Hệ SPM đối xứng song song
3.1.2 Hệ SPM đối xứng (S-SPM)
Phần này trình bày một mở rộng gần đây của hệ SPM trong đó các cột không chỉ rơi sang phải mà còn có thể rơi sang trái. Hệ này được gọi là hệ SPM đối xứng hay S-SPM và được giới thiệu bởi Forment et.al.[22] và Phan [40]. Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số định nghĩa.
(i) Một dãy các số nguyên dươnga= (a1, a2, . . . , ak) được gọi làđơn đỉnh độ dài
k nếu tồn tại một chỉ số i ∈ {1,2, . . . , k} sao cho a1 ≤ · · · ≤ ai−1 ≤ ai ≥
ai+1≥ · · · ≥ak (quy ước a0 =ak+1 = 0). Các đại lượng được xác định bởi
h(a) = max{ai}k i=1 và w(a) = k X i=1 ai
được gọi là độ cao và trọng số của a một cách tương ứng.
(ii) Nghịch đảo của dãy a= (a1, a2, . . . , ak), ký hiệu a−1, là dãy (ak, ak−1, . . . , a1). (iii) Lũy thừa cấp n của dãya, ký hiệuan, là dãy thu được từa bằng cách viết liền
n lần dãy a
Cũng giống như phân hoạch, các dãy đơn đỉnh cũng được biểu diễn dưới dạng biểu đồ Ferrer. Trong đó, cột thứ i trong biểu đồ Ferrer của a gồm ai ô vuông xếp chồng lên nhau (xem Hình 3.2). Các phần ai được gọi là độ cao của cột thứ i.
(a) (b)
Hình 3.2: (a) Dãy không đơn đỉnh (b) Dãy đơn đỉnh
Cho a = (a1, . . . , ak)có độ dài k và 1≤i≤k. Ký hiệu
a<i = (a1, . . . , ai−1) và a>i = (ai+1, . . . , ak),
là các dãy trái và phải của a tại i.
Nhận xét: Một dãy đơn đỉnh được đánh dấu là một cặp (a, i) trong đó a = (a1, . . . , ak) là dãy đơn đỉnh và ilà một vị trí được đánh dấu với 1≤i≤k. Để đơn giản, ta cũng viết (a1. . .(ai). . . ak)trong đó phầnai được đặt trong dấu ngoặc đơn thay cho(a, i). Dạng của một dãy đơn đỉnh được đánh dấu(a, i) là dãy đơn đỉnh a. Ví dụ, 13(3)7762 là dãy đơn đỉnh được đánh dấu với dạng là (1,3,3,7,7,6,2) và vị trí đánh dấu là i= 3.
Nhắc lại, hệ SPM có luật rơi phải như sau nếuai−ai+1 ≥2thì áp dụng luật rơi phải tại i là
(a1, . . . , ai, ai+1, . . . , ak)→(a1, . . . , ai−1, ai+1+ 1, . . . , ak).
Ta định nghĩa luật rơi trái như sau: nếuai−ai−1 ≥2thì áp dụng luật rơi trái tại i
là
(a1, . . . , ai−1, ai, . . . , ak)→(a1, . . . , ai−1+ 1, ai−1, . . . , ak).
Hệ SPM đối xứng được định nghĩa như sau [22, 40]
Định nghĩa 3.1.3 (Hệ SPM đối xứng). ChoN là một số tự nhiện. Hệ SPM đối xứng trọng sốN, ký hiệu S-SPM(N), là hệ động lực rời rạc trong đó:
i) Trạng thái khởi đầu là (N). Các trạng thái của hệ là các dãy đơn đỉnh được đánh dấu, trong đó vị trí được đánh dấu là vị trí của cột khởi đầu.
ii) Luật vận động làluật S-SPM tuần tự như sau: tại mỗi bước áp dụng luật rơi phải hoặc trái tại một vị trí.
Bên cạnh các nghiên cứu về trạng thái đạt được của các hệ, người ta cũng quan tâm tới dạng trạng thái (dạng của dãy đơn đỉnh được đánh dấu) đạt được. Các nghiên cứu về dạng trạng thái của hệ S-SPM được đưa ra bởi Formenti et. al. [22]. Các nghiên cứu về cả dạng trạng thái cùng với vị trí của nó được đưa ra bởi Phan [40].
