4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.5.2Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM)
Trong mô hình rủi ro bán Markov, m là các kiểu yêu cầu bồi thường bảo hiểm có thể có và thuộc tập hợp:
I ={1, ..., m} (4.115) tập hợp này được xem như tham số môi trường và nó có ảnh hưởng đến cả hai trong ba quá trình cơ bản đã nêu ở trên.
Đặt (Xn, n≥1),(Yn, n≥1)tương ứng với dãy số lần đến giữa hai yêu cầu bồi thường bảo hiểm và dãy số lượng tiền bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Quá trình (Jn, n≥1)sẽ mô tả các kiểu của các yêu cầu bồi thường liên tiếp hoặc các trạng thái môi trường. Giả thiết cơ bản để có một SMRM là:
P (Jn =j, Xn ≤x, Yn≤y|(Jk, Xk, Yk), k = 1, ..., n−1) =QJn−ij(x, y) (4.116) với
J0 =j0, X0 =Y0 = 0. (4.117) Giả thiết này có nghĩa là quá trình ba chiều ((Jn, X, Yn), n ≥0) được gọi là quá trình (J-X) hai chiều của nhân Q, có các tính chất sau:
(i) Tất cả các phần tử Qij của Q là các hàm hai chiều, với x bằng 0 vày âm. (ii) Tồn tại các giới hạn sau:
lim
x→∞,y→∞Qij(x, y) =pij,i, j ∈I, n
X
j=1
pij = 1,i∈I. (4.118)
Mỗi ma trận Q được gọi là một nhân bán Markov hai chiều và quá trình (J-X-Y) tương ứng với một quá trình (J-X) hai chiều hoặc xích bán Markov hai chiều. Từ việc mở rộng trực tiếp các kết quả của phần 3.2, chương3 ta có kết luận sau:
(i) Quá trình các yêu cầu bồi thường liên tiếp(Jn, n ≥0)là một quá trình xích Markov thuần nhất với không gian trạngI và P= [pij] là ma trận chuyển.
(ii) Các quá trình ((Jn, Xn), n ≥0),((Jn, Yn), n≥0) là hai quá trình bán Markov của nhân AQ,BQ, với mọi i và j thuộc I:
AQij(x) =Qij(x,+∞),BQij(y) = Qij(+∞, y) (4.119) (iii) Cho biến ngẫu nhiên Jn, n ≥ 0, biến ngẫu nhiên hai chiều (Xn, Yn), n ≥ 1 là độc lập có điều kiện và ta có:
Fij(x, y) =P(Xn≤x, Yn ≤y|J0, ..., Jn−2, Jn−1 =i, Jn=j) =
Qij(x, y)/pij nếu pij >0
U1(x)U1(y) nếu pij = 0 (4.120) (iv) Tính chất cuối cho ta biến ngẫu nhiên Jn, n≥0và(Xn, n≥ 1)phụ thuộc vào điều kiện và tương tự cho biến ngẫu nhiên (Yn, n ≥1). Hơn nữa:
AFij(x) =P(Xn≤x,|J0, ..., Jn−2, Jn−1 =i, Jn =j) =Fij(x,+∞),
BFij(x) =P(Yn ≤y,|J0, ..., Jn−2, Jn−1 =i, Jn=j) =Fij(+∞, y). (4.121) Bỏ qua hệ thức điều kiện đối với Jn, ta có:
Hi(x, y) =P(Xn≤x, Yn≤x|J0, ..., Jn−2, Jn−1 =i) =X
j
pijFij(x, y)
AHi(x) =P(Xn≤x,|J0, ..., Jn−2, Jn−1 =i) =Hi(x,+∞), (4.122) BHi(y) =P(Yn ≤y,|J0, .., Jn−2, Jn−1 =i) =Hi(+∞, y).
4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov 127 Bây giờ, ta trình bày các giá trị trung bình kết hợp với hàm phân phối có điều kiện khác được định nghĩa ở trên và ta thừa nhận ký hiệu sau:
aij = Z ∞ 0 xdAFij(x), bij = Z ∞ 0 ydBFij(y), A ηi = Z ∞ 0 xdAHi(x) = m X j=1 pijaij ! ,Bηj = Z ∞ 0 ydBHi(y) = m X j=1 pijbij ! . (4.123) Trước hết, ta xét quá trình (Tn, n≥1), T0 = 0 (4.124) được định nghĩa Tn= n X k=1 Xk,n≥1 (4.125)
là thời điểm đến của các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Tiếp theo là quá trình
(Un,n ≥1), U0 = 0 (4.126) được định nghĩa Un= n X k=1 Yk,n≥1 (4.127)
là tổng lượng tiền bồi thường liên tiếp chỉ sau các yêu cầu bồi thường bảo hiểm. Với phân phối đồng thời của quá trình (Jn, Tn, Un, n≥0), ta có:
P(Jn =j, Tn≤t, Un ≤y|J0 =i) =Q(ijn)(x, y), Q(0)ij (x, y) =δijU0(x)U0(y), Q(1)ij (x, y) =Qij(x, y) (4.128) Q(ijn)(x, y) = Z x −∞ Z y −∞ n X k=1 Q(ijn−1)(x−x0, y−y0)Q(dx0, dy0), n >1.
Hiển nhiên, với quá trình ((Jn, Tn), n≥0), ((Jn, Un), n≥0), cả hai đều là quá trình tái tạo Markov (MRP), ta có:
P (Jn=j, Tn ≤t|J0 =i) =AQ(ijn)(t),
P (Jn=j, Un≤y|J0 =i) =BQ(ijn)(y). (4.129) Chú ý 4.2. Tương tự các định nghĩa cơ bản của quá trình bán Markov đã nêu trong phần 3.2 (định nghĩa 3.1) chương 3, quá trình ba chiều ((Jn, Tn, Un), n≥0) được gọi là quá trình tái tạo Markov (MRP) hai chiều của nhân Q.
Nếu Q là ma trận bán Markov mở rộng hai chiều thì quá trình này được gọi là bước tái tạo Markov (MRW) hai chiều hoặc xích bán Markov (SMC) mở rộng. Ta kết thúc mục này với định nghĩa sau.
Định nghĩa 4.4. Các dãy(Xn, n ≥1),(Yn, n≥1)độc lập có điều kiện với dãy (Jn, n ≥1)
cho trước khi và chỉ khi
Fij(x, y)=AFij(x)BFij(y),∀x, y ∈R,∀i, j ∈I. (4.130) Từ các kết luận ở trên trong phần phụ này, ta có:
4.130⇔Qij(x, y)=AFij(x)BQij(y)⇔Qij(x, y)=AQij(x)BFij(y)
⇔Qij(x, y) =pijAFij(x)BFij(y). (4.131) Giả thiết này phù hợp với lý thuyết rủi ro và hơn thế nữa, nó được sử dụng để xét trường hợp đặc biệt sau:
A
Fij(x)=AFj(x), i, j ∈I,x≥0, B
Fij(y)=BFj(y), i, j ∈I,y ≥0. (4.132) Dạng đầu tiên của điều kiện 4.132 có nghĩa là hàm phân phối của thời gian đến giữa hai yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp phụ thuộc duy nhất vào kiểu yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong tương lai và dạng thứ hai là hàm phân phối của lượng tiền bồi thường bảo hiểm, nó chỉ phụ thuộc duy nhất vào kiểu của yêu cầu bồi thường bảo hiểm này và không phụ thuộc vào dạng trước đó.