I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 1 Đối với số tự nhiờn liờn tiếp :
a) Dóy số này cú bao nhiờu số hạng? b) Số hạng thứ 50 của dóy là số nào?
Bài 8: Hóy cho biết :
a) Cỏc số 50 và 133 cú thuộc dóy 90, 95, 100, … hay khụng? b) Số 1996 thuộc dóy 2, 5, 8, 11,… hay khụng?
c) Số nào trong cỏc số 666, 1000, 9999 thuộc dóy 3, 6, 12, 24, … ? Hóy giải thớch tại sao?
Bài 9: Cho dóy số 1, 7, 13, 19, 25, … Hóy cho biết cỏc số: 351, 400, 570, 686, 1975 cú thuộc dóy số đó cho hay khụng?
Bài 10: Cho dóy số tự nhiờn liờn tiếp 1, 2, 3, 4, ..., 1999. Hỏi dóy số đú cú bao số hạng?
Bài 11: Cho dóy số chẵn liờn tiếp 2, 4, 6, 8, 10, ..., 2468. Hỏi dóy cú:
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 12: Cho dóy số 1, 5, 9, 13, ..., 2005. Hỏi:
a) Dóy số cú bao nhiờu số hạng? b) Dóy số cú bao nhiờu chữ số?
Bài 13: Hóy tớnh tổng của cỏc dóy số sau:
a) 4, 9, 14, 19, 24, …, 999. b) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dóy số cú 80 số hạng.
c) ..., 17, 27, 44, 71, 115. Biết dóy số cú 8 số hạng.
Bài 14: Tớnh nhanh:
a) Tớnh tổng cỏc số lẻ liờn tiếp từ 1 đến 1995. b) Tớnh tổng của 100 số tự nhiờn đầu tiờn.
Bài 15: Tớnh nhanh:
a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77
b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19. c) 10,11 + 11,12 + 12,13 + 13,14 + …+ 97,98 + 98,99 + 99,100 .
Bài 16: Để đỏnh số trang sỏch của một cuốn sỏch dày 220 trang, người ta phải dựng bao nhiờu lượt chữ số?
Bài 17: Trong một kỳ thi cú 327 thớ sinh dự thi. Hỏi người ta phải dựng bao nhiờu lượt chữ số để đỏnh số bỏo danh cho cỏc thớ sinh dự thi?
Bai 18: Để đỏnh số thứ tự cỏc trang sỏch của sỏch giỏo khoa Toỏn 4, người ta phải dựng 216 lượt cỏc chữ số. Hỏi cuốn sỏch đú dày bao nhiờu trang?
Bài 19: Trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 5, để đỏnh số bỏo danh cho cỏc thớ sinh dự thi người ta phải dựng 516 lượt chữ số. Hỏi kỳ thi đú cú bao nhiờu thớ sinh tham dự?
Bài 20: Cho dóy số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau: 12345678910111213…19821983. Hóy tớnh tổng của tất cả cỏc chữ số vừa viết.
Bài 21: Cho dóy số tự nhiờn liờn tiếp bắt đầu từ 1 đến 1995. Hỏi trong dóy số đú cú:
a) Bao nhiờu chữ số 1? b) Bao nhiờu chữ số 5?
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 23: Cho dóy số:
a) 1, 2, 3, 4, 5, …, x. Tỡm x biết dóy cú 1989 chữ số.
b) 1, 2, 3, 4, 5, ... , x. Tỡm x để số chữ số của dóy gấp 2 lần số số hạng. c) 1, 2, 3, 4, 5, ... , x. Tỡm x để số chữ số của dóy gấp 3 lần số số hạng.
Bài 24: Cho dóy số 10, 11, 12, 13, …, x. Tỡm x để tổng của dóy số trờn bằng 5106.
Bài 25: Cho dóy số: 0, 2, 4, 6, 8, ...., x. Tỡm x để số chữ số của dóy số gấp 2 lần số số hạng.
Bài 26: Cho dóy số: 0, 1, 2, 3, 4, …, x. Tỡm x để số chữ số của dóy gấp 3 lần số số hạng.
