4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.2.4Xác suất phá sản
Bây giờ ta xét quá trình rủi ro cơ bản trong lý thuyết rủi ro. Từ quan điểm kinh tế ngặt, tuổi thọ của một công ty bảo hiểm được định nghĩa như thời gian dừng:
T = inf{t:α(t)<0} (4.22)
Đây là một quan điểm quan trọng, ta không xét xác suất mà công ty vay nợ để giải quyết một rủi ro nhỏ. Rõ ràng, nếu biến cố {ω :T(ω)≤0} xảy ra thì công ty bị phá sản trước hoặc vào thời điểm t. Ngược lại thì công ty không bị phá sản.
Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau cho xác suất phá sản và không phá sản trong thời gian horizon vô hạn, nghĩa là trên [0,∞):
φ(u) =P(T =∞|α(0) =u) = 1−Ψ(u). (4.24) Sự hiểu biết về hàm Ψhoặc hàm tương ứngφ là cần thiết để ta có thể chọn các giá trị cho các tham số u và η sao cho đảm bảo các dịch vụ tốt cho khách hàng. Ví dụ, nếu u cố định, ta thấy rằng xác suất φ như một hàm của hệ số an toàn η:
φ(u, η). (4.25)
Nếu ta đặt điều kiện:
φ(u, η)> ε, (4.26) ví dụ với ε = 0.99999, ta có thể chọn giá trị η cực tiểu như vậy điều kiện 4.26 được thỏa mãn.
Với sự hỗ trợ của các kết quả bước ngẫu nhiên, ta có thể chứng minh rằng lý thuyết với hệ số an toàn dương là một điều kiện cần để không xảy ra phá sản trong [0,∞).
Trong giai đoạn (Tn−1, Tn], chi phí của công ty tăng hay giảm là do các khoản thực phải chi được đưa ra bởi:
Zn=Yn−cXn, n ≥1. (4.27) Dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
(Zn, n ≥1) (4.28)
tạo ra các bước ngẫu nhiên của các giá trị liên tiếp: Sn = n X k=1 Zk. (4.29) Từ hệ thức 4.21 ta có: α(Tn) =u−Sn (4.30)
với Sn là giá trị của quá trình rủi ro tại thời điểm Tn.
Bây giờ ta xét biến ngẫu nhiên M được xác định bởi hệ thức3.170 trong chương3; từ 4.24 ta suy ra:
φ(u) =P(M ≤u). (4.31)
Từ mệnh đề 3.40 trong chương 3, ta biết rằng hàm phân phối M không suy biến khi và chỉ khi bước ngẫu nhiên tiến đến −∞, hoặc:
E(Zn)<0. (4.32)
Rõ ràng, từ hệ thức 4.27 điều kiện cuối cùng này cũng tương đương với bất đẳng thức 4.13. Trường hợp
β−cα= 0 (4.33)
phải được xem xét cẩn thận.
Thực vậy, trong trường hợp này bước ngẫu nhiên được tạo ra bởi dãy ngẫu nhiên dao động 4.27, vì vậy với bất kì u >0ta có:
P(∃n∈N0 :Sn> u) = 1. (4.34) Mặt khác, kết quả này chỉ ra rằng với bất kì vốn dự trữ ban đầu, công ty sẽ bị phá sản với xác suất bằng 1. Điều này cũng có nghĩa là trò chơi công bằng tiệm cận dẫn đến sự phá sản của công ty.
4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G 115Vì vậy, bỏ qua hệ số an toàn, bước ngẫu nhiên (Sn, n ≥0)cũng sẽ tiến ra +∞ hoặc sẽ