Đặt (Xn, n≥1) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, với F là hàm phân phối thông thường và:
F (0)<1 (3.153)
F (0)>0. (3.154)
Hai hệ thức này chỉ ra rằng, với mọi n, biến cố
{ω:Xn>0},{ω :Xn<0} (3.155) có các xác suất dương.
Ta định nghĩa các biến ngẫu nhiên sau:
S0 =X0 = 0, (3.156) Sn= n X k=0 Xk. (3.157)
Bây giờ ta có thể đưa ra định nghĩa cơ bản sau:
Định nghĩa 3.38. Dãy ngẫu nhiên (Sn, n≥0) được gọi là bước ngẫu nhiên bắt đầu tại x0, với (Xn, n≥1) của nó là các bước liên tiếp.
Nếu x0 = 0 thì bước ngẫu nhiên bắt đầu tại thời điểm gốc.
Các khái niệm chính trong lý thuyết bước tái tạo nói về các biến ngẫu nhiên hình thang. Về mặt đồ thị các khoảng của thang và các độ cao của thang cho ta đồ thị hai chiều mà các điểm được xác định bởi các tọa độ {(n, Sn), n≥0}.
Trong đồ thị 3.1, ta nối các điểm tọa độ(k, Sk),(k+ 1, Sk+1)để biểu diễn sự thác triển của quá trình.
Ví dụ, trong quỹ đạo của đồ thị dạng hình thang 3.1 ta có các điểm tăng ngặt(1, S1),
(n−3, Sn−3), (n, Sn) và các điểm giảm ngặt (n−1, Sn−1), (n+ 1, Sn+1).
Các định nghĩa tiếp theo cho ta khái niệm các biến hình thang theo Feller (1971) nhưng không xét trường hợp x0 = 0.
Hình 3.1: Quỹ đạo hình thang
Định nghĩa 3.39. Trên biểu đồ hình thang, điểm tăng (ngặt) đầu tiên(Γ1, H1)là số hạng đầu tiên của dãy ((n, Sn), n >0) với Sn lớn hơn S0. Đó là:
{ω : Γ1 =n}={ω:S1 ≤S0, . . . , Sn−1≤S0, Sn> S0}. (3.158) Biến ngẫu nhiên Γ1 được gọi là khoảng ngặt đầu tiên và biến ngẫu nhiên được định nghĩa bởi
H1 =Sξ1, ξ1 = Γ1 (3.159)
được gọi là độ cao ngặt đầu tiên.
Hàm phân phối hai chiều có thể khuyết của (Γ1, H1) là: Hn(x) =P (Γ1 =n, H1 ≤x), n >0, x∈R+[ {+∞}. (3.160) Tuy nhiên, ta có: P (Γ1 =n) =Hn(+∞), (3.161) P (H1 ≤x) = ∞ X n=1 Hn(x) (= M(x)) (3.162) vì thế cả hai biến ngẫu nhiên đều cùng có dạng khuyết, đó là:
P (Γ1 =∞) = P (H1 =∞) = 1−M(∞). (3.163) 3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên
Trong phần này ta nghiên cứu một kết quả rất quan trọng đó là sự phân loại các bước ngẫu nhiên. Tóm lại kết quả này chỉ ra rằng chỉ tồn tại hai xác suất cho dáng điệu tiệm cận của bước ngẫu nhiên(Sn, n ≥0)là:
3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro 105 hoặc
P limSn=∞ hoặc limSn =−∞ = 1 (3.165) Trong trường hợp đầu tiên, bước ngẫu nhiên được gọi là dao động, trong trường hợp thứ hai nó tiến đến +∞hoặc −∞. Từ 3.165 ta có:
limSn = +∞ (3.166)
hoặc
limSn=−∞. (3.167)
Mệnh đề 3.40. Chỉ tồn tại hai dạng bước ngẫu nhiên:
(1) Dạng dao động: cả hai quá trình tái tạo tăng hoặc giảm của độ cao đều ổn định. Trong trường hợp này, quá trình (Sn, n = 0,1, . . .) dao động với xác suất 1 giữa −∞
và +∞ và:
E(Γ1) =E ΓD 1
=∞. (3.168)
(2) Dạng tiến đến ±∞: trong trường hợp −∞, quá trình tái tạo tăng là terminated và quá trình tái tạo giảm là proper với xác suất 1. Quá trình (Sn, n = 0,1, . . .) tiến đến
−∞ với xác suất 1 và đạt giá trị cực đại hữu hạn không âm M, hơn nữa: E ΓD 1 = 1 1−ζζ(∞) = 1 1−ζ 1 1−M(∞). (3.169) và nếu M là biến ngẫu nhiên được định nghĩa là
M = max (S0, S1, . . . , Sn, . . .) (3.170) thì
P (M ≤x) = (1−M(∞))ς(x). (3.171)
Ta có các kết quả tương tự cho trường hợp tiến đến +∞.
