Ta gĩi thanh chịu uôn thuaăn túy phẳng khi tređn maịt caĩt ngang cụa thanh chư có moơt thành phaăn noơi lực là momen uôn Mx naỉm trong maịt phẳng quán tính chính trung tađm
Trang 70 - 177
Theo hình vẽ tređn đốn giữa là chịu uôn thuaăn túy vì có Qy = 0 và Mx = Pa
Các cođng thức dùng đeơ tính ứng suât pháp trong trường hợp uôn phẳng thường được thiêt laơp từ vieơc nghieđn cứu bài toán uôn thuaăn túy phẳng. Trở lái bài toán uôn thuaăn túy phẳng như trong trường hợp H.6.5a chẳng hán. tái 1 maịt caĩt m-m bât kì ở cách gôi tựa A 1 đốn x, chư toăn tái 1 thành phaăn noơi lực khác 0 là mođmen uôn Mx. Vân đeă cụa chúng ta là xác định thành phaăn ứng suât tái 1 đieơm bât kì tređn maịt caĩt ngang và trị sô lớn nhât cụa ứng suât này.
Mođ tạ thí nghieơm.
Ta quan sát biên dáng cụa daăm có maịt caĩt ngang hình chữ nhaơt
Trước khi cho daăm chịu lực lực, ta vách leđn maịt ngoài 1 thanh thẳng chịu uôn như trong H.6.6a, những đường song song với trúc thanh tượng trưng cho các thớ dĩc và những đường vuođng góc với trúc thanh tượng trưng cho các maịt caĩt ngang, các đường này táo thành các lưới ođ vuođng (H.6.6a).
Khi có momen tác dúng vào 2 đaău daăm (H.6.6b) ta nhaơn thây các đường thẳng song song với trúc thanh biên thành các đường cong song song với trúc thanh; những đương vuođng góc với trúc thanh thì sau khi biên dáng văn còn vuođng góc với trúc thanh, nghĩa là các góc vuođng luođn được bạo toàn trong quá trình biên dáng.
Câc giả thuyết :
Với những nhận xĩt trín ta đề ra hai giả thuyết sau để lăm cơ sở tính tôn cho một dầm chịu uốn thuần túy phẳng :
• Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng : Trước khi biến dạng, mặt cắt ngang của dầm lă phẳng vă vuơng gĩc với trục dầm thì sau khi biến dạng vẫn phẳng vă vuơng gĩc với trục dầm.
• Giả thuyết về câc thớ dọc : Trong quâ trình biến dạng câc thớ dọc khơng ĩp lín nhau hoặc đẩy xa nhau.
• Ngoăi ra ta vẫn thừa nhận giả thuyết vật liệu lăm việc trong giai đoạn đăn hồi tuđn theo định luật Húc.
Nhận xĩt :
Quan sât biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng ta nhận thấy : Câc thớ dọc ở phía trín trục dầm bị co lại .
Câc thớở phía dưới trục dầm bị giên ra.
Như vậy từ thớ bị co sang thớ bị giên chắc chắn sẽ cĩ thớ khơng bị co cũng khơng bị giên, tức lă thớ khơng bị biến dạng. Thớđĩ được gọi lă thớ trung hịa.
Trang 71 - 177 Câc thớ trung hịa tạo thănh một lớp gọi lă lớp trung hịa.
Giao tuyến của lớp trung hịa vă mặt cắt ngang gọi lă đường trung hịa.
Đường trung hịa chia mặt cắt ngang lăm hai miền : một miền gồm câc thớ bị co vă một miền gồm câc thớ bị giên.
