III. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy học môn Toán
3.5.2. Tư duy linh hoạt
Tư duy linh hoạt là nhanh chóng chuyển từ hướng tư duy này sang hướng tư duy khác trong quá trình giải quyết vấn đề. “Tính linh hoạt của tư duy thể hiện ở khả năng chuyển hướng của quá trình tư duy” [48, tr. 57]. Người có tư duy linh hoạt mạnh, biểu hiện ở tính ứng biến cao, luôn tìm cách giải quyết vấn đề nhanh và hiệu quả. Bồi dưỡng năng lực tư duy linh hoạt có tác dụng phát triển tư duy độc lập, tư duy sáng tạo và nâng cao năng lực tư duy cho học sinh. Để bồi dưỡng tính linh hoạt của tư duy cần:
(1) Diễn đạt nhiều cách khác nhau của một mệnh đề hay vấn đề nào đó. Để giải quyết một vấn đề thì phải hiểu sâu sắc vấn đề đó. Độ sâu sắc của sự hiểu biết này cơ bản thể hiện ở sự nắm vững bản chất của vấn đề và diễn đạt vấn đề dưới những dạng khác mà tương dương. Học sinh nắm vững cách biến hóa, thay đổi sự diễn đạt vấn đề làm cho mối liên hệ giữa các khái niệm, quy luật được rõ hơn và việc vận dụng các kiến thức vào giải quyết vấn đề linh hoạt. Điều này rèn luyện kỹ năng thu nhận thông tin, xử lý thông tin của học sinh, bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề, là một năng lực quan trọng của năng lực trí tuệ.
Ví dụ 37: Trong toán học, nhiều khi, cùng một khái niệm có thể định nghĩa theo nhiều cách tương đương với nhau. Trong mỗi trường hợp, ta cần lựa chọn dạng nào thích hợp nhất với mục đích mà ta đi tới.
Chẳng hạn như, khái niệm hàm đồng biến trên (a; b) có thể được định nghĩa theo các cách:
i) Hàm f(x) được gọi là đồng biến trên (a; b) nếu với mọi x1 và x2 thuộc khoảng (a; b): x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
ii) Hàm f(x) được gọi là đồng biến trên (a; b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 ≠ x2 ⇒
12 2 1 2) ( ) ( x x x f x f − − > 0
iii) Một hàm số xác định trong một khoảng, là đồng biến trong khỏa đó, nếu với mỗi cặp giá trị tùy ý khác nhau của mỗi khoảng, thì ứng với giá trị lớn hơn của đối số là giá trị lớn hơn của hàm số.
Ba cách định nghĩa hàm đồng biến nêu trên là tương đương, nhưng, khi chứng minh các định lý:
“Giả sử hàm số có đạo hàm trên (a; b), nếu f(x) đồng biến trên (a; b) thì f ’(x) ≥ 0, ∀x ϵ (a; b)”.
“Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a; b). Nếu f ’(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì f(x) đồng biến trong khoảng đó.” (Giải tích 12), thì lại nên dùng định nghĩa thứ hai. Bởi vì, khái niệm đạo hàm có liên quan trực tiếp đến tỷ số giữa số gia hàm số và số gia đối số.
Ví dụ 38: Trong môn toán, có rất nhiều bài toán mà trong quá trình giải, ta chuyển nó sang bài toán tương đương, chẳng hạn:
- Dạng bài toán tìm điều kiện của tham số để một phương trình (bất phương trình,...) có nghiệm (vô nghiệm, có nghiệm duy nhất,..) mà trong quá trình giải phải đặt ẩn phụ.
- Dạng bài toán với hình thức phát biểu tuy có liên quan đến các thuật ngữ toán học, nhưng có thể chuyển về một cách diễn đạt khác không dung đến thuật ngữ này. Chẳng hạn như bài toán: Tìm các điểm cố định của học đường cong y = mx2 – 2mx + 1.