Khi giá trị trung bình của biến ngẫu nhiênXn,n >1tồn tại thì luật mạnh số lớn khẳng định rằng:
lim
n→∞
Sn
n =µ (3.172)
vì vậy khi đó ta có các kết quả sau:
µ > 0⇒ lim
n→∞Sn = +∞, µ > 0⇒ lim
n→∞Sn =−∞. (3.173)
Mệnh đề sau cho ta hệ thức đầy đủ bao gồm cả trường hợp µ= 0.
Mệnh đề 3.41. Nếu giá trị trung bình µ của biến ngẫu nhiên Xn,n >1tồn tại thì: (i) µ= 0 chỉ ra rằng bước ngẫu nhiên là dao động.
(iii) µ <0 chỉ ra rằng bước ngẫu nhiên tiến đến −∞. Ta chứng minh trường hợp ngược lại cũng đúng và ta có: (i) µ= 0 ⇔P lim sup n Sn= +∞,lim inf n Sn =−∞ = 1. (3.174) (ii) µ >0⇔P lim n→∞Sn= +∞= 1. (3.175) (iii) µ >0⇔P lim n→∞Sn=−∞= 1. (3.176)
3.15 Các bước ngẫu nhiên bán MarkovTa xét một quá trình (J, X), ((Jn, Xn), n ≥0). Ta xét một quá trình (J, X), ((Jn, Xn), n ≥0).
Ta thấy rằng quá trình (Xn)xác định một bước ngẫu nhiên trên đường thẳng thực bắt đầu tại X0 = 0. Ngược với các bước ngẫu nhiên cổ điển, các bước liêp tiếp Xn không còn độc lập nhưng nó thỏa mãn bán Markovian phụ thuộc và hữu ích cho nhiều ứng dụng ví dụ như trong lý thuyết rủi ro, lý thuyết hang đợi,. . .
Vi trí của vật tại bước thứ n được cho bởi biến ngẫu nhiên Sn =
n
X
k=1
Xk, n= 1,2, ... (3.177) Từ bây giờ, ta giả sử rằng xích Markov được nhúng (Jn, n≥0) là tối giản và hồi quy. Với j thuộc I cố định, ta đưa ra một quá trình rn(j), n≥0
nữa được gọi là quá trình mũ hồi quy như sau:
r0(j)= 0, rn(j)= sup k n k ≥0 :k > r(nj−)1, Jl 6=j, rn(j−)1 < l < ko ,n >0. (3.178) Từ phần 3.1, ta biết rằng số lần tái tạo trung bình được cho bởi:
mjj =E r(nj+1) −r(j) n , n >0, j ∈I (3.179) và ở đây là hữu hạn.
Với quá trình tái tạo r(nj+1) −rn(j), n >0
, ta có thể kết hợp với bước ngẫu nhiên cổ điển, nghĩa là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối:
Ul(j), l >0
3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov 107với với Ul(j)= r(lj)+1 X n=r(l+1j) Xn (3.181)
Từ mệnh đề 3.35 và chú ý3.5, theo đó các biến ngẫu nhiên này có giá trị trung bình µ được cho bởi
µjj = 1 πj m X i=1 πiµi (3.182)
vì vậy, giá trị này dương hoặc âm với mọi j tùy thuộc vào dấu của µđược xác định bởi µ=
m
X
i+1
πiηi. (3.183)
Như đã biết, theo Spitzer (1957) và Feller (1971) ta sẽ nói rằng một bước ngẫu nhiên tiến đến +∞ (hoặc lùi về−∞) khi và chỉ khi
P(lim sup
n {ω:Sn(ω)<0}) = 0,
(P(lim inf
n {ω :Sn(ω)>0}) = 0) (3.184)
và đó là dao động khi và chỉ khi P(lim sup
n {ω:Sn(ω)<0}) =P(lim inf
n {ω:Sn(ω)>0}) = 1. (3.185) Sau đây ta có định lí liên quan đến dáng điệu tiệm cận của bước ngẫu nhiên bán Markov
(Sn).