Đường trung hịa lă một đường cong, nhưng cĩ thể xem nĩ lă đường thẳng khi coi mặt cắt sau biến dạng khơng thay đổi hình dâng ban đầu. Lúc năy cĩ thể coi biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng chỉ lă sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường trung hịa
Laơp luaơn đưa ra các cođng thức
Sau biên dáng các maịt caĩt ngang 1-1 và 2-2 vôn cách nhau 1 đốn vi phađn dz sẽ caĩt nhau tái tađm cong O’ (H.6.6b) và hợp thành 1 góc dθ. Gĩi ρ là bán kính cong cụa thớ trung hòa, tức khoạng cách từ O’ đên thớ trung hòa. Đoơ dãn dài tương đôi cụa 1 thở ab cách thớ trung hòa 1 khoạng cách y cho bởi:
1 1 (ρ ) θ ρ θ ε κ ρ θ ρ − + − = = = = z a b ab y d d y y ab d
trong đó : κ là doơ cong
Heơ thức này chứng tỏ biên dáng dĩc trúc daăm thì tư leơ với đoơ cong và biên thieđn tuyên tính với khoạng cách y từ thớ trung hòa. Chú ý raỉng bieơu thức (6.1) được suy ra hoàn toàn từ đieău kieơn biên dáng hình hĩc cụa daăm và đoơc laơp với tính chât cụa vaơt lieơu. Vì vaơy, heơ thức tređn khođng tùy thuoơc vào dáng cụa bieơu đoă ứng suât – biên dáng cụa vaơt lieơu.
Moêi thớ dĩc cụa daăm chư chịu kéo hoaịc nén (nghĩa là các thớ dĩc ở tráng thái ứng suât đơn). Do vaơy, bieơu đoă quan heơ ứng suât – biên dáng cụa vaơt lieơu sẽ cho ta heơ thức giữa σz và εz. Nêu vaơt lieơu là đàn hoăi tuyên tính, định luaơt Hooke tương ứng với tráng thái ứng suât đơn cho ta:
σz =Eεz =E yκ (6.2)
Trang 72 - 177
Do vaơy, ứng suât pháp tác dúng tređn maịt caĩt ngang biên thieđn baơc nhât với khoạng cách y từ thớ trung hòa. Bađy giờ chúng ta hãy xét taơp hợp cụa các ứng suât pháp tređn toàn maịt caĩt ngang.
Trong trường hợp toơng quát, hợp lực này bao goăm 1 lực naỉm ngang theo phương z và 1 mođmen quanh trúc x. Tuy nhieđn, bởi vì tređn maịt caĩt ngang khođng toăn tái lực dĩc neđn chư còn mođmen uôn Mx mà thođi. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ đó, chúng ta có 2 phương trình tĩnh hĩc:
Phương trình thứ nhât, dieên tạ hợp lực theo phương z baỉng 0.
Phương trình thứ nhât, dieên tạ hợp lực các mođmen quanh trúc x baỉng mođmen Mx. Đeơ có theơ xác định các hợp lực này, ta hãy xét dieơn tích vi phađn dA tređn maịt caĩt ngang ở khoạng cách y từ trúc trung hòa (H.6.8). Lực tác dúng tređn phaăn tử này vuođng góc với maịt caĩt ngang và có trị sô là σzdA. Bởi vì khođng có noơi lực theo phương z neđn tích phađn cụa σzdA tređn toàn dieơn tích maịt caĩt ngang phại trieơt tieđu, do đó:
0
σ = κ =
∫ z ∫
A A
dA E ydA (6.3)
Bởi vì đoơ cong σσ và mođđun đàn hoăi E là haỉng sô neđn ta có theơ đem ra ngoài dâu
tích phađn và suy ra : ∫ =0
A
ydA (6.4)
đôi với daăm chịu uôn thuaăn túy.
Heơ thức này dieên tạ raỉng mođmen tĩnh cụa dieơn tích maịt caĩt ngang đôi với trúc trung hòa x đị qua trĩng tađm maịt caĩt ngang daăm khi vaơt lieơu tuađn theo định luaơt Hooke. Tính chât này cho phép ta xác định trúc trung hòa cụa bât kì maịt caĩt ngang nào. Dĩ nhieđn ta chư khạo sát trường hợp y là trúc đôi xứng. Theo heơ quạ cụa chương 6, heơ trúc (x,y) chính là heơ trúc quán tính chính trung tađm.
