3 Định giá quyền chọn
2.1 Định giá quyền chọn cây nhị phân
Một kỹ thuật định giá chứng khoán hay các công cụ phái sinh rất hữu hiệu và phổ biến làcây nhị phân.
Mô hình quyền chọn cây nhị phân một bước
Giả sử giá cổ phiếu hiện tại là $20 và sau 3 tháng có thể là $22 và $18. Giả thiết rằng cổ phiếu không trả cổ tức và định giá một quyền chọn châu Âu mua cổ phiếu này với giá $21 với thời gian đáo hạn là 3 tháng. Quyền chọn này sẽ có một trong hai giá trị sau 3 tháng nữa. Nếu giá cổ phiếu tăng lên $22 thì giá của quyền chọn sẽ là $1; ngược lại nếu giá cổ phiếu giảm xuống $18 thì giá của quyền chọn bằng không. Điều này được minh họa trong hình 3.1.
Hình 3.1: Minh hoạ bằng số thay đổi giá cổ phiếu
Luận cứ để định giá quyền chọn này không phức tạp, giả định rằng nhà đầu tư không có cơ hội kinh doanh dựa vào chênh lệch giá. Chúng ta lập một danh mục đầu tư của cổ phiếu và quyền chọn sao cho giá danh mục đầu tư sau 3 tháng nữa được xác định cụ thể. Vì danh mục đầu tư không có rủi ro, cho nên lợi nhuận thu được phải bằng tỉ lệ lãi suất phi rủi ro. Điều này giúp giảm chi phí lập danh mục đầu tư và do đó giảm được giá của quyền chọn. Vì chỉ có hai loại chứng khoán (là cổ phiếu và quyền chọn) và chỉ có hai hệ quả, nên có thể đưa ra một danh mục đầu tư phi rủi ro.
Hãy xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị trong∆cổ phiếu và một thế đoản vị trong một quyền chọn mua. Tính được giá của∆để cho danh mục đầu tư này là phi rủi ro. Nếu giá cổ phiếu tăng từ 20 đến 22, thì giá toàn bộ cổ phiếu là 22∆
và giá của quyền chọn là 1, do vậy tổng giá trị của danh mục đầu tư là22∆−1. Nếu giá của cổ phiếu giảm từ 20 xuống 18 thì giá của toàn bộ cổ phiếu là 18∆và giá của quyền chọn là 0, do đó tổng giá trị của danh mục đầu tư là 18∆. Danh mục đầu tư là phi rủi ro nếu giá trị của∆được chọn sao cho tổng giá trị của danh mục đầu tư không đổi bất kể giá cổ phiếu thay đổi thế nào, có nghĩa là:
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
22∆−1 = 18∆
hay:
∆ = 0.25
Do đó, một danh mục đầu tư phi rủi ro là:
Thế trường vị: 0.25 cổ phiếu
Thế đoản vị: 1 quyền chọn
Nếu giá cổ phiếu lên tới 22, giá trị của danh mục đầu tư là:
22×0.25−1 = 4.5
Nếu giá cổ phiếu giảm xuống 18, giá trị của danh mục đầu tư là:
18×0.25 = 4.5
Như vậy là dù giá cổ phiếu tăng hay giảm, giá trị của danh mục đầu tư luôn là 4.5 vào thời điểm đáo hạn.
Trong trường hợp không có cơ hội kinh doanh dựa vào chênh lệch tỷ giá thì danh mục đầu tư phi rủi ro phải có lãi suất phi rủi ro. Giả thiết trong trường hợp này lãi suất phi rủi ro là 12% một năm. Có nghĩa là giá trị hiện tại của danh mục đầu tư tương ứng với giá trị 4.5 sau 3 tháng là:
4.5e−0.12×0.25= 4.367
Giá trị của cổ phiếu tại thời điểm hiện tại là 20. Giả sử giá cổ phiếu được thể hiện bằng f. Do đó, giá trị của danh mục đầu tư hiện tại là:
20×0.25−f = 5−f
suy ra:
f = 0.633
Điều này chứng tỏ rằng nếu không có cơ hội kinh doanh dựa trên chênh lệch về tỷ giá thì giá trị hiện tại của quyền chọn phải là $0.633. Nếu giá trị của quyền chọn lớn hơn $0.633, chi phí lập danh mục đầu tư nhỏ hơn $4.367 và sẽ có lãi cao hơn lãi suất phi rủi ro. Nếu giá trị của quyền chọn nhỏ hơn $0.633, bán khống danh mục đầu tư là cách để vay một khoản tiền với lãi suất thấp hơn lãi suất phi rủi ro.