Thực chất của bài toán này là tìm điểm A(x0; y0) sao cho y0 = 2 2 0 1 0 − mx + mx với mọi m ( 2 2 0) (1 0) 0 0 − + − = ⇔ x x m y ∀m⇔ = = ⇔ = − = − 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 y x y x x hoặc = = 1 2 0 0 y x
- Dạng bài toán tuy không có tham số, nhưng biểu thức xuất hiện trong bài toán gợi lên việc đặt ẩn phụ, và yêu cầu của bài toán ban đầu phải được chuyển hợp lý thành yêu cầu của bài toán sau. Chẳng hạn, bài toán: “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = sin2x + 4sinx + 3”. Với bài này ta đặt t = sinx, khi đó điều kiện của t là – 1 ≤ t ≤ 1. Yêu cầu của bài toán được chuyển thành: “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức t2 + 4t + 3 với t ∈ [- 1; 1]. Nhiều học sinh phát biểu bài toán: “Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức t2 + 4t + 3.”, học sinh này không ý thức được điều kiện của t, nên có kết quả sai là giá trị nhỏ nhất là – 1.
(2) Tìm nhiều cách giải quyết vấn đề khác nhau.
Ví dụ 39: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = xy + xz + yz + y2 – xt – yt Cách 1: Nhóm các hạng tử 1, 2 và 5, các hạng tử còn lại làm một nhóm
P = (xy + xz – xt) +(y2 + yz – yt) = x(y + z – t) + y(y + z – t) = (x + y) (y + z – t) Cách 2: Nhóm các hạng tử 1 với 4, 2 với 3, 5 với 6
Cách 3: Nhận xét P = 0 khi x = – y nên P chia hết cho x + y P = 0 khi t = y + z nên P chia hết cho (y + z – t)
(3) Tìm và xét cho hết các điều kiện có thể có.
Mệnh đề A ⇒ B, A và B thông thường có thể là một nhóm điều kiện.
Người ta gọi B là điều kiện cần của A. Hai mệnh đề A ⇒B và B ⇒ A có cùng chân lý (không có B thì không có A). Thế thì, vấn đề có thể đặt ra: đối với A sẽ đi đến những kết luận gì? Tức là điều kiện cần của A là những điều kiện gì? Tương tự, điều kiện đủ để có B là gì?
Ví dụ 40: Bài toán : Chứng minh rằng nếu a, b, c, d, p, q là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện p2 > a2 + b2 thì ( )2 ( 2 2 2)( 2 2 2)
d c q b a p bd ac pq− − ≥ − − − − .
Mặc dù hai vế có nhiều số hạng đồng dạng, sau khi rút gọn vẫn có thể tách thành các bình phương, tuy nhiên, nếu chuyển vế, ta sẽ phải chứng minh bất dẳng thức
(pq−ac−bd)2 −(p2 −a2 −b2)(q2 −c2 −d2)≥0. Điều này không dễ dàng chút nào ! Như vậy, khi học sinh chưa có thêm những kiến thức khác ngoài các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức (định nghĩa, tính chất, một số bất đẳng thức thông dụng) thì cho học sinh tự giải là bất hợp lý.
Nếu học sinh đã học về tam thức bậc hai, trước hết giáo viên có thể lưu ý học sinh rằng, tiến hành chuyển vế rồi khai triển là chưa hợp lý. Phải làm thế nào ?
Giáo viên có thể gợi ý, hãy coi A = pq – ac – bd, coi B là p2 – a2 – b2 và q2 – c2 – d2 = C, thế thì bất đẳng thức cần chứng minh được viết : A2 ≥ BC ⇔ A2 – BC ≥ 0.
Có thể nêu câu hỏi: Biểu thức A2 – BC gợi cho ta liên tưởng đến điều gì ? Một cái gì đó rất quen thuộc ở phần tam thức bậc hai ? Điều mong đợi sự trả lời là biệt thức Δ’.
