* Khái niệm tính dừng
Chuỗi Yt được gọi là dừng nếu kỳ vọng, phương sai và hiệp phương sai không đổi theo thời gian. Về mặt toán học chuỗi Yt được gọi là dừng nếu:
E(Yt) = µ∀ t
Var (Yt) = E(Yt-µ)2 = σ2 ∀ t
( , ) ( ) ( )
k Cov Y Yt t k E Yt Yt k
γ = − = −µ − −µ
Chuỗi Yt được gọi là không dừng nếu nó vi phạm bất kỳ điều kiện nào nói ở trên.; 0 k k γ ρ γ = chính là hệ số tự tương quan Yt và Y t-k
Khi khảo sát các ρk theo độ dài của trễ ta có một hàm, người ta gọi là
hàm tự tương quan (Autoregressive Correlation Function). Khi đó ta viết ACF(k) = ρk= ( ) ( )t , ar Y t t k Cov Y Y V −
Điều kiện thứ ba trong định nghĩa chuỗi dừng có nghĩa là hiệp phương sai, do đó hệ số tương quan giữa Yt và Yt+k chỉ phụ thuộc vào độ dài (k) về thời gian giữa t và t+k, không phụ thuộc vào thời điểm t.
* Khái niệm nhiễu trắng
Yt = ut, trong đó ut là yếu tố ngẫu nhiên trong mô hình hồi quy cổ điển. Nghĩa là ut có trung bình bằng không, phương sai không đổi và hiệp phương sai bằng không. ut được gọi là nhiễu trắng (White noise). Trong trường hợp này, Yt là chuỗi dừng.
* Khái niệm sai phân
Gọi ∆ là toán tử sai phân, sai phân cấp I: ∆ = −Yt Yt Yt−1
Sai phân cấp m: ( m 1 )
t Y
− ∆ ∆
Yt được gọi là liên kết bậc I nếu ∆Yt là chuỗi dừng, ký hiệu là I(1)
Yt sai phân cấp II, được gọi là liên kết bậc II nếu 2( )
t
Y
∆ là chuỗi dùng, kí hiệu là I(2)
Yt sai phân cấp d được gọi là dùng nếu d( )
t
Y
∆ là dừng , ký hiệu là I(d)
Nếu d= 0 thì Yt là chuỗi dừng. Do đó chúng ta saex sử dụng thuaatj ngữ “ chuỗi dừng” vầ I(0) là tương đương với nhau
Để tìm ra chuỗi Yt là không dừng thì hoặc là chúng ta sẽ ước lượng và kiểm định giả thiết: ρ= 1; hoặc là ước lượng và kiểm định giả thiết ρ= 0.
Trong cả hai mô hình này đều không dùng được tiêu chuẩu T( Student – test) ngay trong trường hợp mẫu lớn. Dickey- Fuller (DF) đã đưa ra tiêu chuẩn để kiểm định như sau:
H0: ρ= 1( Chuỗi là không dừng)
H1 :ρ≠ 1(Chuỗi dừng)
Ta ước lượng mô hình, τ ρ= ^/ ( )Se ρ^ có phân bố DF. Nếu như:
^ ^
/Se( )
τ ρ= ρ > τα thì ta bác bỏ H0. Trong trường hợp này chuỗi là dừng
Tiêu chuẩn DF được áp dụng cho các mô hình sau đây:
1 t t t Y δY− u ∆ = + 1 1 t t t Y β δY− u ∆ = + + 1 2 1 t t t Y β β δt Y− u ∆ = + + +
Đối với các mô hình trên H0: δ = 0( chuỗi khônhg dừng – hay có nghiệm đơn vị). Nếu các ut lại tự tương quan, thì cải biến mô hình
1 2 1
t t t
Y β β δt Y− u
∆ = + + + + ∑αi∆Yt−1+εt
Tiêu chuẩn DF áp dụng cho phương trình trên được gọi là tiêu chuẩn ADF (augumented Dickey- Fuller)