cho 5.
b. Số 2002 khụng thuộc dóy đó cho vỡ mọi số hạng của dóy khi chia cho 3 đều dư 2, mà 2002 chia 3 thỡ dư 1. c. Cả 3 số 798, 1000, 9999 đều khụng thuộc dóy 3, 6, 12, 24,… vỡ:
- Mỗi số hạng của dóy (kể từ số hạng thứ 2) đều gấp đụi số hạng liền trước nhận nú; cho nờn cỏc số hạng (kể từ số hạng thứ 3) cú số hạng đứng liền trước là số chẵn, mà 798 chia cho 2 = 399 là số lẻ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Cỏc số hạng của dóy đều chia hết cho 3, mà 1000 lại khụng chia hết cho 3. - Cỏc số hạng của dóy (kể từ số hạng thứ 2) đều chẵn, mà 9999 là số lẻ.
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 4: Cho dóy số: 1; 2,2; 3,4; ……; 13; 14,2.
Nếu viết tiếp thỡ số 34,6 cú thuộc dóy số trờn khụng?
Giải:
- Ta nhận xột: 2,2 - 1 = 1,2; 3,4 - 2,2 = 1,2; 14,2 - 13 = 1,2;……
Quy luật của dóy số trờn là: Từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng đều hơn số hạng liền trước nú là 1,2 đơn vị: - Mặt khỏc, cỏc số hạng trong dóy số trừ đi 1 đều chia hết cho 1,2.
Vớ dụ: (13 - 1) chia hết cho 1,2 (3,4 - 1) chia hết cho 1,2 Mà: (34,6 - 1) : 1,2 = 28 dư 0. Vậy nếu viết tiếp thỡ số 34,6 cũng thuộc dóy số trờn.
Bài 5: Cho dóy số: 1996, 1993, 1990, 1987,……, 55, 52, 49.
Cỏc số sau đõy cú phải là số hạng của dóy khụng? 100, 123, 456, 789, 1900, 1436, 2009?
Giải:
Nhận xột: Đõy là dóy số cỏch đều 3 đơn vị.
Trong dóy số này, số lớn nhất là 1996 và số bộ nhất là 49. Do đú, số 2009 khụng phải là số hạng của dẫy số đó cho vỡ lớn hơn 1996. Cỏc số hạng của dóy số đó cho là số khi chia cho 3 thỡ dư 1. Do đú, số 100 và số 1900 là số hạng của dóy số đú.
Cỏc số 123, 456, 789 đều chia hết cho 3 nờn cỏc số đú khụng phải là số hạng của dóy số đó cho. Số 1436 khi chia cho 3 thỡ dư 2 nờn khụng phải là số hạng của dóy số đó cho.
* Bài tập lự luyện:
Bài 1: Cho dóy số: 1, 4, 7, 10,… a. Nờu quy luật của dóy.
b. Số 31 cú phải là số hạng của dóy khụng? c. Số 2009 cú thuộc dóy này khụng? Vỡ sao?
Bài 2: Cho dóy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.
Hỏi số 1004 và 1760 cú thuộc dóy số trờn hay khụng?
Bài 3: Cho dóy số: 1, 7, 13, 19,…,
a. Nờu quy luật của dóy số rồi viết tiếp 3 số hạng tiếp theo. b. Trong 2 số 1999 và 2009 thỡ số nào thuộc dóy số? Vỡ sao?
Bài 4: Cho dóy số: 3, 8, 13, 18,……
Cú số tự nhiờn nào cú chữ số tận cựng là 6 mà thuộc dóy số trờn khụng?
Bài 5: Cho dóy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……
a. Số 1997 cú phải là số hạng của dóy số này hay khụng? b. Số 561 cú phải là số hạng của dóy số này hay khụng?
