III. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh phổ thông qua dạy học môn Toán
3.1. Năng lực toán học ở học sinh
Đã có nhiều nghiên cứu về cấu trúc năng lực toán học và một trong những công trình nghiên cứu đầy đủ nhất là của V.A. Cruchetxki là công trình Tâm lý năng lực toán học của học sinh.
Theo V. A. Cruchetxki: “Những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học”.
Theo V. A. Cruchetxki, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi học sinh là như sau:
(1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học: Năng lực tri giác hình thức hóa các tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài toán;
(2) Về mặt chế biến thông tin toán học:
i) Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ thông tin, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán học;
ii) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ, các phép toán của toán học;
iii) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tương ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn;
iv) Tính mềm dẻo của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;
v) Khuynh hướng vươn tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải;
vi) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy nghịch.
(3) Về mặt lưu trữ thông tin toán học: Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, các đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng minh).
(4) Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ.
Viện sĩ A. N. Komogorov cho rằng trong thành phần của năng lực toán học có: (1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm con đường giải các phương trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc như các nhà toán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angoritmic”;
(2) Trí tưởng tượng hình học hay là “năng lực trực giác”;
(3) Nghệ thuật suy luận logic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn. Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học.
Cũng khi nghiên cứu về năng lực toán học của học sinh. E. L. Thorndike, đã đi sâu vào lĩnh vực Đại số và đưa ra các thành tố của năng lực toán học (Đại số) của học sinh:
(1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
(2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức; (3) Năng lực biến đổi các công thức;
(4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho; (5) Năng lực giải các phương trình;
(6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
(7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại lượng.
Các nhà giáo dục học Toán học Việt Nam cũng nghiêncứu năng lực toán học của học sinh. Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc (1981) trong
Giáo dục học môn Toán, viết (tr. 60-61): “Để nhận thức mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng, để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy logic, nên tư duy toán học cũng phải là sự thống nhất biện chứng giữa tư duy logic và tư duy biện chứng”.
GS, TS Nguyễn Bá Kim, trong cuốn Phương pháp dạy học môn Toán (2004) (Nxb ĐHSP) từ trang 53 -59, đã viết một cách tổng hợp về phát triển năng lực trí tuệ toán học cho học sinh, thể hiện 4 mặt:
Thứ nhất là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. Do đặc điểm của khoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn
luyện cho học sinh tư duy logic. Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra với hình thức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi bằng ngôn ngữ của con người và ngược lại, ngôn ngữ được hình thành nhờ có tư duy. Vì vậy, việc phát triển tư duy logic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác.
Thứ hai là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng. Tác dụng phát triển tư duy của môn toán không phải chỉ hạn chế ở sự rèn luyện tư duy logic mà còn ở sự phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng, Cần lưu ý hai mặt sau:
* Làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hóa quy lạ về quen;
* Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan hệ không gian và làm việc với chúng trên nhũng dữ liệu bằng lời hay những hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành, sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống.
Thứ ba là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,.. do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động này;
Thứ tư là hình thành những phẩm chất trí tuệ. Các phẩm chất trí tuệ quan trọng cần rèn luyện cho học sinh là: Tính linh hoạt; tính độc lập; tính sáng tạo.