Các hệ mở rộng CFG có dấu và SPM đối xứng
4.2.1 Sự đẳng cấu
Để xây dựng mã hóa (đẳng cấu) giữa hệ S-SPM bằng hệ S-CFG, chúng tôi định nghĩa đồ thị nền của S-CFG như sau: G= (V, E) trong đó, V =Z và E ={(i, j) :
|i−j| = 1}. Cho đơn giản ta ký hiệu đồ thị này là L. Khi đó, L là đồ thị gồm vô hạn đỉnh về hai phía. Tuy nhiên, một trạng thái trên S-CFG chỉ có hữu hạn các phần khác không. Luật vận động là luật bắn của hệ S-CFG như định nghĩa trong phần 4.1.
Nhận xét rằng, đồ thị L này khác so với đồ thị L+ trong phần mã hóa SPM bởi CFG (Phần 1.2.3). Thật vậy, trong khi L+ có đỉnh chìm tại 0 thì L không có đỉnh chìm. Mặc dù có sự khác nhau về đồ thị nền và số chip tại một số đỉnh của hệ S-CFG có thể âm nhưng ta sẽ thấy ánh xạ giữa hai hệ là không thay đổi.
Cho a, b là hai trạng thái. Ký hiệua−→i,r b (a−→i,l b) nếu b thu được từ a bằng áp dụng một bước luật rơi sang phải (trái tương ứng) tại cột thứ i trong hệ S-SPM. Tương tự, a −→i,+ b (a −→i,− b) nếu b thu được từ a bằng áp dụng một bước luật cho (luật nhận tương ứng) tại đỉnh i trong hệ S-CFG(L).
Xét a = (a1, . . . , ak) ∈ S-SPM(N), trạng thái d(a) tương ứng với a trong S-CFG(L) được xác định như sau:
d(a) = (a1−a0, a2−a1, a3−a2, . . . , ak+1−ak),
quy ước a0 = ak+1 = 0. Dễ thấy ánh xạ d này là đối của ánh xạ δ đã định nghĩa trong phần mã hóa hệ SPM bởi hệ CFG trong phần 1.2.3. Tuy nhiên, do việc định nghĩa lại này không ảnh hưởng đến ý nghĩa (dhayδ đều là cách lấy hiệu hai cột liên tiếp nhau) và mục đích của việc mã hóa. Trong phần tính toán số các trạng thái ổn
định các của hệ, việc lấy hiệu d này thuận tiện hơn cho chúng tôi trong trình bày. Điều dễ thấy sau đây chỉ ra sự liên quan giữa luật vận động của hai hệ S-SPM và S-CFG(L):
i) Nếu a−→i,r b thì d(a)−−−→i+1,− d(b)
ii) Nếu a−→i,l b thì d(a)−−−→i+1,+ d(b). Chẳng hạn,
a= (1,1,2,8,4,3,3,1)∈S-SPM(23)
thì
d(a) = (1,0,1,6,−4,−1,0,−2,−1)∈S-CFG(L),
và luật rơi sang bên phải của cột thứ 4có độ cao8 của asẽ tương ứng với việc bắn đỉnh 5 có−4 chip bằng luật nhận trong d(a).
Từ các nhận xét trên, ta rút ra mệnh đề sau
Mệnh đề 4.2.1. Cho N là số tự nhiên và ON = (N,−N,0, . . . ,). Dưới ánh xạ d, các hệ S-SPM(N) và hệ S-CFG(L,ON) là đẳng cấu.