Mệnh đề 3.42. Nếu bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn) có một xích Markov tối giản và tất cả các giá trị trung bình vô điều kiện ηi, i∈ I là hữu hạn và khi đó nếu µ là null, nếu với một chỉ số j,
P
U1(j) = 0
<1 (3.186)
thì bước ngẫu nhiên bán Markov là dao động và nếu µdương (hoặc ngược lại âm) thì bước ngẫu nhiên bán Markov tiến đến +∞ (hoặc −∞).
3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov
Xét một bước ngẫu nhiên bán Markov (Sn)với một xích Markov tối giản và tất cả các giá trị trung bình vô điều kiệnηi, i∈I hữu hạn. Bây giờ ta quan tâm đến phân phối của cận trên đúng sau:
M = sup{S0, S1, ...} (3.187)
Với µ >0, theo giả thiết của mệnh đề 3.42, theo mệnh đề này thì với mọii thuộc I và một số thực x:
Điều này cũng đúng với µ = 0, cũng như quá trình (J, X) dương, ((Hn, ζn), n >0) là chính quy (xem Pyke (1961a)) có nghĩa là nó chỉ có một số hữu hạn các phép chuyển trên bất kì khoảng thời gian nào.
Bây giờ với µ <0, ta được:
Mi(x) =P(M ≤x |J0 =i) =X j (1−υj) ˜Mij(x) (3.189) trong đó M˜ =h ˜ Miji
là ma trận cho hàm tái tạo của quá trình ((Hn, ζn), n >0). Từ mệnh đề 7.5 chương 5 của Janssen and Manca (2006), ta biết rằng:
lim
x→∞Mi(x) = 1,∀i∈I. (3.190)
Ta cũng thấy rằng
Mi(0) = 1−υi,∀i∈I. (3.191)
Ta có thể bắt đầu từ hệ phương trình tích phân sau của dạng Wiener-Hopf được cho từ lập luận xác suất trực tiếp:
Mi(x) = P j x R −∞ Mj(x−s)dQij(x), x≥0, 0, x <0. (3.192)
Với m = 1, ta có phương trình Wiener-Hopf cổ điển :
M(x) = x R −∞ M(x−s)dQ(x), x≥0, 0, x <0. (3.193)
Janssen (1970) chứng minh rằng hệ phương trình tích phân của dạng Wiener-Hopf này có duy nhất một nghiệm P, nghĩa là vectơ (M1, . . . , Mn) của các hàm phân phối thỏa hệ 3.192.
Chương 4
Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản Trong phần này, trước hết ta sẽ phát triển ví dụ 3.1 trong chương 3 thành tổng quát và sau đó xét cho trường hợp riêng của quá trình Poisson cho các yêu cầu bồi thường bảo hiểm.
Xét một công ty bảo hiểm, bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu là một lượng u(u >0)(đối với các công ty bảo hiểm có thể gọi là vốn dự trữ hoặc đối với các ngân hàng thì gọi là tài sản cố định). Hầu hết ở các quốc gia phát triển, vốn ban đầu được quy định bởi chính phủ và nó phụ thuộc vào vốn luân chuyển của công ty bảo hiểm.
Thực vậy, rõ ràng vốn dự trữ này bảo vệ khách hàng khỏi rủi ro khi một công ty bảo hiểm không may phải chi một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn, ví dụ như do một biến cố lớn nào đó mà công ty không đủ sức để chi trả tiền bồi thường. Vấn đề cơ bản mà các chuyên viên tính toán bảo hiểm phải giải quyết là đưa ra đánh giá khách quan cho vốn dự trữ cực tiểu này. Ta sẽ nghiên cứu để giải quyết vấn đề cơ bản này sau.
