V. Phương pháp nghiên cứu
2.2.Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài tốn hình học
2. Áp dụng phương án tìm kiếm quy luật trong giải tốn
2.2.Sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật để giải bài tốn hình học
Cĩ nhiều bài tốn nếu chúng ta làm bằng phương pháp “thơ” thì chúng ta sẽ mất rất nhiều thời gian, cơng sức và cĩ thể khơng tiến tới kết quả đúng. Nhưng nếu giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật thì rất ngắn gọn và dễ hiểu. Chúng ta hãy xét các bài tốn được giải bằng phương án tìm kiếm một quy luật sau đây, chúng ta sẽ thấy được điều đĩ.
Bài tốn 2.2.1:
Xác định tổng của số đo các gĩc trong của một đa giác 20 cạnh.
Lời giải:
Con đường hiệu quả để giải bài tốn này là kiểm tra khi tăng số cạnh của đa giác và tính tổng các gĩc tương ứng. Chúng cĩ tạo ra một quy luật nào khơng? Cĩ dễ dàng nhận ra khơng? Chúng ta cĩ thể tổng quát hố nĩ khơng? Chúng ta cĩ thể mở rộng nĩ khơng? Hãy bắt đầu với một tam giác (tổng các gĩc trong là 1800) và sau đĩ xét từng đa giác cĩ các cạnh tăng liên tiếp là tứ giác, ngũ giác, lục giác và tiếp tục như vậy. Chúng ta cĩ thể phân các đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường thẳng nối từ một đỉnh tới các đỉnh cịn lại của đa giác (Hình vẽ
2.2.1). Khi làm điều này, chúng ta chú ý là mỗi đa giác tiếp sau chứa hơn một tam giác so với đa giác liền trước nĩ.
Hình vẽ 2.2.1
Điều này cho ta một quy luật mà cĩ thể giúp ta đưa ra lời giải của bài tốn. Tổng các gĩc này được biểu thị trong bảng dưới đây:
Số cạnh 3 4 5 6 7 8 9 … 20
Số tam giác 1 2 3 4 5 6 7 … 18
Tổng số đo các gĩc
180 360 540 720 900 1080 1260 … 3240
Kiểm tra với 7 đa giác đầu tiên (mặc dù thật sự chúng ta khơng cần kiểm tra nhiều như thế) cho chúng ta thấy một quy luật: khi số cạnh tăng lên 1 thì số tam giác tăng lên 1 và do đĩ tổng các gĩc trong của đa giác tăng lên 1800. Do đĩ, cho đa giác 9 cạnh, số tam giác được tạo thành cĩ thể sẽ là 7 và tổng các gĩc sẽ là 7
× 1800 = 12600. Sử dụng quy luật này chúng ta cĩ thể làm theo cách này cho tới đa giác 20 cạnh. Chúng ta tìm cách dùng quy luật số gia của 1800. Tổng số đo các gĩc trong của một đa giác bằng 180 nhân với một số mà nhỏ hơn số cạnh của đa giác là 2. Do đĩ, với đa giác 20 cạnh, tổng số đo các gĩc trong của đa giác 20 cạnh bằng 18 × 1800 = 32400.
Kết quả này khơng hiển nhiên từ giai đoạn đầu mà tìm kiếm quy luật là cần thiết và hữu ích, chúng ta phải dùng phương pháp này để tìm ra kết quả của bài tốn này. Với các bài tốn đơn giản, chúng ta tìm một quy luật như thế và sau đĩ sử dụng nĩ để tìm ra câu trả lời cho bài tốn, khi đĩ chứng minh kết quả tìm được rất đơn giản.
Bài tốn 2.2.2: Cĩ bao nhiêu cặp gĩc đối đỉnh được tạo ra bởi 10 đường thẳng phân biệt và đồng quy tại một điểm?