Nhận xét 3.1.2. i) Khác với hệ SPM, mỗi dạng trạng thái của hệ S-SPM là một dãy đơn đỉnh và không nhất thiết là phân hoạch. Không gian trạng thái của SPM là một không gian con của S-SPM. Tuy nhiên, vẫn có thể áp dụng luật rơi trái vào một trạng thái ổn định của SPM và do đó trạng thái ổn định của SPM không là trạng thái ổn định của S-SPM.
ii) Trong khi hệ SPM(N) chỉ có duy nhất một trạng thái ổn định và không gian trạng thái của nó với thứ tự cảm sinh lập thành một dàn thì hệ S-SPM(N)lại có nhiều trạng thái ổn định và không gian trạng thái không có cấu trúc dàn. Tuy nhiên quan hệ hai ngôi cảm sinh trên hệ S-SPM vẫn là một quan hệ thứ tự.
iii) Hệ S-SPM(N) không đơn định vì có nhiều cột có thể rơi hơn nữa có những cột có thể rơi sang cả hai phía.
iv) Khác với hệ SPM và P-SPM trong đó cột đầu tiên luôn là cột cao nhất, vị trí cột cao nhất của hệ S-SPM có thể thay đổi trong quá trình vận động. Cột cao nhất không nhất thiết là vị trí được đánh dấu.
1(4)2(3) 2(3) 11(3) 12(2) 12(1)1 11(2)1 2(2)1 1(3)1 (4)1 (3)2 1(2)2 (3)11 1(2)11 (2)21 1(1)21 (5)
Hình 3.3: Không gian trạng thái của hệ S-SPM(5).
Mệnh đề sau cho ta cấu trúc thứ tự trên hệ S-SPM.
Mệnh đề 3.1.1 ([22, 40]). Quan hệ hai ngôi ≤S-SPM được cảm sinh từ quan hệ đạt được trong hệ S-SPM(N) là một quan hệ thứ tự. Hệ quả là hệ S-SPM(N) dừng sau một số lần áp dụng luật vận động.
Ví dụ 3.1.1. Hình 3.3 minh họa không gian trạng thái của hệ SPM đối xứng xuất phát từ (5). Hệ S-SPM(5) có4trạng thái ổn định:11(2)1,1(1)21, 1(2)11, 12(1)1và có2dạng ổn định là: 1121và 1211; trong đó11(2)1và 1(1)21có cùng dạng1121 và
1(2)11 và 12(1)1có cùng dạng 1211.
Mặt khác, ta biết rằng một phần tử thuộc SPM nếu giữa hai bước bằng liên tiếp phải có ít nhất một bước dốc (Mệnh đề 1.2.4). Chúng tôi giới thiệu một đặc trưng
cho dạng các trạng thái của hệ S-SPM trong [22, 40]. Trước hết, chúng tôi trình bày lại định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.1.4 (Khai triển SPM). Dãy đơn đỉnh a = (a1, a2, . . . , ak) ∈ Nk được gọi là có khai triển SPM (SPM decomposition) nếu tồn tại 1 ≤i≤ k sao cho các dãy(ai, ai−1, . . . , a1)và (ai+1, ai+2, . . . , ak) là các phần tử của SPM.
Dễ thấy rằng một dãy có thể có nhiều hơn một khai triển SPM, chẳng hạn Hình 3.4(a) cho thấy dãy(1,2,3,4,4,3,2,1)có ba khai triển SPM tại các vị trí3,4 và5. Định lý dưới đây chỉ ra đặc trưng của tất cả các dạng trạng thái của hệ S-SPM.
Định lý 3.1.2 ([22], [40]). Một dãy đơn đỉnh a là một dạng trạng thái của hệ S-SPM(N) nếu và chỉ nếu a có một khai triển SPM.
(a) (b)
Hình 3.4: (a) Dãy đơn đỉnh với các vị trí tại đó có khai triển SPM (b) Dãy đơn đỉnh không có khai triển SPM
Hơn nữa, các tác giả cũng đưa ra công thức tường minh cho số dạng ổn định của hệ S-SPM.
Định lý 3.1.3 ([22, 40]). Cho N là một số tự nhiên. Số dạng ổn định của hệ S-SPM(N) là [√
N]. Hơn nữa, nếuP là một dạng ổn định của S-SPM(N)thì P có độ cao hoặc [√
N] hoặc [√
N]−1.
3.2 Hệ SPM đối xứng song song (PS-SPM): Trạng