Bất kì mô hình rủi ro nào liên quan đến công ty bảo hiểm đều được đặc trưng bởi ba quá trình cơ bản sau:
(i) Thứ nhất là quá trình số lượng các yêu cầu bồi thường. Đây là một quá trình ngẫu nhiên, đếm số lần yêu cầu bồi thường từ phía khách hàng.
(ii) Quá trình ngẫu nhiên thứ hai là quá trình ngẫu nhiên liên quan đến lượng tiền bồi thường. Đặc biệt, nó đưa ra hàm phân phối lượng tiền công ty phải chi trả khi có yêu cầu bồi thường.
(iii) Quá trình cuối cùng liên quan đến thu nhập của công ty. Nhìn chung đây là quá trình quyết định. Thu nhập của công ty chính là phí bảo hiểm do khách hàng đóng và phí bảo hiểm này phải được xác định cho mỗi hợp đồng cụ thể.
Với bất kì giả thiết nào về ba quá trình này, có sự tương ứng với một mô hình rủi ro ngẫu nhiên đặc biệt. Vấn đề quan trọng nhất này sẽ được trình bày sau. Trong phần này ta chỉ xét hai mô hình là: mô hình E.S Anderson (còn gọi là mô hình G/G) và mô hình Cramer – Lundberg (mô hình P/G). Các kí hiệu được lấy từ lý thuyết hàng đợi cho ta thông tin về hai hàm phân phối được sử dụng trong các mô hình này. Hàm phân phối thứ nhất về khai báo yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm và hàm phân phối thứ hai về số
lượng tiền bồi thường (với G là một hàm phân phối bất kì và P trong Poisson là phân phối mũ âm).
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G4.2.1 Mô hình 4.2.1 Mô hình
Giả thiết cơ bản cho mô hình G/G là:
(i) Quá trình số lượng yêu cầu giải quyết quyền lợi bảo hiểm
Đặt (Xn, n≥1) là quá trình ngẫu nhiên của số lần khai báo giữa các yêu cầu bồi thường bảo hiểm liên tiếp. Giả sử rằng quá trình này là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối vớiA là hàm phân phối thông thường, như vậy: a) A(0)<1. (4.1) b) Z ∞ 0 xdA(x) =α <∞. (4.2) (ii) Quá trình chi trả bồi thường
Đặt(Yn, n≥1)là dãy các số tiền chi trả bồi thường liên tiếp. Ta cũng giả sử rằng có một dãy các biến ngẫu nhiên không âm độc lập cùng phân phối, với B là hàm phân phối thông thường, như vậy:
a) B(0)<1. (4.3) b) Z ∞ 0 ydB(y) =β <∞. (4.4) Hơn nữa, dãy (Xn, n≥1) và (Yn, n ≥1) độc lập và được xác định trên không gian xác suất đầy đủ (Ω,=, P).
(iii) Quá trình doanh thu bảo hiểm
Giả thiết cổ điển là có một hằng số c dương là mức phí bảo hiểm trong một đơn vị thời gian, có nghĩa là trong khoảng thời gian[0, t], tổng doanh thu của một công ty bảo hiểm làct.
4.2.2 Phí bảo hiểm
Một trong những vấn đề chính của công ty là làm thế nào để cố định mức phí bảo hiểm tương đối hợp lí. Khi đó phải quan tâm hai điều kiện sau:
a) Tuổi thọ của công ty bảo hiểm, đó là giai đoạn mà vốn công ty phải luôn dương với xác suất cao và lâu dài. Thực vậy, từ quan điểm kinh tế, vốn dự trữ lớn sẽ cho một hệ số an toàn cao nhưng nếu vốn dự trữ thừa quá mức có nghĩa là công ty thu phí bảo hiểm quá cao.
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G 111 b) Vấn đề đáng quan tâm của mỗi công ty là phải chọn hệ sốccàng thấp càng tốt nhưng
không vi phạm độ an toàn kinh tế riêng của mỗi công ty.