Lời giải:
Học sinh thường cố gắng vẽ một hình rộng, chính xác, chỉ ra 10 đường thẳng đồng quy. Sau đĩ, các em cố gắng đếm xem cĩ bao nhiêu cặp gĩc đối đỉnh. Cách này khơng khĩ hiểu, tuy nhiên, các em cĩ thể dễ dàng làm mất nhiều cặp gĩc đối đỉnh khi kiểm tra. Thay vào đĩ, chúng ta cĩ thể tìm cách sử dụng phương án tìm kiếm quy luật để giải bài tốn này.
Hãy bắt đầu với một trường hợp đơn giản, từ từ mở rộng số các đường thẳng và xem xét nếu một quy luật xuất hiện.
Nếu chúng ta bắt đầu với một đường thẳng, chúng ta cĩ 0 cặp gĩc đối đỉnh. Với 2 đường thẳng tạo ra 2 cặp gĩc đối đỉnh: 1 – 3 và 2 – 4.
1 2 4 3 A B C D
Với 3 đường thẳng tạo ra 6 cặp gĩc đối đỉnh:
1 - 4; 2 – 5; 3 – 6; 1, 2 – 4, 5; 2, 3 – 5, 6; 1, 6 – 3, 4 . 12 5 6 4 3 A B C E F
1 – 5; 2 – 6; 3 – 7; 4 – 8; 1, 2 – 5, 6; 2, 3 – 6, 7; 3, 4 – 7, 8; 4, 5 – 8, 1; 1, 2, 3 – 5, 6, 7; 2, 3, 4 – 6, 7, 8; 3, 4, 5 – 7, 8, 1; 4, 5, 6 – 8, 1, 2. 1 5 2 8 7 6 4 3 A B C D E F G H
Cĩ thể tĩm tắt kết quả thu được trong bảng sau:
Số các đường 1 2 3 4 5
Số cặp gĩc đối đỉnh 0 2 6 12 20
Chúng ta cố gắng để tìm quy luật với bảng trên, mỗi số tự nhiên ở hàng trên cho tương ứng với các số ở hàng dưới. Từ bảng trên ta nhận thấy một quy luật: tích của hai số liên tục ở hàng trên bằng số thứ hai tương ứng ở hàng dưới, thật vậy,
2 2
1× = ; 2×3=6; 3×4=12; 4×5=20; … Mở rộng quy luật trên cho cho bảng số với các số tự nhiên bất kỳ. Ta đưa ra giả thuyết thích hợp với quy luật vừa tìm được là số gĩc đối đỉnh của n đường thẳng phân biệt và đồng quy tại một điểm là n(n – 1).
Do đĩ, cho 10 đường thẳng cắt nhau, sẽ cĩ 10 × 9 = 90 cặp gĩc đối đỉnh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chú ý rằng chúng ta cũng cĩ thể xét bài tốn này theo một cách nhìn khác. Mỗi cặp đường thẳng tạo ra hai cặp gĩc đối đỉnh. Do đĩ, chúng ta trả lời xem cĩ bao nhiêu cách chọn 2 đường thẳng từ 10 đường thẳng cho trước? Tất nhiên câu trả lời là 10
2
c = 45. Như vậy, chúng ta cĩ 45 × 2 = 90 cặp gĩc đối đỉnh.
Bài tốn 2.2.3:
Cĩ bao nhiêu gĩc được tạo bởi 10 tia phân biệt với điểm gốc chung.
Theo truyền thống, ban đầu học sinh vẽ một hình rộng bao gồm 10 tia phân biệt từ một điểm gốc duy nhất. Các em dùng cách này để đếm số gĩc. Tuy nhiên, việc làm này học sinh sẽ sớm gặp khĩ khăn vì cĩ thể sẽ đếm sĩt, đếm hơn một lần một gĩc nào đĩ.
Học sinh cũng cĩ thể dùng tốn học tổ hợp để giải, ta thấy cứ với mỗi cặp tia cho một gĩc mà cĩ 10 2 c cách chọn 2 tia từ 10 tia, do đĩ cĩ 10 2 10 9 1 2 c = × × = 45 gĩc.
Chúng ta cũng cĩ thể lý luận rằng với mỗi tia khi cộng thêm vào sẽ tạo ra với mỗi tia đã cĩ một gĩc và do đĩ ta thiết lập được một dãy số. Hãy bắt đầu với một tia và ta sẽ tìm quy luật bằng cách tăng dần số các tia.
A B A C B A C B D A C B D E F A C B D E F A C G B D E Các số liệu thu được được tĩm tắt vào bảng sau:
Hãy nhìn ra quy luật nằm trong dãy sau:
0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; …
Đây là một dãy số mà các sai khác giữa hai số liên tiếp trong dãy theo thứ tự tạo ra một cấp số cộng đơn giản: 1; 2; 3; 4; 5; 6; …. Vậy một cách đơn giản ta tiếp tục dãy số này tới 10 số hạng:
0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; 36; 45.
Chúng ta cũng cĩ thể nhận thấy cơng thức tính số hạng tổng quát của số hạng thứ
n trong dãy số này là ( 1) 2
n n−
. Vậy số gĩc tạo bởi 10 tia phân biệt, xuất phát từ một điểm gốc là 45.
Bài tốn 2.2.4:
Sáu “số hạng” đầu tiên của một dãy được chỉ ra trong hình vẽ. Nếu dãy tiếp tục như thế thì cĩ bao nhiêu hình vuơng sẽ cĩ ở trong số hạng thứ 10 và cĩ bao nhiêu hình vuơng trong chúng được bơi đen.
Lời giải: Tất nhiên, chúng ta cĩ thể tiếp tục vẽ các hình tiếp theo bằng cách thêm các hàng trên cùng và dưới cùng như chúng ta làm cho tới khi chúng ta vẽ đến hình thứ 10 trong dãy. Sau đĩ, đơn giản, chúng ta cĩ thể đếm cĩ tất cả bao nhiêu hình vuơng và bao nhiêu hình vuơng trong chúng được bơi đen. Tuy nhiên, nếu chúng ta sắp xếp các dữ liệu thu được, sau đĩ hãy cố gắng nhìn ra một quy luật tồn tại trong đĩ mà cĩ thể giúp chúng ta giải bài tốn này.
Tổng kết dữ liệu chúng ta cĩ như sau:
Thứ tự số hạng của dãy 1 2 3 4 5 6
Tổng số ơ vuơng 1 5 11 19 29 41
Tổng số ơ vuơng được bơi đen 1 3 7 11 17 23
Trước tiên, hãy nhìn vào dịng tổng số ơ vuơng, ở đây xuất hiện một quy luật: sai khác giữa các số hạng là 4; 6; 8; 10; … Bây giờ hãy nhìn vào dịng tổng số ơ vuơng được bơi đen, các sai khác giữa các số hạng trong dịng này tạo ra một quy luật khác: 2; 4; 4; 6; 6; …
Bây giờ chúng ta cĩ thể hồn thành bảng trên tới 10 số hạng:
Thứ tự số hạng của dãy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tổng số vuơng 1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
Tổng số ơ vuơng được bơi đen 1 3 7 11 17 23 31 39 49 59
Sai khác 2 4 4 6 6 8 8 10 10 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy, cĩ 109 hình vuơng trong hình vẽ thứ 10 và 59 hình vuơng trong chúng được bơi đen.
Chúng ta cĩ thể kiểm chứng kết quả bằng cách vẽ hình vẽ thứ bảy và ta thấy quy luật mà chúng ta tìm ra đúng với trường hợp này. Thật vậy, chúng ta cĩ 55 hình vuơng và 31 hình vuơng trong chúng được bơi đen.
Bài tốn 2.2.5: Nếu chúng ta tiếp tục viết những số tự nhiên từ 2 cho đến 1000 vào bảng sau thì số 1000 rơi vào cột nào?
A B C D E F G H 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 18 19 20 21 25 24 23 22 26 27 28 29 … … … 30
Lời giải: Các em học sinh cĩ thể giải bài tốn này bằng cách tiếp tục đặt các số vào mảng cho tới khi các em tìm ra số 1000. Giả sử trong suốt quá trình làm các em khơng mắc sai lầm, thì cách làm này sẽ đưa tới câu trả lời đúng nhưng cơng việc này rất vất vả.
Chúng ta sẽ cố gắng để giải bài tốn này bằng một cách khác, bằng cách tìm kiếm một quy luật. Các số được đặt dưới các chữ cái theo một quy luật, hãy nhìn vào hình vẽ cố gắng tìm xem quy luật ở đây là gì?
Cĩ 8 cột dẫn đầu bởi 8 chữ cái. Điều gì sẽ xảy ra khi chia mỗi số trong mỗi cột cho 8?
• Mỗi số trong cột A phần dư cịn lại là 1;
• Mỗi số trong cột B phần dư cịn lại là 2;
• Mỗi số trong cột C phần dư cịn lại là 0;
• Mỗi số trong cột D phần dư cịn lại là 3;
• Mỗi số trong cột E phần dư cịn lại là 7;
• Mỗi số trong cột G phần dư cịn lại là 6;
• Mỗi số trong cột H phần dư cịn lại là 5.
Hãy chia con số 1000 của chúng ta cho 8. Số dư cịn lại là 0. Như vậy 1000 sẽ nằm ở cột C.
Bài tốn 2.2.6: Tính số đo của gĩc được ký hiệu là x ở trong Hình vẽ 2.2.6.a, trong đĩ bốn hình vuơng được vẽ là các hình vuơng đơn vị.
Lời giải: Cĩ nhiều cách để giải bài tốn này, trong đĩ, chúng ta cĩ thể giải bằng phương pháp lượng giác.
Hình vẽ 2.2.6.a Hình vẽ 2.2.6.b x z z y y x
Theo giả thiết cạnh của các hình vuơng bằng 1 (xem Hình vẽ 2.2.6.b), do đĩ: tan y = 2 ⇒ y = (63,434949…)0. tan z = 31 ⇒ z = (18,434949…)0. Vậy: x=y−z=450 Chúng ta cĩ thể lý luận theo cách khác: 1 3 1 2 1 3 1 2 tan tan 1 tan tan ) tan( tan = × + − = + − = − = z y z y z y x ⇒ x = 450.
Chúng ta cĩ thể tìm ra lời giải của bài tốn này đơn giản hơn nếu chúng ta sử dụng phương án tìm kiếm một quy luật từ
hình vẽ ban đầu của bài tốn.
Hãy quan sát Hình vẽ 2.2.6.c, hình vẽ này được xem là hình được trải rộng của Hình vẽ 2.2.6.a.
Hai gĩc được ký hiệu x là bằng nhau, vì chúng là 2 gĩc so le trong. Gĩc x mới tạo ra
x
Điều thú vị trong bài tốn này là chúng ta để ý Hình vẽ 2.2.6.d, tổng của các gĩc
ACE
∠ , ∠ABE và ∠ADE bằng 900. Chúng ta cĩ thể chứng minh điều này như sau: Ta cĩ: ∠GDE+∠GED+∠DGB=900 ⇒ ∠GDE+∠GED=450 (*)(vì 0 45 = ∠DGB )
Xét hai tam giác đồng dạng: ∆EJD và
EAB
∆ . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta cĩ: ∠ABE = ∠GDE
(*)⇒ ∠ABE+∠GED=450
⇒ ∠ABE+∠ADE =450 (vì ∠GED =∠ADE, 2 gĩc so le trong) Vậy: ∠ACE+∠ABE+∠ADE=900 (vì ∠ACE =450).
Chúng ta cĩ thể chứng minh kết quả này theo một cách khác như sau (Xem Hình vẽ 2.2.6.e)
Ta thấy tứ giác AEBK là hình bình hành (vì AC = BC và EC = KC).
Do đĩ: ∠AKE = ∠BEK
Mặt khác: ∠AKE = ∠ADE (gĩc nội tiếp đường trịn cùng chắn cung AE).
Mà ∠ABE+∠BEK =∠ACE =450
Do đĩ: ∠ACE+∠ABE+∠ADE =900.