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Tổng quát hóa Có thể tổng quát hóa quan điểm trên bằng cách xem xét một cổ phiếu không trả cổ tức, giá cổ phiếu là S và một công cụ phái sinh với cổ phiếu có giá hiện thời là f . Thời điểm hiện tại là mốc thời gian. Giả thiết rằng công cụ phái sinh cho lợi nhuận vào thời điểm T , và rằng trong thời gian tồn tại công cụ phái sinh, giá cổ phiếu có thể tăng từ S lên Su hoặc giảm từ S xuống Sd(u > 1;d <1). Giá cổ phiếu tăng tỉ lệ thuận khi xu hướng đi lên là u - 1; giá giảm tỉ lệ thuận khi đi xuống là 1 - d . Nếu giá cổ phiếu tăng lên Su , giả thiết rằng lợi nhuận thu được từ công cụ phái sinh làfu; nếu giá cổ phiếu giảm xuống Sd , giả thiết rằng lợi nhuận thu được từ công cụ phái sinh làfd. Tình huống này được mô tả trong hình 3.2.
Hình 3.2: Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân một bước
Vẫn như trên, xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị với∆cổ phiếu và một thế đoản vị với một công cụ phái sinh. Tính toán giá trị của∆sao cho danh mục đầu tư là phi rủi ro. Nếu giá cổ phiếu tăng thì giá trị của danh mục đầu tư vào thời điểm đáo hạn của công cụ phái sinh là:
Su∆−fu
Nếu giá cổ phiếu giảm thì giá trị này trở thành:
Sd∆−fd
Đặt hai đại lượng này bằng nhau:
Su∆−fu =Sd∆−fd
hay:
∆ = fu−fd
Su−Sd (2.10)
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Trong trường hợp này danh mục đầu tư là phi rủi ro và phải có lãi suất phi rủi ro. Công thức 2.10 cho thấy ∆là tỉ lệ thay đổi trong giá công cụ phái sinh so với giá của chứng khoán khi thay đổi từ nút này sang nút kia tại thời điểm T.
Đặt r biểu diễn tỉ lệ lãi suất phi rủi ro, giá trị hiện tại của danh mục đầu tư là:
(Su∆−fu)e−rT
Giá trị để lập danh mục đầu tư là:
S∆−f
Kết quả là:
(Su∆−fu)e−rT =S∆−f
Thay∆từ phương trình 2.10 và đơn giản hóa, còn lại
f =e−rT[pfu+ (1−p)fd] (2.11)
Trong đó
p= e
rT −d
u−d (2.12)
Công thức 2.11 và 2.12 giúp định giá một công cụ phái sinh sử dụng mô hình cây nhị phân một bước.
Xét lại ví dụ với số cụ thể đã xem xét ở trên, với u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, fu = 0. Từ công thức 2.12:
p= e10..031−−00.9.9 = 0.6523
và từ công thức 2.11
f =e−0.03[0.6523×1 + 0.3477×0] = 0.633
Kết quả này cũng trùng với kết quả đã tính ở phần trước.
Sự không thích hợp trong cách tính lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu Công thức định giá công cụ phái sinh 2.11 không tính đến khả năng giá cổ phiếu tăng hay giảm. Ví dụ, theo công thức này thì khi xác suất giá cổ phiếu tăng là 0.5 hay 0.9 sẽ vẫn tính ra cùng một giá quyền chọn châu Âu. Điều này thật không hợp lý. Giả định rằng khi giá cổ phiếu tăng thì đương nhiên giá trị của quyền chọn mua cổ phiếu đó tăng và giá trị quyền chọn bán giảm.
Lý do chủ yếu là chúng ta đã không định giá quyền chọn theo định nghĩa tuyệt đối. Chúng ta tính toán giá trị của nó dựa trên giá của chứng khoán cơ sở. Khả năng giá tăng hay giảm đã được xem xét dựa trên giá cổ phiếu. Điều đó có nghĩa là chúng ta không cần xem xét đến thay đổi giá của quyền chọn khi đã định giá quyền chọn dựa trên giá cổ phiếu.
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Định giá trung lập rủi ro
(1) Mặc dù không cần phải giả định về xác suất tăng hay giảm giá để rút ra được công thức 2.11 song cũng có thể coi biến p trong công thức 2.11 là xác suất giá cổ phiếu tăng. Do đó biến 1 - p là xác suất giá cổ phiếu giảm và công thức
pfu+ (1−p)fd
là lợi nhuận kỳ vọng từ công cụ phái sinh. Theo cách hiểu biến p như vậy, công thức 2.11 cho thấy giá trị của công cụ phái sinh ở thời điểm hiện tại chính là giá trị kỳ vọng tương lai khấu trừ lãi phi rủi ro.
