Ta xét không gian véc tơ V và hệ véc tơ a1, a2, ..., an∈V
1.1 Định nghĩa: Một tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ a1, a2, ..., an là một tổng códạng dạng
x=α1a1+α2a2+...+αnan∈V (1),
trong đó α1, α2, ..., αn∈K là các số tùy ý. Khi đó ta nói véc tơ xđược biểu thị tuyến tính qua hệ véc tơ a1, a2, ..., an.
1.2 Định nghĩa: Hệ véc tơ a1, a2, ..., an được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồntại các số α1, α2, ..., αn ∈K không đồng thời bằng không sao cho tổ hợp tuyến tính tại các số α1, α2, ..., αn ∈K không đồng thời bằng không sao cho tổ hợp tuyến tính (1) bằng θ. Tức là ta có
α1a1+α2a2+...+αnan =θ (2)
Hệ véc tơ a1, a2, ..., ankhông phụ thuộc tuyến tính được gọi là độc lập tuyến tính. Như vậy hệ véc tơ a1, a2, ..., an độc lập tuyến tính nếu đẳng thức (2) chỉ xảy ra khi
α1 =α2 =...=αn= 0.
1.3 Định lý: Hệ véc tơ a1, a2, ..., antrong không gian véc tơ V phụ thuộc tuyến tínhkhi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại. khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại.
Hệ quả: Cho hệ véc tơ a1, a2, ..., an trong không gian véc tơV.
a) Nếu trong các véc tơ đó có một véc tơ không thì hẹ là phụ thuộc tuyến tính. b) Nếu có một bộ phận của hệ phụ thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính. c) Nếu hệ a1, a2, ..., anđộc lập tuyến tính thì mọi bộ phận của nó cũng độc lập tuyến tính.
Ví dụ: Xét không gian véc tơR3 và hệ ba véc tơ
a1 = (1,2,2);a2 = (1,3,−1), a3 = (1,1,5).
Hệ ba véc tơ này phụ thuộc tuyến tính vìa3 = 2a1−a2. Hệ con gồm hai véc tơ a1, a2
độc lập tuyến tính.