a, b, c, ... và K là trường số thực R hoặc trường số phức C. Tập hợp V được gọi là không gian véc tơ trênK nếu
a) Có một quy tắc đặt tương ứng hai phần tử a, b ∈ V với một phần tử của V mà được ký hiệu làa+bvà gọi là phép cộng(hay tổng) của a và b. Tức là có ánh xạ
V ×V −→V
(a, b)7→a+b
b) Có một quy tắc đặt tương ứng số α∈ K và một phần tử α ∈V với một phần tử của V được ký hiệu là αa và gọi là phép nhân(hay tích) vô hướng α với a. tức là có
ánh xạ
K ×V −→V
(α, a)7→αa
c) Hai quy tắc trên thỏa mãn8 tiên đề sau 1) Với mọia, b, c∈V:(a+b) +c=a+ (b+c).
2) Với mọia, b∈V :a+b=b+a.
3) Tồn tại phần tửθ ∈ V sao cho ∀a ∈V, a+θ =a. Phần tử θ được gọi là phần tử trung hòa hay là véc tơ không.
4) Với mọi phần tử a∈V, tồn tạia0∈V sao cho a+a0=θ.
5) Với mọiα ∈K, mọi a, b∈V, α(a+b) =αa+αb.
6) Với mọiα, β ∈K, mọi a∈V : (α+β)a=αa+βa.
7) Với mọiα, β ∈K, mọi a∈V : (αβ)a=α(βa).
8) Với mọia ∈V : 1.a=a.
Mỗi phần tử của V được gọi là một véc tơ, mỗi số trong K được gọi là vô hướng.
Ví dụ: 1) Tập hợp tất cả các véc tơ tự do trong không gian ba chiều với phép cộng và phép nhân véc tơ với một số thực được định nghĩa như trong giáo trình hình học giải tích ở phổ thông(cộng các véc tơ theo quy tắc hình bình hành, nhân một véc tơ với một số thựcα là một véc tơ mà độ dài của nó bằng độ dài của véc tơ đã cho nhân với|α|).
2) ChoV ={θ} là tập hợp chỉ có phần tửθ. Khi đó V cùng với hai phép toán ở trên cũng là một không gian véc tơ.
3) Đặt kn ={(x1, x2, ..., xn)/xi ∈K, i= 1,2, ..., n}. Ta định nghĩa các phép toán như sau.
Với mọix= (x1, x2, ..., xn), y= (y1, y2, ..., yn)∈Kn, mọi α ∈K x+y= (x1+y1, x2+y2, ...., xn+yn)
αx= (αx1, αx2, ..., αxn).
Rõ ràng 8 tiên đề về không gian véc tơ đúng trên Kn với hai quy tắc cộng và nhân được định nghĩa như trên, trong đó véc tơ không là θ = (0,0, ...,0), phần tử đối của
4) Ký hiệu Mm×n(K) là tập hợp tất cả các ma trận cỡ m×n trên K với phép toán cộng các ma trận và nhân một số với một ma trận. Dễ thấy rằng 8tiên đề về không gian véc tơ thỏa mãn trên Mm×n(K). Do đóMm×n(K)là một không gian véc tơ trên
K.
5) Gọi P(R)là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Tức là tập hợp các đa thức có dạng
a0+a1x+...+anxn,vớia0, a1, ..., an∈R
Ta kiểm chứng được tập P(R) cùng với phép cộng đa thức và phép nhân một số với đa thức ở chương trình phổ thông thỏa mãn 8 tiên đề về không gian véc tơ, trong đó véc tơ không là đa thức 0. Do đó P(R) cùng với hai phép toán trên tạo thành một không gian véc tơ.