Chúng ta lại xem xét số tiền thu vào kỳ vọng từ cổ phiếu khi xác suất giá cổ phiếu tăng là p. Giá cổ phiếu kỳ vọng tại thời điểm T,E(ST)được tính bằng:
E(ST) =pSu+ (1−p)Sd
hoặc
E(ST) = pS(u−d) +Sd
Thay p từ công thức 2.12 vào sẽ được
E(ST) = SerT (2.13)
cho thấy giá cổ phiếu tăng trung bình tại lãi suất phi rủi ro. Như vậy giả định xác suất giá cổ phiếu tăng bằng p tương đương với giả định lãi suất của cổ phiếu bằng lãi suất phi rủi ro.
Chúng ta sẽ xem xét một môi trường mà mọi người đều không bị các rủi ro ảnh hưởng đến, gọi tên làmôi trường trung lập các rủi ro(2). Trong môi trường đó các nhà đầu tư không phải bồi thường rủi ro, và lãi suất kỳ vọng của tất cả mọi chứng khoán đều là lãi suất phi rủi ro. Công thức 2.13 cho thấy giả thiết giá cổ phiếu tăng với xác suất là p. Công thức 2.11 cho thấy giá trị của công cụ phái sinh là lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường trung lập các rủi ro khấu trừ lãi phi rủi ro.
Kết quả này là một ví dụ minh hoạ cho một nguyên tắc chung của định giá quyền chọn, gọi là nguyên tắcđịnh giá trung lập rủi ro.
Xem xét lại ví dụ về cây nhị phân một bước Để minh họa rõ hơn nguyên tắc định giá trung lập rủi ro, hãy xem xét lại ví dụ được mô tả trong hình 3.1. Giá của cổ phiếu hiện tại là $20 và sẽ có thể tăng lên $22 hoặc giảm xuống $18 sau thời hạn 3 tháng. Công cụ phái sinh được xem xét ở đây là quyền chọn mua châu Âu với giá thực hiện là $21 và thời gian đáo hạn là 3 tháng. Lãi suất phi rủi ro là 12%/năm.
(1)Risk-Neutral Valuation
(2)risk-neutral world
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Chúng ta biểu diễn xác suất giá cổ phiếu tăng trong môi trường trung lập rủi ro là p. Trong môi trường này tỉ suất lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu phải bằng lãi suất phi rủi ro, 12%. Điều này có nghĩa là p thỏa mãn
22p+ 18(1−p) = 20e0.12×0.25
hoặc
4p= 20e0.12×0.25−18
Khi đó, p phải bằng 0.6523.
Sau 3 tháng, xác suất để quyền chọn mua tăng giá lên 1 là 0.6523 và xác suất để giảm giá xuống 0 là 0.3477. Giá trị kỳ vọng của quyền chọn mua này là
0.6523×1 + 0.3477×0 = $0.6523
Khấu trừ với lãi suất phi rủi ro thì giá trị của quyền chọn hiện tại là
0.6523e−0.12×0.25
hay bằng $0.633. Giá trị này bằng giá trị đã tính ra lúc trước, biểu thị rằng giả thiết không kinh doanh dựa trên chênh lệch về tỷ giá và định giá trung lập rủi ro có cùng một kết quả.
Cây nhị phân hai bước
Chúng ta có thể mở rộng phân tích cho mô hình cây nhị phân hai bước như trong hình 3.3. Ở đây giá cổ phiếu hiện tại là $20 và tại mỗi bước giá có thể tăng hay giảm 10%. Giả sử rằng độ dài của một bước là 3 tháng và lãi suất phi rủi ro là 12%/năm. Cũng như trên, xem xét một quyền chọn mua với giá thực hiện là $21.
Mục tiêu của phân tích này là tính toán giá quyền chọn tại nút đầu của cây. Điều này có thể được thực hiện bằng cách áp dụng liên tiếp các nguyên tắc đã được thiết lập ở phía trên. Hình 3.4 mô tả hình cây giống hình 3.3, với giá cổ phiếu phía trên và giá quyền chọn phía dưới mỗi nút. Dễ tính được giá quyền chọn tại nút cuối cùng của cây. Nó chính bằng lợi nhuận có được từ quyền chọn. Ở nút D giá cổ phiếu là 24.2 và giá quyền chọn là 24.2 - 21 = 3.2; tại nút E và F, quyền chọn làout of the moneyvà giá trị của quyền chọn này bằng 0.
