2.1 Định lý: NếuS1 và S2 là các không gian véc tơ con của không gian véc tơ V thì
S =S1∩S2 cũng là không gian véc tơ con củaV.
Chú ý: Nếu S1, S2 là các không gian con của không gian véc tơ V thì nói chung
S1∪S2 không là không gian con của V.
Ví dụ: S1 ={(x,0)/x ∈ R};S2 ={(0, x)/x∈ R} là các không gian véc tơ con của
R2. Tuy nhiên S1∪S2 không là không gian véc tơ con của R2 vì
(1,0)∈S1; (0,1)∈S2 nhưng (1,0) + (0,1) ∈/ S1∪S2.
2.2 Định nghĩa: Cho S1, S2 là các không gian véc tơ con của không gian véc tơ V.Tập hợp tất cả các véc tơ của V có dạng x1 +x2, với x1 ∈ S1;x2 ∈ S2 được gọi là Tập hợp tất cả các véc tơ của V có dạng x1 +x2, với x1 ∈ S1;x2 ∈ S2 được gọi là tổng của hai không gian véc tơ con S1, S2 và được ký hiệu là S1 +S2.
Ví dụ: Trong ví dụ trên ta thấy S1+S2 =R2
2.3 Mệnh đề: Nếu S1, S2 là các không gian véc tơ con của không gian véc tơ V thì
S1 +S2 là không gian véc tơ con của V. Nếu S1, S2 hữu hạn chiều thì S1 +S2 cũng hữu hạn chiều và
dim(S1+S2) =dimS1+dimS2 −dim(S1∩S2)
Chứng minh: Vì θ là phần tử của S1 và S2 nên θ = θ +θ ∈ S1 + S2. Do đó
S1+S2 6=∅ .
Nếu x = x1 +x2;y = y1 +y2 với x1, y1 ∈ S2;x2, y2 ∈ S2 và α ∈ K thì rõ ràng
x+y;αx∈S1+S2.
Do đó S1+S2 là không gian con của V.
Vì S1 ∩S2 là không gian con của V nên S1 ∩S2 hữu hạn chiều. Giả sử dimS1 =
r, dimS2 = s, dimS1 ∩S2 = t. Gọi {e1, e2, ..., et} là cơ sở của S1 ∩S2. Vì S1 ∩S2 là không gian con của S1 nên có các véc tơet+1, ..., er∈S1 sao cho
{e1, e2, ..., et, et+1...., er}
là cơ sở củaS1. VìS1∩S2là không gian con củaS2nên có các véc tơer+1, ..., er+s+t∈S2
sao cho
{e1, ..., et, er+1, ..., rr+s−t}
là cơ sở của S2. Ta sẽ chứng minh{e1, e2, ..., er+s−t} là cơ sở củaS1+S2. Thật vậy. Giả sử có tổ hợp tuyên tính
Đặtx =α1e1+α2e2+....+αrer =−ar+1er+1−...−ar+s−ter+s−t.
Vìα1e1+α2e2+....+αrer ∈S1;−ar+1er+1−...−ar+s−ter+s−t ∈S2 nên x∈S1∩S2.
Do đó tồn tại β1, β2, ..., βt∈K sao cho
x=β1e1+β2e2+....+βtet =−ar+1er+1−...−ar+s−ter+s−t.
Suy ra
β1e1+β2e2+....+βtet+ar+1er+1+...+ar+s−ter+s−t=θ.
Vì{e1, ..., et, er+1, ..., rr+s−t}là cơ sở củaS2 nênβ1 =....=βt =ar+1 =....=ar+s−t = 0. Do đó x=θ, tức làα1e1+α2e2+....+αrer =θ. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vì{e1, e2, ..., er}là cơ sở củaS1 nênα1 =α2 =...=αr= 0.Suy ra{e1, e2, ..., er+s−t}
độc lập tuyến tính.