Tiếp tục, giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện ra tam thức bậc hai có biệt thức Δ’ chính là A2 – BC. Khi đó, học sinh có thể phát hiện ra các tam thức f(x) = Bx2 ± 2Ax + C hoặc f(x) = Cx2 ± 2Ax + B. Giáo viên gợi ý quan sát giả thiết p2 > a2 + b2 ⇔ p2 - a2 - b2 > 0 (tức B > 0) để đi đến lựa chọn tam thức f(x) = Bx2 ± 2Ax + C (không chọn tam thức f(x) = Cx2 ± 2Ax + B vì không chắc rằng C ≠ 0).
Giáo viên tiếp tục đặt vấn đề: Xét tam thức f(x) = Bx2 + 2Ax + C, để chứng minh Δ’ = A2 – BC ≥ 0 đương nhiên ta sẽ không đi theo con đường trực tiếp khai
triển và rút gọn nữa, vậy có con đường nào chứng tỏ Δ’ = A2 – BC ≥ 0 mà không cần phải tính Δ’ ? Định lý nào đã học ở phần tam thức bậc hai khẳng định Δ’ ≥ 0 mà không phải tính Δ’ ?
Giáo viên mong đợi ở học sinh : Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai!
Giáo viên tiếp tục gợi ý để học sinh tìm ra một số α thích hợp sao cho Bf(α) ≤ 0 (tức là f(α) < 0), ta có: f(α) = (p2 – a2 – b2)α2 + 2(pq – ac – bd)α + (q2 – c2 – d2).
Quan sát các đặc điểm của f(α), ta thấy nó có thể tách thành các bình phương, cụ thể: f(α) = (p2 α2 + 2pqα + q2) - (a2α2 + 2acα + c2) - (b2 α2 + 2bdα + d2) = (pα + q)2 – (aα + c)2 – (bα + d)2.
- Em hãy nêu nhận xét về (pα + q)2 ? (luôn không âm)
- Có thể tồn tại α để (pα + q)2 = 0 được không ? Tại sao ? ( Có, do p2 – a2 – b2 > 0, nên p ≠ 0, chọn α =
q p
− )
- Hãy xem giá trị của f(α) khi (pα + q)2 = 0? (Khi đó f(α) = - (aα + c)2 – (bα + d)2 ≤ 0).
Giả sử nếu từ đầu ta ký hiệu A = p2 – a2 – b2, B = pq – ac – bd, C = q2 – c2 – d2 thì điều cần chứng minh sẽ là B2 – AC ≥ 0, nếu so giữa B2 – AC với A2 – BC thì B2 – AC dễ liên tưởng đến Δ’, nhưng lại “kém tự nhiên” hơn.
Chúng ta đang nói về phẩm chất linh hoạt trong tư duy, bài toán nêu trên là không dễ đối với học sinh, học sinh khó có thể tự mình hoàn toàn độc lập giải quyết. Các tình huống dạy học là vô cùng phong phú, đa dạng. Trong việc tích cực hóa hoạt động của học sinh nhằm bồi dưỡng tư duy linh hoạt thì các câu hỏi dạy học bao giờ cũng có ý nghĩa quyết định đầu tiên. Cần nhớ rằng, cũng là một câu hỏi nhưng đối với học sinh này là hợp lý, còn đối tượng học sinh khác thì không. “Nghệ thuật hỏi phải đạt tới mức độ trở thành điều khiển hoạt động của học sinh, không thể thiết lập được những câu hỏi cứng nhắc, bởi vì đó là hoạt động sáng tạo của giáo viên”.
Người giáo viên Toán phải thành thạo trong việc tìm ra điều kiện có thể có là để bồi dưỡng tư duy linh hoạt, vừa là để phát triển năng lực trí tuệ, vừa là để dạy học cho học sinh phổ thông có tư duy linh hoạt, sáng tạo sau này.