và
σ√
T
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN lnST ∼φ [ lnS+ ( µ−σ2 2 ) T, σ√ T ] (2.19) Giá trị kỳ vọng hay giá trị trung bìnhE(ST)củaST là:
E(ST) = SeµT (2.20)
Kết quả này phù hợp với định nghĩaµlà tỉ suất lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu. Phương sai củavar(ST)được tính như sau:
var(ST) =S2e2µT(eσ2T −1)
Để làm rõ những công thức trên, ta khảo sát qua ví dụ dưới đây:
Ví dụ 2.1 Xét một cổ phiếu với giá ban đầu là 40$, tỉ suất lợi tức kỳ vọng là
16%/năm, độ bất ổn là 20%/năm. Từ công thức 2.19, ta có thể mô tả phân phối giá cổ phiếu trong 6 tháng đầu như sau:
lnST ∼φ [ ln 40 + ( 0.16− 0.22 2 ) 0.5,0.2√ 0.5 ] hay lnST ∼φ(3.759,0.141)
Có 95% khả năng một biến phân phối chuẩn nhận giá trị trong khoảng 2 mức biên độ lệch chuẩn so với giá trị trung bình. Với độ lệch chuẩn là 1.96 và 95% đảm bảo ta có:
3.759−1.96∗0.141<lnST <3.759 + 1.96∗0.141
tương đương
e3.477 <lnST < e4.041
hay
32.26< ST <56.88
Như vậy có 95% khả năng giá cổ phiếu trong 6 tháng sẽ nằm trong khoảng 32.36 và 56.88. Giá trị trung bình và phương sai củaST là :
40e0.16∗0.5 = 43.33
và
402e2∗0.16∗0.5(e0.2∗0.2∗0.5−1) = 37.93
Từ công thức 2.19 ta có thể suy ra:
lnST S ∼φ [( µ− σ2 2 ) T, σ√ T ] (2.21) VớiT = 1biểu thứclnST
S là mức lợi nhuận tính gộp liên tục của cổ phiếu trong 1 năm. Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận tính gộp liên tục trong 1 năm lần lượt làµ−σ2/2vàσ.
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Lợi nhuận kỳ vọng
Lợi nhuận kỳ vọngµmà nhà đầu tư yêu cầu từ một loại cổ phiếu phụ thuộc vào độ rủi ro của cổ phiếu đó. Rủi ro càng cao thì lợi nhuận kỳ vọng càng lớn. Ngoài ra, lợi nhuận kỳ vọng cũng phụ thuộc vào lãi suất trong nền kinh tế. Lãi suất phi rủi ro càng cao thì lợi nhuận kỳ vọng cũng sẽ càng cao. Tuy nhiên, trong phạm vị nghiên cứu quyền chọn cổ phiếu, ta không nhất thiết phải đi sâu nghiên cứu các đặc tính củaµ. Nghiên cứu cho thấy giá trị của quyền chọn cổ phiếu, khi được thể hiện qua giá trị của cổ phiếu cơ sở, không hề phụ thuộc vàoµ.
Giá trị trung bình của các tỉ suất lợi nhuận thu được trong nhiều năm không nhất thiết phải bằng với lợi nhuận bình quân năm trong giai đoạn đó, trừ khi tất cả các năm đều có tỉ suất lợi nhuận bằng nhau. Có thể thấy rất rõ điều này, qua ví dụ: Giả sử ta đầu tư 100$ trong 5 năm, tỉ suất lợi nhuận mỗi năm là 15%, 20%, 30%, -20%, 25%. Trung bình số học của các mức tỉ suất lợi nhuận này là 14% (tính bằng cách lấy tổng năm giá trị chia cho 5). Lợi nhuận tính gộp liên tục sau 5 năm sẽ là:
100∗1.145 = 192.54U SD. Tuy nhiên giá trị thực tế thu về sau 5 năm là
100∗1.15∗1.20∗1.30∗0.80∗1.25 = 179.40U SD
tương đương với1.79401/5−1 = 0.124tức là 12.4%
Rõ ràng có độ lệch nhất định giữa lợi nhuận bình quân trong giai đoạn và bình quân lợi nhuận các năm.
Độ bất ổn
Độ bất ổn của cổ phiếu,σ, là thước đo mức độ không chắc chắn về lợi nhuận sẽ thu được từ cổ phiếu. σcó giá trị nhỏ hơn 1 và thường thể hiện theo gía trị phần trăm. Từ công thức 2.21, ta có thể đưa ra định nghĩa tương đối chính xác về độ bất ổn như sau:
Độ bất ổn của giá cổ phiếu là độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được từ cổ phiếu trong vòng một năm với lợi nhuận được tính gộp liên tục.