Trang 73 - 177
Chúng ta hãy khạo sát sau đađy hợp mođmen cụa các ứng lực gađy bởi các ứng suât
σz tređn toàn maịt caĩt ngang. Đó chính là taơp hợp cụa các mođmen vi phađn :
σ =
x z
dM ydA (6.5)
Do vaơy, tích phađn cụa tât cạ các mođmen vi phađn tređn toàn tiêt dieơn phại cađn baỉng với mođmen Mx , nghĩa là :
2 σ κ =∫ = ∫ x z A A M ydA E y dA (6.6)
hay có theơ viêt dưới dáng khác đơn giạn hơn:
κ = x x M EI (6.7) trong đó : x =∫ 2 A I y dA (6.8)
là mođmen quán tính cụa maịt caĩt ngang đôi với trúc trung hòa x. Bieơu thức (6.7) có theơ được viêt lái như sau:
1 κ ρ = = x x M EI (6.9)
Heơ thức này chứng tỏ đoơ cong cụa trúc thanh tư leơ với mođmen uôn Mx, và tư leơ nghịch với đái lượng EIx, gĩi là đoơ cứng uôn cụa daăm.
Thay (6.9) vào (6.1) ta tìm được bieơu thức tính ứng suât pháp tái 1 đieơm tređn maịt caĩt ngang như sau:
σ = x z x M y I (6.10)
Bieơu thức này chứng tỏ ứng suât pháp tư leơ thuaơn với mođmen uôn Mx, và tư leơ nghịch với mođmen quán tính Ix cụa maịt caĩt ngang. Ngoài ra, ứng suât còn biên thieđn baơc 1 theo khoạng cách y từ trúc trung hòa. Trong (6.10), mođmen uôn Mx dương khi có khuynh hướng là caíng thớ y dương. Ta có theơ nhaơn thây raỉng những đieơm càng xa trúc trung hòa có trị sô ứng suât càng lớn và những đieơm cùng có khoạng cách tới thớ trung hòa sẽ có cùng trị sô ứng suât pháp. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nêu mođmen uôn dương, daăm bị uôn cong với maịt loăi hướng phía dưới, các thớ tređn bj nén (y<0), trong khi các thớ beđn chịu kéo. Hình ạnh xạy ra ngược lái neđu mođmen uôn ađm.
Trang 74 - 177
Do vaơy trong thực hành, ta có theơ sử dúng cođng thức kĩ thuaơt sau đeơ tính ứng suât, trong đó ta khođng caăn đeơ ý đên dâu cụa mođmen uôn Mx cũng như cụa y, mà chư caăn xét xem mođmen uôn đã gađy ra kéo hoaịc nén tái đieơm đang xét.
σ = ± x z x M y I (6.11)
ta sẽ lây : dâu (+) nêu Mx gađy kéo tái đieơm caăn tính ứng suât dâu (-) nêu gađy nén.
Ưùng suât pháp khi kéo và khi nén lớn nhât ở tređn daăm xạy ra tái những đieơm ở xa đường trung hòa nhât. Gĩi σσ laăn lượt là khoạng cách thớ chịu kéo và thớ chịu nén ở xa đường trung hòa nhât. Khi đó ứng suât chịu kéo lớn nhât, σσ và ứng suât chịu nén lớn nhât , σσ sẽ tính bởi các cođng thức sau:
max max σ = x k = x k x x M M y I W (6.12a) min max σ = x n = x n x x M M y I W (6.12b) với max max ; = = k x n x x k x n I I W W y y (6.13)
Các đái lượng Wxk; Wxn gĩi là các suât tiêt dieơn hoaịc mođmen kháng uôn cụa maịt caĩt ngang. Nêu trúc x cũng là đôi xứng thì :
max max 2 = = k n h y y khi đó : k = n = =2 x x x x I W W W h (6.14)
và ứng suât néùn và kéo cực đái có trị sô baỉng nhau:
max min
σ =σ = x
x
M
W (6.15)
Đôi với maịt caĩt ngang hình chữ nhaơt với beă roơng b và chieău cao h, mođmen quán tính và mođmen chông uôn có trị sô:
3 2 ; 12 6 = = x x bh bh I W (6.16)
Trang 75 - 177
Đôi với maịt caĩt ngang hình tròn, các đaịc trưng này cho bởi:
4 3 4 3 0, 05 ; 0,1 64 32 π π = ≈ = ≈ x x d d I d W d (6.17)
Bieơu đoă phađn bô ứng suât pháp trong trường hợp maịt caĩt ngang có 2 trúc đôi xứng cho bởi H.6.9 và trong trường hợp maịt caĩt ngang chư có 1 trúc đôi xứng cho bởi H.6.10.
