Một trong những hàm sản xuất được sử dụng rộng rãi nhất trong ước lượng là hàm sản xuất Cobb_Douglas, có dạng: y= A L K. .α β
A, α và β là những tham số dương cố định. Đặc trưng của hàm này là dễ dàng tính được độ co giãn của từng yếu tố đầu vào. Độ co giãn chính bằng số mũ của từng yếu tố. 0 , 1 1 L L K K y L y y K y σ σ α σ σ σ β σ α β α β = = = = < < + <
Tính không đổi của các độ co giãn này là một đặc tính của hàm sản xuất Cobb-Douglas, và các bất đẳng thức trên bảo đảm rằng các điều kiện thỏa mãn. Tổng của các độ co giãn là bậc thuần nhất của hàm:
( , ) ( ) ( ) . ( , )
f λ λL K =A λL α λK β =λα β+ f K L
Hàm Cobb_Douglas là tuyến tính theo logarit của các biến. Hàm Cobb_Douglas đối với công ty thứ i, sau khi lấy logarit và cộng thêm số hạng nhiễu ngẫu nhiên u, để giải thích cho các biến đổi trong năng lực kĩ thuật hoặc sản xuất của công ty thứ i, là:
Lnyi = a+α.lnLi +β.lnKi + ui (a=lnA)
Một cách để ước lượng của các tham số a, α và β là ước lượng trực
tiếp phương trình này, khi cho các số liệu về đầu ra yi, đầu vào lao động Li, và đầu vốn Ki. Vì có số liệu thường không có sẵn nên việc ước lượng hàm sản xuất là hơi khó. Biến giải thích lnLi và lnKi là các biến nội sinh ,được xác
định cùng với lnyi và không độc lập với số hạng nhiễu ngẫu nhiên. Chúng cũng có khuynh hướng không độc lập với n hau, có thể dẫn đến vấn đề phương sai không đều.
Ta có các điều kiện đối với việc ước lượng hàm sản xuất Cobb- Douglas trong môi trường cạnh tranh hoàn hảo cho bài toán cực đại lợi nhuận là: y L ∂ ∂ = y L α =w p ⇔ α=wL yp y K ∂ ∂ =β y K = rp ⇔ β=rK yp
Điều kiện có nghĩa là tỉ lệ của lao động trong tổng thu nhập bằng tham số α ,trong khi tỷ lệ của vốn bằng tham sốβ .Vì tổng giá trị của đầu ra bằng
tổng giá trị đầu vào : pyi =wLi +rKi nên ta có α β+ =1. Điều kiện này đòi hỏi
hàm sản xuất Cobb-Douglas biểu diễn công nghệ có hiệu quả không đổi theo quy mô.
Suy ra:
ln y=a+α ln L+(1-α ) ln(K
L )+ui
Đây là phương trình hàm sản xuất dạng sâu, liên hệ tỷ lệ đầu ra trên một lao động với tỷ số vốn lao động. Ước lượng phương trình này chỉ ra một ước lượng của 1-α , độ co giãn của đầu ra theo vốn, ở đây α là độ co giãn
theo lao động.
Ta có vài nhận xét về dạng hàm này:
Hàm Cobb-Douglass thuộc loại dễ ứng dụng và dễ ước lượng, mặt khác cũng phản ánh được xu thế của sản xuất do vậy được nhiều nước trên thế giới ứng dụng
Hàm này có thể ứng dụng cho cấp toàn quốc, cấp nghành hoặc cho từng doanh nghiệp
Các thông số của hàm (α,A) nếu được tính thường xuyên sẽ phản ánh
được xu hướng phát triển của doanh nghiệp, đồng thời cũng cho thấy xu hướng nâng cao chất lượng sử dụng máy móc, trình độ công nhân viên của đơn vị. Bởi vì, về bản chất a là năng suất các nhân tố tổng hợp. Xét cho cùng là kết quả sản xuất mang lại do nâng cao hiệu quả sử dụng vốn va lao động( các nhân tố hữu hình), nhờ vào tác động của các nhân tố vô hình như đổi mới công nghệ, hợp lý hóa sản xuất, cải tiến quản lý, nâng cao trình độ lao động của công nhân viên,... (gọi chung là nhân tố tổng hợp)
Nếu các doanh nghiệp đều tính các thông số của mô hình Cobb- Douglass riêng cho mình rồi đem so sánh các thông số đó với thông số của một xí nghiệp chuẩn( xí nghiệp có giá trị Q, L, K bình quân) cùng lĩnh vực sản xuất kinh doanh sẽ thấy khả năng cạnh tranh của doanh nghiệp
Tuy nhiên, ta phải xét đến các khuyết tật có thể xảy ra đối với chuỗi số liệu, Vì vậy phải thưch hiện kiểm định các khuyết tật. Nếu có thì phải khắc phục