σ√
T là số xấp xỉ gần đúng độ lệch chuẩn của biến động giá chứng khoán trong khoảng thời gianT. Như thế độ bất ổn của giá chứng khoán sẽ tăng tương ứng với căn bậc 2 của khoảng thời gian xem xét chứ không tăng tuyến tính.
Ước lượng độ bất ổn từ dữ liệu quá khứ
Độ bất ổn của giá cổ phiếu có thể ước lượng bằng cách sử dụng dữ liệu biến động giá trong quá khứ. Giá cổ phiếu thường được quan sát trong những khoảng thời gian cố định (chẳng hạn hàng ngày, hàng tuần, hoặc hàng tháng).
Đặt:
n+ 1 số quan sát
Si giá cổ phiếu ở cuối giai đoạn quan sát thứ i (i=0,1,. . . ,n)
τ độ dài của khoảng thời gian quan sát tính theo năm và đặt:
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN ui = ln ( Si Si−1 )
Độ lệch chuẩnscủa cácui được tính theo công thức:
s= √ 1 n−1 ∑n i=1(ui−u¯)2 hay s= √ 1 n−1 ∑n i=1ui2− 1 n−1 (∑ n i=1ui )2
vớiu¯là giá trị trung bình của cácui.
Từ công thức 2.21 ta có độ lệch chuẩn củauilàσ√
τ. Do đó biếnslà giá trị ước lượng củaσ√
τ. σcó thể được ước lượng theoσˆvới:
ˆ
σ = √s τ
Sai số chuẩn của phép ước lượng này có thể coi xấp xỉσˆ√
2n
Để chọn được một giá trị phù hợp chonkhông dễ. Thông thường càng nhiều dữ liệu thống kê thì kết quả tính toán càng chính xác, tuy nhiênσcó giá trị thay đổi theo thời gian. Do đó dữ liệu quá cũ có thể không thích hợp đến kết quả dự báo tương lai. Để giải quyết vấn đề này, việc tính toán ở các nước Châu Âu và Mỹ thường sử dụng giá đóng cửa hàng ngày trong vòng 90 hoặc 180 ngày gần nhất. Bên cạnh đó, việc tính toán thống kê cũng gặp phải vấn đề về việc lựa chọn tính và sử dụng tham số về độ bất ổn theo lịch thường hay theo số ngày giao dịch.
Ví dụ 2.2 Ước tính độ bất ổn
Bảng 3.1 mô tả dữ liệu giao dịch cổ phiếu trong 21 ngày liên tiếp. Trong ví dụ này:
∑
ui = 0.09531và∑
ui2 = 0.00333
ta cũng ước tính được độ lệch chuẩn của lợi nhuận ngày là:
√
0.00333
19 −0.95312
380 = 0.0123
Giả định một năm có 252 ngày giao dịch,τ = 1/252, dữ liệu cho phép ước lượng độ bất ổn bình quân năm là0.0123√
252 = 0.195. Như vậy độ bất ổn ước tính là 19.5% một năm. Sai số chuẩn được tính như sau:
0.195
√
2∗20 = 0.031
tức 3% một năm.
Những phân tích đã mô tả ở trên đều được thực hiện với giả thiết cổ phiếu được xem xét không trả cổ tức. Việc phân tích có thể điều chỉnh để tương thích trong trường hợp cổ phiếu có trả cổ tức. Lợi nhuậnuithu được trong khoảng thời gian theo dõi có ngày trả cổ tức là:
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Bảng 3.1: Tính toán độ bất ổn
Giá đóng cửa Tương quan giá Lợi nhuận ngày Ngày ($) Si/Si−1 ui = ln Si Si−1 0 20 1 201 8 2 197 8 0.98758 -0.01250 3 20 1.00629 0.00627 4 201 2 1.02500 0.02469 5 201 4 0.98781 -0.01227 6 207 8 1.03086 0.03040 7 207 8 1.00000 0.00000 8 207 8 1.00000 0.00000 9 203 4 0.99401 -0.00601 10 203 4 1.00000 0.00000 11 21 1.01205 0.01198 12 211 8 1.00595 0.00593 13 207 8 0.98817 -0.01190 14 207 8 1.00000 0.00000 15 211 4 1.01796 0.01780 16 213 8 1.00588 0.00587 17 213 8 1.00000 0.00000 18 211 4 0.99415 -0.00587 19 213 4 1.02353 0.02326 20 22 1.01149 0.01143
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN ui = lnSi+D
Si−1
trong đóDlà lượng cổ tức thanh toán. Lợi nhuận thu được trong những khoảng thời gian theo dõi khác sẽ vẫn là
ui = ln Si
Si−1
Thuế là một yếu tố quan trọng cần xem xét trong xác định lợi nhuận thu được từ cổ phiếu xung quanh ngày giao dịch không hưởng cổ tức. Do vậy, sẽ tốt hơn nếu ta loại riêng ra dữ liệu trong những khoảng quan sát có ngày giao dịch không hưởng cổ tức.