Tại nút C giá của quyền chọn bằng 0, vì nút C dẫn tới nút E hoặc nút F, và giá quyền chọn tại hai nút này đều bằng 0. Tính toán giá quyền chọn tại nút B bằng cách chú ý đến nhánh này của cây trong hình 3.5. Sử dụng những giả thiết ở trên, với u = 1.1, d = 0.9, r = 0.12, T = 0.25, và p = 0.6523, thay vào công thức 2.11 được giá trị của quyền chọn tại nút B.e−0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) = 2.0257
Để tính toán giá quyền chọn tại nút A ban đầu, tập trung vào bước đầu tiên của cây. Giá trị của quyền chọn tại nút B là 2.0257 và tại nút C là 0. Do đó, công thức 3.2 tính được giá trị của nút A là
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Hình 3.3: Giá cổ phiếu trong cây nhị phân hai bước
Hình 3.4: Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân hai bước
(3)
CHƯƠNG 3. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN e−0.12×0.25(0.6523×2.0257 + 0.3477×0) = 1.2823
Giá của quyền chọn là $1.2823.
Lưu ý rằng ví dụ này được xây dựng với u và d (tỉ lệ tăng và giảm giá) là như nhau tại mỗi nút của cây và với khoảng thời gian từ nút này tới nút kia là như nhau. Giả thiết này dẫn đến xác suất trung lập rủi ro p, được tính bằng công thức 2.12, là như nhau cho toàn bộ các nút.
Tổng quát hóa Tổng quát hóa trường hợp hai bước bằng cách xem xét tình huống trong hình 3.6. Giá cổ phiếu lúc đầu là S. Sau mỗi khoảng thời gian, giá có thể tăng u lần hoặc giảm d lần giá gốc. Giá của công cụ phái sinh được ghi chú trên cây. Giả sử rằng lãi suất phi lợi nhuận là r và khoảng thời gian từ nút này tới nút kia là∆tnăm.
Ứng dụng công thức 2.11
fu =e−r∆t[pfuu+ (1−p)fud] (2.14)
fd =e−r∆t[pfud+ (1−p)fdd] (2.15)
f =e−r∆t[pfu+ (1−p)fd] (2.16)
Thay công thức 2.14 và 2.15 vào 2.16
f =e−2r∆t[p2fuu+ 2p(1−p)fud+ (1−p)2fud] (2.17) Điều này phù hợp với nguyên lý định giá trung lập rủi ro đã được đề cập trên đây. Các biếnp2,2p(1−p), v(1−p)2 là xác suất đạt tới các nút cao, trung bình và thấp. Giá của công cụ phái sinh bằng với giá lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường không bị rủi ro tác động đến.
2. ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN
Nếu tổng quát hóa việc sử dụng cây nhị phân bằng cách thêm các bước thì nguyên tắc định giá trung lập rủi ro vẫn áp dụng được. Giá của công cụ phái sinh luôn bằng với giá lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường không bị rủi ro tác động đến, trừ đi lãi phi rủi ro.
Ví dụ với quyền chọn bán
Nguyên lý trên có thể áp dụng để định giá cho bất kỳ công cụ phái sinh nào phụ thuộc vào cổ phiếu có giá thay đổi theo kiểu nhị phân. Hãy xem xét trường hợp một quyền chọn bán châu Âu với thời hạn 2 năm, giá thực hiện là 52, chứng khoán cơ sở có giá hiện thời là 50. Giả thiết rằng có hai thời kỳ trong một năm và mỗi thời kỳ giá cổ phiếu có thể tăng với tỉ lệ 20% hoặc giảm với tỉ lệ 20%, lãi suất phi rủi ro là 5%.
Sơ đồ hình cây được biểu diễn trong hình 3.7. Giá trị của xác suất trung lập rủi ro p được tính bằng
p= e0.105.2×−10−.80.8 = 0.6282
Giá cổ phiếu cuối cùng có thể đạt tới là 72, 48 và 32. Trong trường hợp
fuu= 0, fud= 4, fdd= 20, v∆t= 1. Sử dụng công thức 2.17 tính được
f =e−2×0.05×1(0.62822×0 + 2×0.6282×0.3718×4 + 0.37182×20) = 4.1923
Giá trị của quyền chọn bán là $4.1923. Cũng có thể tính được kết quả này bằng cách sử dụng công thức 2.11 và lần ngược lại cây theo mỗi thời kỳ. Hình 3.7 biểu diễn giá