Để cố định giá trị c, ta xét quá trình tái tạo (Tn, n≥0)của các thời điểm có yêu cầu giải quyết bồi thường bảo hiểm liên quan đến dãy(Xn, n ≥1), với X0 = 0. Đó là:
Tn=
n
X
k=0
Xk. (4.5)
Theo thuyết tái tạo, quá trình đếm kết hợp (N(t), t≥0), được xác định bởi 1.6 trong chương 1, cho ta tổng số yêu cầu bồi thường trong(0, t] và từ hệ thức 1.103trong hệ quả 1.13 của chương 1, ta biết rằng:
lim t→∞ H(t) t = 1 α (4.6) nếu H(t) = E(N(t)) (4.7) và với t lớn thì: E(N(t))≈ t α. (4.8)
Bây giờ, từ hệ thức 4.4tổng số tiền trung bình mà công ty phải trả cho các bồi thường bảo hiểm trong (0, t]xấp xỉ bằng:
β
αt. (4.9)
Kết quả cuối cùng này chỉ ra rằng tổng số tiền bồi thường mà công ty bảo hiểm phải trả trong suốt thời gian (0, t] được xấp xỉ làct, trong đó:˜
˜
c= β
α. (4.10)
Theo đó nếu ta lấy giá trị ˜c này như mức phí bảo hiểm cố định trên một đơn vị thời gian thì nó được xem như một trò chơi giữa công ty bảo hiểm và khách hàng. Trò chơi này gần như được xem là công bằng tiệm cận. Đó là lý do tại sao c˜được gọi là phí bảo hiểm thuần túy. Nhưng một cách không may mắn, sau này ta sẽ thấy rằng sự lựa chọn này sẽ dẫn đến sự phá sản của công ty trong[0,∞). Khi đó cũng đưa ra một hệ số an toàn dương η để:
c= (1 +η)˜c (4.11)
hoặc
c= (1 +η)β
α. (4.12)
Mặt khác, công ty phải chọn mức phí bảo hiểm c như sau: c > β
α. (4.13)
Bây giờ, c˜được gọi là hệ số phí bảo hiểm. Vì thế, nếu ta đặtc= 1, thì hệ thức sẽ cho ta:
nghĩa là khoảng thời gian trung bình giữa hai yêu cầu giải quyết bồi thường liên tục lớn hơn số tiền bồi thường trung bình.
Điều kiện này đảm bảo lợi ích của người nắm chính sách bảo hiểm. Phần lý thuyết này sẽ được làm sáng tỏ bên dưới.
Kết luận: mỗi công ty bảo hiểm phải kiểm soát được hai tham số cơ bản đó là: vốn dự trữ ban đầu hoặc cổ phần u và hệ số an toàn η. Hơn nữa, khả năng để mở công ty bảo hiểm được quy định bởi pháp luật.
4.2.3 Ba quá trình cơ bản
Bây giờ khảo sát ba quá trình ngẫu nhiên quan cơ bản trọng trong lý thuyết rủi ro. 1) Quá trình tích lũy tiền bồi thường bảo hiểm
Nó là một quá trình ngẫu nhiên(U(t), t≥0) được định nghĩa như sau:
U(t) = N(t) X n=1 Yn (4.15) hoặc: U(t) =UN(t) (4.16) nếu Un= n X i=1 Yi, (4.17)
luôn sử dụng quy ước cổ điển tổng của vô hạn tập rỗng bằng0.
Với mỗit cố định,U(t) cho ta tổng số lượng yêu cầu bồi thường trong (0, t]. Ta đặt M(t, y) là giá trị của hàm phân phốiU(t) tại thời điểm y. Ta viết:
M(t, y) =
∞ X
n=0
P (Un ≤y, N(t) =n). (4.18)
Áp dụng hệ thức1.12trong chương1, theo giả thiết hai quá trình ngẫu nhiên(Xn, n≥ 1)và (Yn, n≥1)độc lập dẫn tới: M(t, y) = ∞ X n=0 P (Un≤y, P(N(t) =n) = ∞ X n=0 (A(n)(t)−A(n+1)(t))B(n)(y). (4.19) 2) Quá trình rủi ro
Là một quá trình ngẫu nhiên :
(U(t)−ct, t≥0) (4.20) mô tả tổng chi phí mà công ty phải trả cho đến thời điểm t, được dự phòng sao cho