Đieău kieơn beăn
Sau đađy chúng ta viêt đieău kieơn beăn cho ứng suât kéo hoaịc nén. Đieău kieơn này dieên tạ raỉng u cực đái khođng theơ vượt qua ứng suât cho phép :
[ ] max max σ = ≤ σ x M W (6.18)
Từ đieău kieơn này ta suy ra raỉng :
[ ]σmax ≥
x
M
W (6.19)
nghĩa là mođmen chođng uôn cụa maịt caĩt ngang xác định từ đieău kieơn beăn phại lớn hơn hoaịc baỉng mođmen uôn lớn nhât chia cho ứng suât cho phép. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bởi vì Wx phú thuoơc vào hình dáng và kích thước cụa maịt caĩt ngang daăm (chữ nhaơt chữ T, dáng chữ I…) chúng ta có theơ tìm được kích thước cụa daăm sao cho mođmen chông uôn baỉng với trị sô tìm được trong cođng thức (6.19).
Khi sử dúng các cođng thức (6.18), (6.19) chúng ta caăn phađn bieơt 2 trường hợp:
Trường hợp thứ nhât, VAƠT LIEƠU DẸO thường gaịp trong uôn khi vaơt lieơu có đoơ beăn khi nén và khi kéo như nhau, trong trường hợp này ứng suât cho phép khi kéo và khi nén baỉng nhau:
Trang 76 - 177
[ ] [ ] [ ]σk = σn = σ (6.20)
Nêu maịt caĩt ngang đôi xứng qua trúc x, mođmen chông uôn khi kéo và nén như nhau và chúng ta khođng caăn phađn bieơt thớ chịu kéo hay nén vì ứng suât kéo cực đái và ứng suât nén cực đái baỉng nhau. Trong trường hợp tiêt dieơn khođng đôi xứng qua trúc x, trong các cođng thức (6.18) và (6.19) ta caăn thay Wx baỉng k
x
W hoaịc n x
W .
Trường hợp thứ hai, VAƠT LIEƠU GIÒN khi daăm có đoơ beăn khi nén và khi kéo khác nhau, trong trường hợp này chúng ta càn viêt 2 đieău kieơn beăn : 1 cho thớ chịu kéo và 1 cho thớ chịu nén: [ ] [ ] max ; min σ = + x ≤ σ σ = x ≤ σ k n k n x x M M W W (6.21)
Ý nghĩa vaơt lí cụa mođmen chông uôn : khi mođmen chông uôn càng lớn daăm càng chịu được mođmen uôn càng lớn mà khođng có nguy cơ bị phá hối.
Mođmen chông uôn đaịc trưng cho hieơu ứng cụa hình dáng và kích thước maịt caĩt ngang đên đoơ beăn cụa daăm khi ứng suât khođng vượt quá giới hán tư leơ. Các cođng thức (6.18), (6.19) khođng còn giá trị khi ứng suât vượt quá giới hán tư leơ cụa vaơt lieơu.
Trong phaăn trước đađy, ứng suât pháp được đeă caơp đên trong trường hợp uôn thuaăn túy, nghĩa là khođng toăn tái lực caĩt tređn maịt caĩt ngang. Trong trường hợp uôn ngang phẳng, sự xuât hieơn cụa lực caĩt gađy ra sự veđnh cụa maịt caĩt ngang; như vaơy giạ thiêt maịt caĩt ngang phẳng khođng còn đúng nữa.
Tuy nhieđn, caăn nhieău thực nghieơm chứng tỏ raỉng ứng suât pháp tính trong trường hợp uôn khođng thay đoơi đáng đeơ khi có sự hieơn dieơn cụa lực caĩt. Do vaơy, cođng thức ứng suât pháp (6.10) được sử dúng cho cạ trường hợp uôn thuaăn túy phẳng và uôn ngang phẳng.