Bài 27: Tớnh:
a) 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9.
b) 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + … + 91 - 93 + 95 - 97 + 99. c) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + …+ 98 - 99 - 100 + 101
Bài 28: Tớnh giỏ trị biểu thức sau bằng cỏch hợp lớ:
Phõn mới bổ sung
Bài 1: Điền thờm 3 số hạng vào dóy số sau:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34……
Muốn giải được bài toỏn trờn trước hết phải xỏc định quy luật của dóy số như sau:
Ta thấy: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8
2 + 3 = 5 5 + 8 = 13
Dóy số trờn được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nú. Ba số hạng tiếp theo là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144
Vậy dóy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144
Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dóy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27
Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15
15 = 3 + 4 + 8
Từ đú ta rỳt ra được quy luật của dóy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nú. Viết tiếp ba số hạng, ta được dóy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169.
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 3: Tỡm số hạng đầu tiờn của cỏc dóy số sau biết rằng mỗi dóy số cú 10 số hạng. a)…, …, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b)..., ..., 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Giải: a). Ta nhận xột : Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2 Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2 Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2 Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2 ………..
Từ đú ta suy luận ra quy luật của dóy số này là: mỗi số hạng của dóy số gấp đụi số hạng đứng liền trước đú.
Vậy số hạng đầu tiờn của dóy là: 1 x 2 = 2.
b). Ta nhận xột : Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10 Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9 Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8 Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7 ………..
Từ đú ta suy luận ra quy luật của dóy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhõn với 11. Vậy số hạng đầu tiờn của dóy là : 1 x 11 = 11.
a. 3, 9, 27, ..., ..., 729. b. 3, 8, 23, ..., ..., 608.
Giải :
Muốn tỡm được cỏc số cũn thiếu trong mỗi dóy số, cần tim được quy luật của mỗi dóy số đú.
a. Ta nhận xột : 3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
Quy luật của dóy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liền trước nú. Vậy cỏc số cũn thiếu của dóy số đú là:
27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đỳng). Vậy dóy số cũn thiếu hai số là : 81 và 243.
b. Ta nhận xột: 3 x 3 – 1 = 8 ; 8 x 3 – 1 = 23.
...
Quy luật của dóy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần số liền trước nú trừ đi 1. Vỡ vậy, cỏc số cũn thiếu ở dóy số là:
23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đỳng).
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
Bài 5: Lỳc 7h sỏng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cựng đi đến đớch của mỡnh lỳc 2h chiều. Vỡ đường đi khú dần từ A đến B ; nờn người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đú lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cựng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đú lại giảm 1km. Tớnh quóng đường AB.
Giải:
2 giờ chiều là 14h trong ngày.
2 người đi đến đớch của mỡnh trong số giờ là: 14 – 7 = 7 giờ.
Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dóy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dóy số:
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
Nhỡn vào 2 dóy số ta nhận thấy đều cú cỏc số hạng giống nhau vậy quóng đường AB là: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84
783 998
783 998
ễ1 ễ2 ễ3 ễ4 ễ5 ễ6 ễ7 ễ8 ễ9 ễ10
Theo điều kiện của đề bài ta cú: 783 + ễ7 + ễ8 = 2010. ễ7 + ễ8 + ễ9 = 2010. Vậy ễ9 = 783; từ đú ta tớnh được: ễ8 = ễ5 = ễ2 = 2010 - (783 + 998) = 229 ễ7 = ễ4 = ễ1 = 998 ễ3 = ễ6 = 783.
Điền cỏc số vào ta được dóy số:
CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4+5
* Bài tập tự luyện:
Bài 1: 13, 19, 25, 31,……,
Dóy số vừa được viết ra Ba số viết tiếp là ba số nào?
Số nào suy nghĩ thấp cao? Đố em, đố bạn làm sao kể liền?
Bài 2: Tỡm và viết ra cỏc số hạng cũn thiếu trong dóy số sau: a. 7, 10, 13,…, …, 22, 25.
b. 103, 95, 87,…, …, ...., 55, 47.
Bài 3: Điền số thớch hợp vào ụ trống, sao cho tổng cỏc số ở 3 ụ liền nhau bằng: a. n = 14,5
2,7 8,5
b. n = 23,4
8,7 7,6
20022001 2001 2003 2002 2004 2003 2005 2004
Bài 4: Cho dóy phõn số sau:
; ; ;