Điều kiện biên:

+ Dữichie£: u(x, y, z) = @ trên L)

+ Cauchy trên Ï;

K;¿ —m, +k, ¬” +k; =, +ơ(x,y,z)u(x,y,Z)= B(x,y.z) (2.9) với nn, ,n,„n,}: pháp tuyến trên L; và nạ, ny, n; các cosin định hướng.

kị, kạ, kạ: các hằng số phụ thuộc vào các hướng chính.

Trường hợp đơn giản: kị = kạ = k; = const = 1 ta có phương trình Pøission cho bài

toán thẩm thấu.

2.1.2. Bài toán trường bất ổn định

Tương tự trường ổn định nhưng có thêm yếu tố thời gian t.

Phương trình vi phân giống như phương trình tựa điều hoà và Poission:

2

XIkxJ* k, 28 |~f(&,y,t)+óeÊt, u29 (2.10)

Ôx 9x} öy 9% ôt Øt Trong đó:

Øe, u là các hàm số theo tọa độ và thời gian.

Các điều kiện biên tương tự trường hợp ổn định nhưng có thêm yếu tố thời gian.

a) Khi ụ = 0: phương trình vi phân Paraboia (phương trình khuyết tán)

Điều kiện biên: u(x, y, fọ) = x, y) tạ : thời điểm ban đâu.

b) Khi ôe =0, h # O0 ta có bài toán dao động với hàm số.

u(x, y, Ù = UŒ, y)e”” ^(2.11)

Phương trình sóng Helmholtz

Si hJ* kấc = ø MU =0 (2.12)

Ôx 9x} ôy öy Trong đó:

œ : là tần số quay.

c) Khi ôe #0, h # 0 ta có dao động tắt dần.

Luận văn tốt nghiệp Chương II: Lý Thuyết PPPTHH

u(X, Y, fo) = \UŒ, Y)

ôu

a Œ.y:t6)= x(x.y) ^(2.13)

Với: tự (x, y), ⁄ (x, y) là các hàm số chắn.

2.2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH CỰC TRỊ

chuyển phương trình vi phân thành phương trình tích phân.

2.2.1. Định lý 1

Nếu ta biết giá trị của kị (x, y), kạ (x, y); p (x, y) hoặc f (x, y), và hàm số œ (S), B(s)

trên biên C, và lời giải u (x, y) thì phiếm hàm sau sẽ có ổn định.

I= j|;&« +k,u; )- d2 + hindy + {em — bu 12 2 4\2 @.14)

Và thỏa mãn các điều kiện biên: u (x, y) = @ ) trên C¡

Do đó u(x, y) là lời giải của một bài toán có giá trị biên như sau:

xi &y)P ) + sI« &3)2)] +p(x,yÌu= f(x,y) trên G ^(2.15)

Và thỏa mãn luôn các điều kiện biên:

+ Dữichier: u = @ (s) trên Cị

+ Cauchy: K, =, +k; ah +ơ(us= B(s) trên C¿ (2.16) X

Với nịn,„n, }: pháp tuyến biên

C=C¡ +C;: của cả miễn G (2.17)

Chứng minh:

Ổn định (S:arionry) khi = =0

ðI= [[Ík,u,ôu, + k„u,ồu, ~ puôu + fôu}lxdy + {(œuồu — Bồu}ls

_(.18)

C

gu ởu

Với u =—; u =—— ôx `" @y

Dùng phương pháp tính tích phân của Gawss

lv, (x,y}lxdy = dv(.y)u(x,y)n,ds _ [[y.udxdy (2.19)

Do đó:

Luận văn tốt nghiệp Chương II: Lý Thuyết PPPTHH

ôl= ÍÏ-ä{ Ík — ¬)-2{« 3 ph+f Bnhudg

chân, tk, ng, rau 0 lu =0

đ .à La. k;— ều +pu=f trên G (2.21)

9x\ Øxj ðy ?ôy

Đây là phương Euler

k, =n, +k; am +ơœu =Ð trên C; đây là điều kiện biên Cøwchy (điểu kiện biên

x

tự nhiên). Trên C¡ ta có điều kiện Đirichlet được thỏa mãn. Điều kiện biên thêm (Đirichilet):

u=u@) trên C;: điều kiện biên hình học

* Một vài trường hợp đặt biệt: kị = kạ = I

- Phương trình Euler:

®?u

ôx?

+ Khi p =f= 0 thì u„„ + uyy = 0: phương trình 7⁄2place (chú ý : u,„, = )

+ Khi p =0, f # 0 thì u;„ + u„y = f &, y) : phương trình Poission + Khi p=^,f=0 thì u¿; + uyy + Xu= 0 : phương trình Heimhoiiz

- Điều kiện biên Cauchy trên C;

ôu

+ Khi d=B=0: =0

ôn

+ Khi œ =0: Cử =p _ôn

+ Khi B =0: 2 +e(g)u=0

2.2.2. Những vấn đề trong cơ đàn hồi

Để có những phiếm hàm ta dùng một trong những phương pháp sau: