hạn và liờn tục của hàm số
Khỏi niờm vụ hạn đó từng gõy nhiều khú khăn cho nhận thức của con người cho đến thế kỉ 17. Điều này đó được thể hiện qua hai nghịch lớ nổi tiếng của Zộno là nghịch lớ mũi tờn, nghịch lớ phõn đụi. Khỏi niệm này được J. Kepler (1571 - 1630) và B. Cavalieri (1598 - 1647) quan tõm trở lại và đó mở đường cho Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) phỏt triển và hoàn thiện hai phộp tớnh vi phõn, tớch phõn như đó đề cập ở mục 2.1.2. Lỳc bấy giờ cỏc nhà toỏn học đó tớnh toỏn trờn cỏc giới hạn.
Tuy nhiờn, họ chưa đưa ra được một định nghĩa chặt chẽ, mà chỉ quan niệm một cỏch trực giỏc cỏc khỏi niệm giới hạn và liờn tục của hàm số.
Về sau nhiều nhà toỏn học mới thực sự lưu ý đến sự cần thiết phải chớnh xỏc hoỏ cỏc khỏi niệm cơ bản này nhằm làm cho cỏc phộp tớnh tớch phõn và vi phõn cú cơ sở chặt chẽ. Nhưng cỏc khỏi niệm này muốn được chớnh xỏc húa cũng gặp nhiều khú khăn.
Chẳng hạn, sự "dần tới" một giỏ trị nào đú lại liờn quan đến vấn đề chuyển động, mà hai phộp tớnh vi phõn và tớch phõn lại xem chuyển động là một quỏ trỡnh liờn tục - theo nghĩa biến phải nhận mọi giỏ trị trong khoảng mà chuyển động xảy ra. Nhưng làm thế nào để mụ tả bằng toỏn học biến di chuyển qua tất cả cỏc điểm kế tiếp nhau trong một khoảng? Rừ ràng khụng thể núi rằng "đi từ điểm này đến điểm kế tiếp sau" vỡ khụng cú điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất kỡ cú một điểm khỏc). Dự vậy, vào năm 1817, B. Bolzano (1781 - 1848) đó đưa ra một định nghĩa chớnh xỏc về liờn tục: hàm số f(x) liờn tục trong một khoảng nếu tại bất kỡ x nào trong khoảng đú thỡ hiệu f(x + ω) - f(x) cú thể làm nhỏ
tựy ý khi cho ω đủ lớn (Dẫn theo [27, tr. 31]).
Cũn khỏi niệm giới hạn: hằng số c được gọi là giới hạn của x nếu ta cú thể làm cho x cú thể tiến gần đến c một cỏch tựy ý thụng qua sự thay đổi liờn tục. Để chớnh xỏc húa khỏi niệm này cần phải mụ tả bằng toỏn học khỏi niệm "gần một cỏch tựy ý".
A. L. Cauchy (1789 - 1857) đó cú cụng lớn trong việc chớnh xỏc húa khỏi niệm giới hạn và liờn tục. ễng đưa ra định nghĩa: cho x là biến số thực. x được gọi là cú giới hạn là c nếu với bất kỡ số dương cho trước thỡ giỏ trị tuyệt đối của hiệu x và c cú thể làm nhỏ hơn một số dương cho trước đú (Dẫn theo [27, tr. 31 - 32]). Nhà toỏn học Đức K. Weierstrass (1815 - 1897) đó làm rừ hơn khỏi niệm mà A. L. Cauchy đó đưa ra theo ngụn ngữ "ε δ, ".
Như vậy, B. Bolzano, A. L. Cauchy và K. Weierstrass đó định nghĩa một cỏch chớnh xỏc khỏi niệm giới hạn và liờn tục của hàm số gúp phần giải thớch cỏc nghịch lớ của Zộno và làm cho hai phộp toỏn vi phõn và tớch phõn cú cơ sở chặt chẽ.