- Lấy x ∈S1+S2 tùy ý, giả sử x=x1+x2;x1 ∈ S1;x2 ∈ S2. Vì{e1, e2, ..., et} là cơ sở của S1 nên
x1 =α1e1+α2e2+....+αrer; với α1, α2, ..., αr∈K.
Vì {e1, ..., et, er+1, ..., rr+s−t} là cơ sở củaS2 nên
x2 =β1e1+...+βtet+γr+1er+1+...+γr+s−ter+s−t; với β1, ..., βt, γr+1, ...γr+s−t∈K
Suy ra
x=x1+x2 = (α1+β1)e1+...+(αt+βt)et+αt+1et+1+....+αrer+αr+1er+1+...+αr+s−ter+s−t
Vậy{e1, e2, ..., er+s−t}là cơ sở của S1+S2 và do đó
dim(S1+S2) =dimS1+dimS2−dim(S1 ∩S2).
2.4 Định nghĩa: Nếu hai không gian véc tơ conS1, S2 của không gian véc tơ V thỏamãn điều kiệnS1∩S2 ={θ}thì tổng S1+S2 được gọi là tổng trực tiếp củaS1 vàS2. mãn điều kiệnS1∩S2 ={θ}thì tổng S1+S2 được gọi là tổng trực tiếp củaS1 vàS2.
Ví dụ: Với S1 = {(x,0)/x ∈ R};S2 = {(0, x)/x ∈ R} thì S1 ∩ S2 = {θ} và
R2 =S1+S2.
2.5 Mệnh đề: Không gian véc tơ V phân tích được thành tổng trực tiếp của haikhông gian con S1 và S2 nếu và chỉ nếu mọi véc tơ x ∈ V đều được biểu diễn duy không gian con S1 và S2 nếu và chỉ nếu mọi véc tơ x ∈ V đều được biểu diễn duy nhất một cách dưới dạng x=x1+x2,vớix1 ∈S1;x2 ∈S2.
bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng các tập con S của các không gian véc tơ sau đây là không gian véc tơ con.
a) Tập conS của không gian véc tơ R3 gồm tất cả các véc tơx= (x1, x2, x3)sao cho 2x1+ 5x2−3x3 = 0.
b) Tập conS của Mn×n gồm tất cả các ma trận đối xứng. c) Tập con S của Mn×n gồm tất cả các ma trận tam giác trên.
d) Tập con S của không gian véc tơ R3 gồm tất cả các véc tơ x= (x1, x2, x3) sao cho
x2 =x1+x3.
e) Tập con S của không gian véc tơ R3 gồm tất cả các véc tơ x= (x1, x2, x3) sao cho
x2 =x1+x3+ 1.
Bài 2: cho không gian véc tơL(a1, a2, ..., am)được sinh bởi hệ véc tơa1, a2, ..., ancủa không gian véc tơ Rn. Tìm một cơ sở và số chiều của nó.
a) a1 = (2,1,3,1);a2 = (1,2,0,1);a3 = (−1,1,−3,0)
b) a1 = (2,0,1,3,−1);a2 = (1,1,−3,0);a3 = (0,−2,1,5,−3);a4 = (1,3,2,9,−5).
Bài 3: Xác định số chiều của các không gian con của R4. a) Các véc tơ dạng (a, b, c,0).
b) Các véc tơ dạng (a, b, c, d)trong đó d=a+bvà c=a−b).
c)Các véc tơ dạng (a, b, c, d)trong đó a =b=c=d.
Bài 4: Tìm cơ sở và số chiều của không gian véc tơ con L(a1, a2)∩L(b1, b2) của R4 biết
a) a1 = (1,2,1,0);a2 = (−1,1,1,1);b1 = (2,−1,0,1);b2 = (1,−1,3,7). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) a1 = (1,2,−1,−2);a2 = (3,1,1,1);b1 = (2,5,−6,−5);b2 = (−1,2,−7,−3).
Bài 4: ánh xạ tuyến tính