DÃY SỐ
Dạng 3: Tỡm số số hạng của dóy
* Cỏch giải ở dạng này là:
Đối với dạng toỏn này, ta thư-ờng sử dụng ph-ương phỏp giải toỏn khoảng cỏch (toỏn trồng cõy). Ta cú cụng thức sau :
Số cỏc số hạng của dóy = số khoảng cỏch+ 1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đặc biệt, nếu quy luật của dóy là : Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng liền trư-ớc cộng với số khụng đổi d thỡ:
Số cỏc số hạng của dóy = ( Số hạng lớn nhất – Số hạng nhỏ nhất ) : d + 1.
Cỏc vớ dụ:
Bài 1: Cho dóy số 11; 14; 17;...;65; 68. Hóy xỏc định dóy số trờn cú bao nhiờu số hạng?
Lời giải :
Ta cú : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3;....
Vậy quy luật của dóy số đú là mỗi số hạng đứng liền sau bằng số hạng đứmg liền tr-ước nú cộng với 3. Số cỏc số hạng của dóy số đú là:
Bài 2: Cho dóy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
Hóy xỏc định dóy số trờn cú bao nhiờu số hạng?
Giải:
Ta thấy: 4 – 2 = 2 ; 8 – 6 = 2
6 – 4 = 2 ; ………
Vậy, quy luật của dóy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng một số hạng đứng trước cộng với 2. Núi cỏc khỏc: Đõy là dóy số chẵn hoặc dóy số cỏch đều 2 đơn vị.
Dựa vào cụng thức trờn:
(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cỏch + 1
Ta cú: Số cỏc số hạng của dóy là:
DÃY SỐ
Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… là dóy số lẻ liờn tiếp đầu tiờn; hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiờu trong dóy số này? Giải thớch cỏch tỡm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
Giải: Ta thấy: Số hạng thứ nhất bằng: 1 = 1 + 2 x 0 Số hạng thứ hai bằng: 3 = 1 + 2 x 1 Số hạng thứ ba bằng: 5 = 1 + 2 x 2 ……… Cũn số hạng cuối cựng: 1981 = 1 + 2 x 990
Giải: a. Số hạng thứ nhất: 3 = 3 + 15 x 0 Số hạng thứ hai: 18 = 3 + 15 x 1 Số hạng thứ ba: 48 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 Số hạng thứ tư: 93 = 3 + 15 x 1 + 15 X 2 + 15 x 3 Số hạng thứ năm: 153 = 3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + 15 x 4 ……… Số hạng thứ n: 3 + 15 x1 + 15 x 2 +15 x 3 + …… + 15 x (n - 1)
Vậy số hạng thứ 100 của dóy là:
3 + 15 x 1 + 15 x 2 + …… + 15 x (100 - 1)
= 3 + 15 x (1 + 2 + 3 + …… + 99) (Đưa về một số nhõn với một tổng. = 3 + 15 x (1 + 99) x 99 : 2 = 74253
b. Gọi số 11703 là số hạng thứ n của dóy: Theo quy luật ở phần a ta cú:
3 + 15 x 1 + 15 x 2 + 15 x 3 + …… x (n – 1) = 11703
3 + 15 x (1 + 2 + 3 + ……+ ( n – 1)) = 11703
DÃY SỐ
Bài 5: Trong cỏc số cú ba chữ số, cú bao nhiờu số chia hết cho 4?
Lời giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta nhận xột : Số nhỏ nhất cú ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất cú ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như- vậy cỏc số cú ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dóy số cú số hạng nhỏ nhất là 100, số hạng lớn nhất là 996 và mỗi số hạng của dóy ( kể từ số hạng thứ hai ) bằng số hạng đứng liền trư-ớc cộng với 4.
Vậy số cỏc số cú ba chữ số chia hết cho 4 là : ( 996 – 100 ) : 4 = 225 ( số )
Bài 1: Cho dóy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008
Tỡm xem dóy số cú bao nhiờu số hạng ?
Bài 2: Tỡm số số hạng của cỏc dóy số sau: a. 1, 4, 7, 10, ……,1999.
b. 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0.
Bài 3: Xột dóy số: 100, 101, ………, 789.
Dóy này cú bao nhiờu số hạng?
Bài 4: Cú bao nhiờu số khi chia cho 4 thỡ dư 1 mà nhỏ hơn 2010 ?
Bài 5: Người ta trồng cõy hai bờn đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km. Hỏi phải dựng
DÃY SỐ
Dạng 4: Tỡm số hạng thứ n của dóy số
Bài toỏn 1: Cho dóy số: 1, 3, 5, 7,...Hỏi số hạng thứ 100 của dóy số là số nào
Giải: Số khoảng cỏch từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - 1 = 99 Mỗi khoảng cỏch là 3 - 1 = 5 - 3 = 2 Số hạng thứ 100 là 1 + 99 ì 2 = 199 Cụng thức tổng quỏt: Số hạng thứ n = số đầu + khoảng cỏch ì (Số số hạng - 1)
3, 24, 63, 120, 195,… (2) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3)
Giải: a) Dóy (1) cú thể viết dưới dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,…
Mỗi số hạng của dóy (1) là tớch của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Cỏc thừa số thứ nhất làm thành một dóy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dóy này cú số hạng thứ 100 là 100.
Số hạng thứ 100 của dóy (1) bằng: 100x102 = 10200.
b) Dóy (2) cú thể viết dưới dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,…
Mỗi số hạng của dóy (2) là tớch của hai thừa số, thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 2 đơn vị. Cỏc thừa số thứ nhất làm thành một dóy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 của dóy 1, 4, 7, 10, 13,… là: 1 + (100 – 1 ) x 3 = 298.
Số hạng thứ 100 của dóy (2) bằng: 298 x 300 = 89400. c) Dóy (3) cú thể viết dưới dạng:
...
DÃY SỐ
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dóy số : 101, 104, 107, 110, ... Tỡm số hạng thứ 1998 của dóy số đú.
Bài 2: Cho dóy số : 5, 8, 11, 14, ... a.Tỡm số hạng thứ 200 của dóy số.
b. Nếu cứ viết tiếp thỡ cỏc số : 1000 ; 2009 ; 5000 cú là số hạng của dóy khụng ? Tại sao.
Bài 3: Một bạn học sinh viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn mà khi chia cho 3 thỡ dư 2 bỏt đầu từ số 5 thành dóy số. Viết đến số hạng thứ 100 thỡ phỏt hiện đó viết sai. Hỏi bạn đú đó viết sai số nào ?
Bài toỏn 1: Cho dóy số: 1, 2, 3,...150. Hỏi để viết dóy số này người ta phải dựng bao nhiờu chữ số Giải: Dóy số đó cho cú : ( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số cú 1 chữ số. Cú ( 99 - 10 ) : 1 + 1 = 90 số cú 2 chữ số Cú ( 150 - 100) : 1 + 1 = 51 số cú 3 chữ số. Vậy số chữ số cần dựng là : 9 ì 1 + 90 ì 2 + 51 ì 3 = 342 chữ số
DÃY SỐ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toỏn 2: Một quyển sỏch cú 234 trang. Hỏi để đỏnh số trang quyển sỏch đú người ta phải
dựng bao nhiờu chữ số.
Giải:
Để đỏnh số trang quyển sỏch đú người ta phải viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 234 thành dóy số. Dóy số này cú
( 9 - 1) : 1 + 1 = 9 số cú 1 chữ số
Cú: ( 99 - 10) : 1 + 1 = 90 số cú 2 chữ số Cú: ( 234 - 100) : 1 + 1 = 135 số cú 3 chữ số Vậy người ta phải dựng số chữ số là:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn từ 101 đến 2009 thành 1 số rất lớn. Hỏi số đú cú bao nhiờu chữ số
Bài 2: Trường Tiểu học Thành Cụng cú 987 học sinh. Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường
đú người ta phải dựng bao nhiờu chữ số
Bài 3: Cần bao nhiờu chữ số để đỏnh số trang của một cuốn sỏch cú tất cả là: a.752 trang.