Cođng thức tređn chư cho kêt quạ chính xác trong vùng cụa daăm tái đó khođng có sự thay đoơi đoơt ngoơt cụa sự phađn bô ứng suât gađy ra do sự biên đoơi đoơt ngoơt hình dáng cụa daăm hoaịc sự khođng lieđn túc veă tại trĩng. Những sự khođng bình thường keơ tređn có theơ gađy ra các ứng suât cúc boơ gĩi là sự taơp trung ứng suât, mà trị sô có theơ lớn hơn rât nhieău so với ứng suât tính baỉng cođng thức do uôn.
Từ đay ta có 3 dáng bài toán cơ bạn: kieơm tra beăn, chĩn kích thước maịt caĩt ngang, chĩn tại trĩng cho phép.
Trang 77 - 177 Cho biết:
Sơđồ tải trọng ( Vẽ biểu đồ nội lực tìm Mx max )
Kích thước tiết diện ( Tính câc đặc trưng hình học Jx , Wx ) Loại vật liệu ( [ σn ], [ σk ] )
Yíu cầu: Kiểm tra bền theo điều kiện bền của ứng suất phâp
Trình tự giải :
Tìm giâ trị Mx max
Tính câc đặc trưng hình học Jx , Wx Âp dụng cơng thức kiểm tra bền
Mx σx = --- ≤ [ σ ]
Wx Vật liệu dẻo : Max (σmax , σmin ) ≤ [σ ] Vật liệu dịn : σmax ≤ [σk]
σmin ≤ [σn]
Bài toán cơ bạn 2: chĩn kích thước maịt caĩt ngang
Cho biết :
Sơđồ tải trọng chưa biết giâ trị tải trọng ( Vẽ biểu đồ nội lực tìm Mx max theo tải trọng )
Kích thước tiết diện ( Tính câc đặc trưng hình học Jx , Wx ) Loại vật liệu ( [ σn ], [ σk ] ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Yíu cầu : Xâc định tải trọng theo điều kiện bền của ứng suất phâp
Trình tự giải :
Tìm giâ trị Mx max
Tính câc đặc trưng hình học Jx , Wx Âp dụng cơng thức kiểm tra bền
Mx
σx = --- ≤ [ σ ] Wx
Từđĩ chọn Mx( lă biểu thức liín hệ theo tải trọng ) ≤ [ σ ] . Wx
Bài toán cơ bạn 3: chĩn tại trĩng cho phép
Cho biết :
Sơđồ tải trọng ( Vẽ biểu đồ nội lực tìm Mx max theo tải trọng ) Hình dạng tiết diện ( Tính câc đặc trưng hình học Jx , Wx ) Loại vật liệu ( [ σn ], [ σk ] )
Yíu cầu : Xâc định tải trọng theo điều kiện bền của ứng suất phâp
Trang 78 - 177 Trình tự giải :
Tìm giâ trị Mx max
Tính câc đặc trưng hình học Jx , Wx Âp dụng cơng thức kiểm tra bền
Mx
σx = --- ≤ [ σ ] Wx
Từđĩ chọn Wx( lă biểu thức theo kích thước tiết diện) Wx ≥ Mx /[ σ ] . Ví dụ 1 : Trín mặt cắt ngang của dầm chữ T hình bín cĩ moment uốn Mx = 7200Nm. Dầm lăm bằng vật liệu cĩ : Jx= 5312,5 cm4 , [σk] = 20 MN/m2 , [σn] = 30 MN/m2 Yíu cầu kiểm tra bền dầm Giải : Ta cĩ ymax,k = 75mm =7,5.10-2 m ymax,n = 125mm =12,5.10-2 m 8 6 3 , 2 max, 53125, 5 10 708, 3 10 7, 5 10 x x k k J W m y − − − × = = = × × 8 6 3 , 2 max, 53125, 5 10 425 10 12, 5 10 x x n n J W m y − − − × = = = × × 2 2 max 6 6 , 7200 10, 20 10 / 10, 2 / 708, 3 10 x x k M N m MN m W σ = + = − = × = × 2 2 min 6 6 , 7200 17 10 / 17 / 425 10 x x n M N m MN m W σ = − = − = − × = − × Ví dụ 2 : Cho dầm tiết diện chữ nhật (bx2b) chịu lực như hình vẽ. Dầm lăm bằng vật liệu