Giả định cơ bản của mô hình Black-Scholes
Black và Scholes khi xây dựng mô hình định giá quyền chọn đã đưa ra những giả định sau:
1. Giá cổ phiếu sẽ biến động theo đồ thị lô-ga chuẩn với các hằng sốµvàσnhư đã trình bày ở phần trên;
2. Mọi giao dịch sẽ bỏ qua chi phí và thuế. Giá của tất cả các chứng khoán đều có thể được chia nhỏ vô hạn;
3. Cổ phiếu sẽ không trả cổ tức trong thời gian quyền chọn có hiệu lực;
4. Không tồn tại cơ hội kinh doanh chênh lệch giá phi rủi ro;
5. Hoạt động giao dịch chứng khoán diễn ra liên tục;
6. Nhà đầu tư có thể vay hoặc cho vay tại cùng một mức lãi suất phi rủi ro;
7. Lãi suất phi rủi ro trong ngắn hạn,r, là hằng số.
Trên cơ sở mô hình của Black và Scholes, nhiều nhà nghiên cứu đã phân tích và giảm nhẹ dần ràng buộc của một số giả định. Chẳng hạn, một mô hình biến đổi từ mô hình Black-Scholes đã cho phép tính vớirvàσlà các hàm phụ thuộc vào thời gian, một mô hình biến đổi khác cũng đã cho phép tính cả trong trường hợp cổ phiếu có trả cổ tức trong gian đoạn quyền chọn còn hiệu lực (mô hình này sẽ được nghiên cứu ở phần tiếp theo).
Phân tích Black-Scholes/Merton
Phân tích Black-Scholes/Merton tương tự với phân tích trong trường hợp không có kinh doanh chênh lệch giá để định giá quyền chọn khi giá cổ phiếu biến đổi theo mô hình cây nhị phân. Người ta xây dựng một danh mục đầu tư phi rủi ro bao gồm có một quyền chọn (với vị thế nhất định) và một cổ phiếu cơ sở. Khi không tồn tại cơ hội kinh doanh chênh lệch giá, lợi nhuận thu được từ danh mục đầu tư này sẽ tương đương với lãi suất phi rủi ror. Khi đó quyền chọn phải đáp ứng một phương trình vi phân điều kiện.
Cơ sở để lập một danh mục đầu tư phi rủi ro là nguồn gốc chung về “tính bất ổn” ảnh hưởng đến giá cổ phiếu và giá quyền chọn - đó là biến động giá cổ phiếu. Trong
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
khoảng thời gian rất ngắn, giá của một quyền chọn mua có tương quan dương hoàn hảo (tuyệt đối) với biến động của giá cổ phiếu cơ sở; giá của quyền chọn bán sẽ có tương quan âm hoàn hảo (tuyệt đối). Trong cả hai trường hợp, khi có thể xây dựng được một danh mục đầu tư hợp lý bao gồm quyền chọn và cổ phiếu cơ sở của quyền chọn đó, lãi hay lỗ từ cổ phiếu sẽ bù đắp lãi hay lỗ từ quyền chọn, do đó giá trị của danh mục đầu tư vào cuối giai đoạn sẽ có thể được dự báo trước một cách chắc chắn. Giả sử tại một thời điểm bất kỳ mối tương quan giữa mức điều chỉnhδSrất nhỏ của giá cổ phiếu và mức điều chỉnh cộng gộpδcrất nhỏ trong giá một quyền chọn mua Châu Âu được xác định theo công thức:
δc= 0.4δS
Điều này có nghĩa là độ dốc của đường thẳng thể hiện mối tương quan giữacvàSlà 0.4 (xem hình 3.11). Danh mục đầu tư phi rủi ro sẽ bao gồm:
1. 0.4 cổ phiếu ở thế trường vị;
