Các hệ mở rộng CFG có dấu và SPM đối xứng
4.1 Hệ mở rộng CFG có dấu (S-CFG)
Để đơn giản, chúng tôi xét một mở rộng của hệ CFG trên đồ thị nền là đa đồ thị vô hướng, không có khuyên G = (V, E), trong đó V ={v1, . . . , vn}. Một phân bố các số nguyên trên mỗi đỉnh củaG được gọi là một trạng thái. Cụ thể ta định nghĩa hệ CFG có dấu như sau:
Định nghĩa 4.1.1 (CFG có dấu). Hệ CFG có dấu trên một đa đồ thị vô hướng
G, ký hiệu là S-CFG(G), được cho bởi:
i) Trạng thái là dãy các số nguyên trên a∈Zn trên tập đỉnh củaG.
ii) Một đỉnh vi của trạng thái a là bắn được nếu |ai| ≥ deg(vi). Khi vi bắn thì nó sẽ cho mỗi lân cận một chip nếu ai ≥ deg(vi) và nhận từ mỗi lân cận của nó một chip nếu ai ≤ −deg(vi). Hơn nữa, chúng ta cũng gọi luật bắn áp dụng cho đỉnh chứa chip dương (âm) là luật cho (luật nhận tương ứng).
Nhận xét 4.1.1. i) Ta có thể viết lại luật bắn tại đỉnh vi gọn hơn như sau: Nếu |ai| ≥ deg(vi) và a →−i b thì bi =ai−sign (ai) deg(vi) và bj =aj +sign (ai)eij
với mọivj 6=vi và eij là số cạnh đi từ vi tới vj.
ii) Hệ CFG có dấu (các đỉnh có thể chứa một số âm chip) cũng có thể được hiểu như một hệ CFG tô màu (các đỉnh chứa một số dương chip) trong đó chúng ta có hai loại chip màu xanh và màu đỏ. Các đỉnh sẽ chứa một số chip có cùng màu. Trạng thái là sự phân bố các chip được tô bởi một trong hai màu trên các đỉnh của G. Một đỉnh vi là bắn được nếu nó chứa ít nhất là deg(vi) chip (không phân biệt màu). Khi bắn, nó sẽ cho mỗi lân cận một chip và nếu một đỉnh chứa chip của màu nào đó nhận một chip khác màu thì hai chip khác màu đó sẽ triệt tiêu nhau.
Hình 4.1 minh họa quá trình bắn của hệ S-CFG trên đồ thị hình thoi bắt đầu từ một trạng thái và kết thúc bằng hai trạng thái ổn định.
Nhận xét 4.1.2. 1. Việc bắn hai đỉnh trong S-CFG không giao hoán như hệ CFG. Bởi vì việc bắn của đỉnh icó thể ngăn cản khả năng bắn được của đỉnh j nếu đỉnh j chứa chip khác màu (khác dấu) với đỉnh i.
1 -1 -1 4 1 2 -3 0 0 -1 -2 -4 3 0 1 0 1 -1 2 0 -2 0 Hình 4.1: CFG có dấu
2. Nếu a b thì a − b được biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính của các vector hàng của ma trận Laplace ∆ của G. Nói cách khác, ta vẫn có a−b ∈ h∆1, . . . ,∆ni.
3. Hệ S-CFG hầu như không có cấu trúc dàn và khi hệ hội tụ thì thường có nhiều hơn một trạng thái ổn định.
Như đã trình bày trong phần 1.2.3, hệ SPM có thể được xem như một hệ CFG bằng cách thay thế số hạt tại mỗi đỉnh bằng hiệu của độ cao ở cột đó và cột liền kề bên phải. Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng giống như hệ SPM, hệ SPM đối xứng cũng được mã hóa như một hệ S-CFG trên đường thẳng. Nhờ đó, một số tính toán tường minh trên tập trạng thái ổn định theo tổng số hạt và theo độ dài được đưa ra. Mặc dù điều này có thể khó thực hiện hơn khi làm trực tiếp trên hệ SPM đối xứng thay vì chuyển qua hệ S-CFG.
4.2 Các mở rộng S-SPM và S-CFG trên đường
thẳng
Phần này trình bày hệ mở rộng CFG có dấu với đồ thị nền là đường thẳng vô hạn về hai phía. Chúng tôi chứng minh rằng với cách mở rộng hệ CFG như thế này, hệ
SPM đối xứng sẽ đẳng cấu với một hệ CFG có dấu trên đường thẳng. Nhờ đó, chúng tôi đưa ra được một đặc trưng ngôn ngữ cho các dạng ổn định của hệ CFG có dấu trên đường thẳng. Đồng thời, sử dụng đẳng cấu giữa hai hệ và đặc trưng ngôn ngữ trên hệ CFG có dấu, chúng tôi cũng thu được một số tính toán tổ hợp cho số các dạng ổn định của hệ SPM đối xứng với độ dài và trọng số cho trước. Điều này cũng góp phần đưa ra một chứng minh khác cho số dạng ổn định của hệ SPM đối xứng theo trọng số đã được cho bởi Formenti et. al [22]. Các kết quả đưa ra dựa trên [46].