Các hệ mở rộng CFG có dấu và SPM đối xứng
4.3.2 Cấu trúc không gian và đặc trưng trạng thá
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày cấu trúc không gian của bốn hệ, SPM(Cn), CFG(Cn), S-SPM(Cn)và S-CFG(Cn). Cụ thể chúng tôi sẽ chứng minh rằng đối với các hệ SPM và CFG trên đồ thị vòng thì cấu trúc không gian và đặc trưng các trạng thái của nó không khác nhiều so với trường hợp trên đường thẳng. Tuy nhiên, với các hệ SPM đối xứng và CFG có dấu trên đồ thị vòng thì lại phức tạp hơn so với trường hợp trên đường thẳng.
4.3.2.1 Cấu trúc không gian và đặc trưng trạng thái của các hệ SPM(Cn) và CFG(Cn)
Chúng ta biết rằng trên đường thẳng thì không gian trạng thái của các hệ SPM và CFG có cấu trúc dàn và do đó nó hội tụ tới một trạng thái ổn định duy nhất. Hơn nữa, chúng ta còn đặc tả được tất cả các trạng thái nhận được từ trạng thái có duy nhất một cột trên hệ SPM. Đặc trưng cho các trạng thái của hệ SPM trên Cn được trình bày như sau
Định lý 4.3.1. Cho a là một phân bố tròn trên Cn trọng số k. Khi đó a là một phần tử của SPM(Cn, k) nếu và chỉ nếu tồn tại một phép quay các đỉnh của Cn sao cho a (dưới dạng dãy) là một phần tử của SPM trên đường thẳng có trọng số k và có độ dài nhiều nhất là n.
Chứng minh. Lấy a ∈ SP M(Cn, k). Không mất tính tổng quát, giả sử a đạt được từ(k,0, . . . ,0)trong đó k được đặt ở đỉnh đầu tiên của Cn. Vì chỉ áp dụng luật rơi bên phải nên các trạng thái trung gian trong quá trình thu đượca luôn luôn là một dãy tăng. Do đó, đỉnhn của Cn sẽ không bao giờ cho lại chip đỉnh 1trong suốt quá trình vận động. Do vậy, a cũng là một trạng thái của SPM và độ dài của a không vượt quá n. Chiều ngược lại là hiển nhiên.
Hệ quả sau mô tả tất cả các phần tử của CFG(Cn) và là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 4.3.1 và Định lý 4.3.1.
Hệ quả 4.3.2. Cho a là một phân bố tròn trên Cn. Khi đó, a là một phần tử của CFG(Cn, k) nếu và chỉ nếu (dn)−1(a) là một phần tử của SPM(Cn, k).
Nhắc lại rằng, cho trước một hệ động lực S, ta có thể định nghĩa quan hệ hai ngôi ≤S trên không gian trạng thái của nó sao choa ≤S b nếua thu được từb bằng áp dụng một số lần luật vận động của hệ S và viếta ≤b khi S đã được chỉ rõ. Tiếp theo chúng tôi sẽ chứng minh rằng không gian trạng thái của hệ SPM(Cn, k), và do đó của hệ CFG(Cn, k), thừa kế cấu trúc dàn như không gian trạng thái của các hệ SPM và CFG trên đường thẳng.
Mệnh đề 4.3.3. Tập có thứ tự (SPM(Cn, k),≤)là một dàn con của dàn(SPM(k),≤
) và tập có thứ tự CFG(Cn, k) là một dàn con của dàn (CFG(L+,Ok), với Ok = (0, k,0, . . . ,0).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 4.3.1, chỉ cần chứng minh mệnh đề cho hệ SPM(Cn, k). Lấya, b∈SPM(Cn, k). Theo Định lý 4.3.1, ta có a, b∈SPM(k)vàl(a), l(b)≤n. Ta sẽ chứng minh c= inf(a, b) và d= sup(a, b), trong đó các phần tử tối tiểu (inf) và tối đại (sup) được lấy trong dàn SPM(k), có độ dài không vượt quá n.
Nhắc lại rằng, dàn(SP M(k),≤)được chứng minh là dàn con của dàn Brylawsky
Chính xác hơn, c được xác định đệ quy với phần tử ci của c có công thức như sau: c1 = min{a1, b1} và ci = min{Pi
j=1aj,Pi
j=1bj} − Pi−1
j=1cj. Bởi vậy l(c) ≤
max{l(a), l(b)} ≤n và c∈SP M(Cn, k).
Mặt khác, từ định nghĩa thứ tự trội ta cũng có nếu u ≤ v thì l(v) ≤ l(u). Bởi vậy, l(d)≤l(a)≤n và dn ∈SP M(Cn, k). Điều này hoàn thành chứng minh.
Hình 4.4 minh họa bao hàm của dàn SPM(10) và dàn SPM(C3,10). Trạng thái ổn định của SPM(10) là(4,3,2,1)trong khi trạng thái ổn định của SPM(C3,10) là
(4,3,3).
Bằng một số tính toán đơn giản, ta cũng xác định được điểm dừng duy nhất của hệ SPM(Cn, k).
Hệ quả 4.3.4. Trạng thái ổn định duy nhất của SPM(Cn, k) là i) (p, p−1, . . . , q, q, q−1, . . . ,1,0, . . . ,0) nếu k≤ n(n2−1), trong đó p= 3 +√ 9 + 8k 2 và q =k− p(p+ 1) 2 . ii) (p, p−1, . . . , q+ 1, q, q, q−1, . . . , p−n+ 3, p−n+ 2)nếu k ≥ n(n−1) 2 + 1, trong đó p= 2k+n(n−2) 2n + 1 và q =k− (2p−n+ 2)(n−1) 2 .
Ở đây, [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x.
4.3.2.2 Đặc trưng trạng thái của các hệ S-SPM(Cn) và S-CFG(Cn)
Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra một đặc trưng cho các phần tử của S-SPM(Cn) và S-CFG(Cn). Để làm được điều này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm khai triển 2-SPM (2-SPM decomposition) của một phân bố tròn. Đây là một phiên bản mở rộng của khái niệm khai triển SPM đã được đề cập đến trong phần 4.2.
Định nghĩa 4.3.5(Khai triển2−SPM). Choa= (a1, a2, . . . , an)là một phân bố tròn. Khi đó,a được gọi là cókhai triển 2−SP M nếu tồn tại(i, j)(1≤i≤j ≤n) sao cho(ai−1, ai−2, . . . , a1, an, . . . , aj+1)và(ai, ai+1, . . . , aj)là các phần tử của SPM. Khi đó,a được gọi là cókhai triển 2−SP M tại (i, j).
(10)91 91 82 73 811 64 721 55 631 541 622 532 6211 442 5311 433 4411 5221 4321 Hình 4.4: Dàn con SPM(C3,10) của dàn SPM(10)
Chú ý rằng một phân bố tròn có thể có khai triển 2-SPM tại nhiều vị trí (i, j). Chẳng hạn, (2,5,5,4,1,1)có khai triển 2-SPM tại (1,2) và tại (2,5), nhưng không có khai triển 2-SPM tại (5,5). Hơn nữa, (1,2,2,3,3,7,4,4,1) không có khai triển
2-SPM.
Định lý dưới đây cho ta đặc trưng của tất cả các phần tử của S-SPM(Cn).
Định lý 4.3.2. Cho a là một phân bố tròn trên Cn. Khi đó a là một phần tử của S-SPM(Cn) nếu và chỉ nếu a có khai triển 2-SPM.
Chứng minh. Để chứng minh chiều xuôi, ta sẽ chỉ ra bằng đệ quy rằng nếu a có khai triển 2-SPM tại (i, j) (1 ≤i ≤ j ≤ n) và a vận động tới b bằng việc áp dụng một bước luật vận động thì b cũng có khai triển 2-SPM. Chúng ta chỉ cần xét các trường hợp sau:
(ii) a −→(i,l) b
(iii) a (j−→+1,l)b
(iv) a(i−→−1,r)b.
Các trường hợp khác được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 1.2.4 nói rằng việc áp dụng một lần (một số lần) luật rơi bên phải vào một phần tử của SPM cũng cho ta một phần tử thuộc SPM. Bởi vậy, nếu acó khai triển 2-SPM tại(i, j) thì b cũng có khai triển 2-SPM tại (i, j).
Chúng ta sẽ chứng minh khẳng định cho bốn trường hợp ở trên. Theo Mệnh đề 1.2.4, việc thêm một đoạn dốc hoặc bỏ đi một cột của một phần tử trong SPM thì vẫn là một phần tử của SPM. Do đó, nếu a −→(j,r) b thì aj −aj+1 ≥ 2 và a cũng có khai triển 2-SPM tại (i, j + 1). Theo khai triển mới này của a thì b thu được từ a
mà không phải bằng việc áp dụng một trong bốn luật ở trên. Do đó, b có khai triển
2-SPM tại (i, j + 1).
Một cách tương tự, b có khai triển 2-SPM tại (i+ 1, j) nếu (ii), tại(i, j−1) nếu (iii) và tại(i−1, j) nếu (iv).
Ngược lại, giả sửa có khai triển2-SPM tại (i, j)vàw(a) =k. Ta cần chỉ ra rằng
a đạt được từ (k)trong S-SPM(Cn, k). Đặt k1 = j X t=i at và k2 = n X t=j+1 at+ i−1 X t=1 at. Ta có k1 +k2 =k.
Vì (ai, . . . , aj)∈SPM(k1) nên nó đạt được từ (k1) trong hệ SPM. Do đó, a đạt được từ (a1, . . . , ai−1, k1,0, . . . ,0, aj+1, . . . , an) bằng áp dụng một dãy các luật rơi phải. Tương tự, (ai−1, . . . , a1, an, . . . , aj+1) cũng đạt được từ (k2) trong hệ SPM và
(aj+1, aj+2, . . . , an, a1, . . . , ai−1)đạt được từ(k2) bằng áp dụng một dãy các luật rơi trái. Như vậy, a đạt được từ (0, . . . ,0, k2, k1,0, . . . ,0) bằng áp dụng một dãy luật của S-SPM(Cn). Trạng thái sau lại thu được từ (0, . . . ,0, k,0, . . . ,0) bằng áp dụng một dãy các luật rơi trái tại đỉnh i của S-SPM(Cn, k)nếu k1 ≥k2 và bằng áp dụng một dãy các luật rơi phải tại đỉnh i−1 nếu k1 < k2.
Hệ quả 4.3.5. Cho u là một phân bố tròn trên Cn. Khi đó, u là một phần tử của S-CFG(Cn, k) nếu và chỉ nếu (dn)−1(u) có khai triển 2-SPM.