2. Một quyền chọn mua ở thế đoản vị (bán quyền chọn mua) .
Hình 3.11: Tương quan giữacvàS
Điểm khác biệt cơ bản giữa phân tích Black-Scholes/Merton với phân tích theo mô hình cây nhị phân là tính phi rủi ro của vị thế được xác lập chỉ đúng trong khoảng thời gian rất ngắn. (Trên lý thuyết, tính phi rủi ro chỉ xuất hiện trong 1 khoảng thời gian mang tính thời điểm.) Để duy trì tính phi rủi ro cần liên tục điều chỉnh vàtái cân bằng
danh mục đầu tư. Chẳng hạn mối tương quan giữacvàScó thể thay đổi từδc= 0.4δS
thànhδc= 0.5δS trong 2 tuần nữa. Như thế sẽ cần phải có 0.5 cổ phiếu để bán mỗi quyền chọn bán. Tuy nhiên lợi nhuận thu được từ danh mục đầu tư phi rủi ro ở mỗi thời điểm đó sẽ vẫn bằng với lãi suất phi rủi ro. Đây là cơ sở cho lập luận
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Mô hình định giá
Công thức tính giá quyền chọn mua và bán kiểu Châu Âu của Black-Scholes áp dụng với những cổ phiếu không trả cổ tức như sau:
c=SN(d1)−Xe−rTN(d2) (2.22) p=Xe−rTN(−d2)−SN(−d1) trong đó: d1 = ln(S/X)+(r+σ2/2)T σ√ T d2 = ln(S/X)+(r−σ2/2)T σ√ T =d1−σ√ T
Hàm N(x) là hàm xác suất tích lũy cho một biến phân phối chuẩn hóa. Nói cách khác nó thể hiện xác suất một biến phân phối chuẩnφ(0,1)có giá trị nhỏ hơnx(hình 3.12). Các biến khác trong công thức 2.22 và 2.23 là: cvàpgiá quyền chọn bán và quyền chọn mua kiểu Châu Âu,Slà giá cổ phiếu,Xlà giá thực hiện,rlà lãi suất phi rủi ro,T
là thời gian còn lại cho đến thời điểm thực thi quyền vàσlà độ bất ổn của giá cổ phiếu. Do giá quyền chọn mua kiểu MỹC bằng giá quyền chọn mua kiểu Châu Âucđối với cổ phiếu không trả cổ tức nên công thức 2.22 cũng được dùng để tính giá của một quyền chọn kiểu Mỹ.
Hình 3.12: Khoảng màu xám thể hiệnN(x)
Trên lý thuyết, các công thức Black-Scholes chỉ đúng nếu lãi suất trong ngắn hạnrlà một hằng số. Trên thực tế công thức này thường dùng lãi suấtrbằng với lãi suất phi rủi ro từ hoạt động đầu tư thực hiện trong khoảng thời gianT.
Đặc điểm của các công thức Black-Scholes
Ta xem xét đặc tính của các công thức Black-Scholes bằng cách xem xét khi cho các biến trong công thức đến cực trị.
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Khi giá cổ phiếuSlên rất cao, khả năng quyền chọn mua được thực hiện sẽ hầu như chắc chắn. Quyền chọn khi đó sẽ giống với một hợp đồng kỳ hạn với giá giao làX. Từ công thức định giá hợp đồng kỳ hạn:
f =S−Ke−rT(6)
Khi đó giá của hợp đồng quyền chọn mua sẽ là:
S−Xe−rT
Đây chính là giá quyền chọn mua có được từ phương trình 2.22: khiSđạt giá trị rất lớn thì cảd1 vàd2 đều sẽ có giá trị rất lớn, khi đóN(d1)vàN(d2)sẽ có giá trị gần đến 1. Khi giá cổ phiếuStăng lên rất cao, giá của một quyền chọn bán kiểu Châu Âupsẽ tiệm cận dần đến 0. Diễn giải này phù hợp với phương trình 2.23 vìN(−d1)vàN(−d2)
cùng tiệm cận dần về 0.
Khi giá cổ phiếu hạ xuống rất thấp, cảd1vàd2sẽ rất lớn và âm. N(d1)vàN(d2)khi đó sẽ cùng tiệm cận về 0 và giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu cho bởi phương trình 2.22 sẽ tiệm cận dần về 0. Đồng thờiN(−d1)vàN(−d2)có giá trị dần đến 1, do đó giá của quyền chọn bán tính qua phương trình 2.23 sẽ có giá trị gần đếnXe−rT −S.
Hàm phân phối chuẩn tích lũy
Trong phương trình 2.22 và 2.23, việc tính toán với hàm phân phối chuẩn tích lũyN là công đoạn phức tạp nhất. Bảng giá trị củaN có trong phần phụ lục của báo cáo. Hàm này cũng có thể được tính bằng phép tính xấp xỉ đa thức. Giá trị xấp xỉ có thể tính qua máy tính theo công thức:
N(x) = 1−(a1k+a1k2+a1k3)N0(x) với: x≥0 N(x) = 1−N(−x) với: x <0 trong đó k = 1+1αx α= 0.33267 α1 = 0.4361836 α2 =−0.1201676 α3 = 0.9372980 và N0(x) = √1 2πe−x2/2
Công thức này cho phép ta tính giá trị củaN(x)chính xác đến 0.0002.