CHƯƠNG III: ÁP DỤNG MỘT SỐ MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN VÀ CÁC GIẢI PHÁP NHẰM PHÁT
3.1.1.1 Mô hình chuyển động Brown hình học
a. Mô tả động thái giá cổ phiếu
• Phân bố của lợi suất cổ phiếu
Cho t là thời điểm hiện tại và (t+∆t) là thời điểm trong tương lai. Ký hiệu St và St+∆t là giá cổ phiếu hiện tại và tương lai. Giá tại thời điểm trong tương lai St+∆t phải thể hiện hai khuynh hướng:
- Tăng ổn định và tỷ lệ với giá hiện tại cũng như khoảng thời gian ∆t để đảm bảo giá trị theo thời gian của tiền tệ.
- Biến động ngẫu nhiên do tác động của nhiễu trắng. Lợi suất của cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, (t+∆t)] là:
Từ hai khuynh hướng của giá St+∆t suy ra lợi suất rt có hai khuynh hướng: - Tăng ổn định và tỉ lệ với khoảng thời gian ∆t. Nếu ký hiệu µ là lợi suất tức thời trung bình khi đó khuynh hướng này được biểu thị bởi đại lượng µ∆t.
- Biến động ngẫu nhiên và không ổn định với mức độ tỉ lệ với độ biến động của cổ phiếu (σ), thời gian ∆t và nhiễu phát sinh (εt).
Với hai khuynh hướng biến động trên, ta có thể biểu diễn:
trong đó εt∼N(0,1).
Ta thấy lợi suất cổ phiếu trong khoảng thời gian [t, (t+∆t)] rt có dạng:
t t t t t t t S S S r S S +∆ − ∆ = = t t r = ∆ +µ t σε ∆t 2 ( , ) t r ∼ N µ∆t σ ∆t
Tức là lợi suất cổ phiếu có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai tỷ lệ với khoảng thời gian xem xét. Ngược lại nếu giá tương lai St+∆t có phân bố loga chuẩn thì lợi suất rt sẽ có phân phối chuẩn do .
• Động thái giá cổ phiếu
Với lợi suất rt trong khoảng thời gian [t, (t+∆t)] và giá đầu kỳ St thì giá cuối kỳ St+∆t theo cách tính lãi gộp liên tục sẽ là:
Ta có thể mở rộng phương trình trên cho nhiều chu kỳ (k chu kỳ):
b. Dạng rời rạc của mô hình GBM
• Định nghĩa mô hình GBM:
Nếu quá trình giá cổ phiếu {St} trong khoảng thời gian [t, (t+∆t)] có số gia: ∆St = St - St+∆t thỏa mãn phương trình:
với mọi t và ∆t > 0; εt∼IDN(0,1) thì quá trình {St} gọi là quá trình GBM. Tham số µ gọi là lợi suất kỳ vọng (tức thời), σ: độ dao động của cổ phiếu.
• Nếu quá trình {St} tuân theo mô hình GBM, với giá ban đầu của cổ phiếu tại t =0 là S0 thì:
- Giá kỳ vọng tại thời điểm t:
- Phương sai của giá tại thời điểm t:
t t t t S r Ln S +∆ ≈ ÷ ( ) t t t t S+∆ =S Exp µ∆ +t σε ∆t ( ) t k t t t S+ ∆ =S Exp kµ∆ +t σε k t∆ t t t t S µS t σ εS t ∆ = ∆ + ∆ 0 ( ) t t E S =S eµ
c. Dạng liên tục của mô hình GBM
Liên tục hóa thời gian và kết hợp với giải tích ngẫu nhiên ta có định nghĩa sau: Nếu quá trình giá cổ phiếu {St} tuân theo mô hình GBM, tức là có phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng:
µ: lợi suất kỳ vọng, σ: độ dao động của cổ phiếu.