DÃY SỐ
Dạng 6: Tỡm số số hạng khi biết số chữ số
Bài toỏn 1: Để đỏnh số trang 1 quyển sỏch người ta dựng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sỏch đú cú
bao nhiờu trang?
Giải:
Để đỏnh số trang quyển sỏch đú, người ta phải viết liờn tiếp cỏc số tự nhiờn bắt đầu từ 1 thành dóy số. Dóy số này cú 9 số cú 1 chữ số cú 90 số cú 2 chữ số Để viết cỏc số này cần số chữ số là 9 ì 1 + 90 ì 2 = 189 chữ số Số chữ số cũn lại là: - 189 = 246 chữ số
Số chữ số cũn lại này dựng để viết tiếp cỏc số cú 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 246 : 3 = 82 số
Số trang quyển sỏch đú là 99 + 82 = 181 ( trang)
Bài toỏn 2:
Để đỏnh số trang một cuốn sỏch người ta phải dựng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sỏch đú cú bao nhiờu trang?
Giải: 99 trang đầu cần dựng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số.
999 trang đầu cần dựng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số
Vỡ: 189 < 600 < 2889 nờn trang cuối cựng phải cú 3 chữ số. Số chữ số để đỏnh số cỏc trang cú 3 chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số)
Số trang cú 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang. Vậy quyờ̉n sỏch cú tất cả là: 99 + 137 = 236 trang.
DÃY SỐ
Bài toỏn 3: Để ghi thứ tự cỏc nhà trờn một đường phố, người ta dựng cỏc số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi cỏc nhà ở dóy phải và cỏc số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi cỏc nhà ở dóy trỏi của đường phố đú. Hỏi số nhà cuối cựng của dóy chẵn trờn đường phố đú là bao nhiờu, biết rằng khi đỏnh thứ tự cỏc nhà của dóy này, người ta đó dựng 367 lượt chữ số cả thảy.
Giải:
Số nhà cú số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 - 2) : 2 + 1 = 4 (nhà) Số nhà cú số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đỏnh số thự tự cỏc nhà cú 1 và 2 chữ số là:
4 + 45 2 = 94 (lượt) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Số lượt chữ số để đỏnh số thứ tự nhà cú 3 chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà cú số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà)
Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối cựng của dóy chẵn là: (140 - 1) 2 + 2 = 280.
ha ̣ng của dãy.
Giải:
Đờ̉ tìm được sụ́ n sao cho sụ́ các chữ sụ́ của dãy gṍp ba lõ̀n sụ́ các sụ́ ha ̣ng của dãy đó, ta giả sử trung bình mụ̃i sụ́ lẻ liờn tiờ́p của dãy đờ̀u có 3 chữ sụ́. Do đó:
- Từ 1 đờ́n 9 gụ̀m các sụ́ lẻ có mụ ̣t chữ sụ́ là: (9 - 1): 2 + 1 = 5 (sụ́)
Mụi sụ́ cõ̀n phải viờ́t thờm 2 chữ sụ́ nờn sụ́ chữ sụ́ cõ̀n phải viờ́t thờm là: 2 x 5 = 10 (chữ sụ́)
Các sụ́ lẻ gụ̀m hai chữ sụ́ là (99 - 11): 2 + 1 = 45 (sụ́)
Mụ̃i sụ́ cõ̀n phải viờ́t thờm 1 chữ sụ́ nờn sụ́ chữ sụ́ cõ̀n phải viờ́t thờm là: 1 x 45 = 45 (chữ sụ́)
Các sụ́ lẻ gụ̀m 3 chữ sụ́ là: ( 999 - 101) : 2 + 1 = 450 (sụ́)
Các sụ́ có 3 chữ sụ́ đảm bảo sụ́ chữ sụ́ của dãy gṍp ba lõ̀n sụ́ sụ́ ha ̣ng của dãy đó.
Từ 1001 trở đi, mụ̃i sụ́ cõ̀n bớt đi mụ ̣t chữ sụ́. Sụ́ chữ sụ́ cõ̀n thờm phải bằng sụ́ chữ sụ́ cõ̀n bớt