M C= G + G C.
3. Củng cố bài học: a Qua bài học các em cần vận dụng thành thạo các tính chất của phép nhân véctơ với số.
chất của phép nhân véctơ với số.
b. Hệ thống hóa các đẳng thức véc tơ về trung điểm và trọng tâm đã học và sử dụng đợc các đẳng thức đó vào giải một số bài toán khác.
Bài tập: Bài 21- 23 - 24 - 26 - 27 - 28 trang 23 - 23, sách giáo khoa Hình học 10.
2.3.2.Biện pháp 2: Phối hợp phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề và dạy học kiến tạo đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và t duy khác nhau, để mỗi học sinh đợc làm việc với sự nỗ lực vừa sức.
Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phải thiết kế các mức độ kiến thức khác nhau, các phơng pháp dạy học khác nhau sao cho có thể đánh giá đợc càng cụ thể đợc càng tốt, qua đó có thể có thông tin phản hồi về nhận thức của học sinh sau mỗi nội dung dạy học. Khi xác định mục tiêu học tập giáo viên lấy trình độ học sinh chung của cả lớp làm căn cứ nhng phải hình dung thêm yêu cầu phân hoá đối với những nhóm học sinh có trình độ kiến thức và t duy khác nhau để mỗi học sinh làm việc với sự nỗ lực trí tuệ vừa sức mình. Cụ thể: sử dụng các phơng pháp dạy học giải quyết vấn đề chung cho cả lớp và những ph- ơng pháp dạy học kiến tạo cho nhóm đối tợng học sinh khá, giỏi. Qua đó, nâng cao tinh tích cực học tập của học sinh, làm cho mọi đối tợng học sinh đều làm việc với sự nỗ lực với sự nỗ lực trí tuệ vừa sức mình, làm cho học sinh tham gia trực tiếp, chủ động và sáng tạo trong quá trình học tập.
Trong quá trình dạy học định lí, giáo viên hoàn toàn có thể giáo dục cho học sinh khi xem xét các sự vật, hiện tợng phải xem xét một cách đầy đủ, trong tất cả các mặt, các mối quan hệ (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác. Từ đó có thể giúp học sinh tránh đợc những sai lầm của cách xem xét chủ quan, phiến diện. Giúp học sinh suy nghĩ một cách sáng tạo trong học Toán, tìm đợc nhiều hớng hay để giải quyết một vấn đề, tìm đợc cách chứng minh tối u cho một định lí hay mệnh đề Toán học.
Ví dụ 1. Dạy học định lí về trọng tâm tam giác: “G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA+GB+GC=0 (1)”. Giáo viên hớng học sinh vào việc phát hiện và chứng minh định lí và từ đó rèn luyện cho học sinh kiến tạo đợc các tri thức mới
Trớc khi học sinh học về định lí này thì các em đã biết về một tính chất của trung điểm là: "M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
0 MB MA+ = ".
Để đa ra định lí về trọng tâm G của tam giác ABC ở trên thì ta có thể đi từ cái đã biết bằng cách xem đoạn thẳng là một tam giác đặc biệt có ba đỉnh thẳng hàng chẳng hạn với C là trung điểm của AB khi đó điểm M sẽ là trọng tâm của tam giác đặc biệt đó. Nh vậy khi MA+MB=0 tức là định lí trên đúng trong tr- ờng hợp đặc biệt này. Bây giờ ta chứng minh cho tam giác bất kì.
Điều cần chứng minh: G là trọng tâm tam giác ABC tơng đơng với đẳng thức GA+GB+GC=0, bây giờ ta xem xét đẳng thức cần chứng minh để tìm ra cách chứng minh định lí.
* Nếu xem vectơ 0 dới khía cạnh là tổng của hai véctơ đối nhau ta có h- ớng chứng minh nh sau:
Ta biến đổi biểu thức GA+GB+GC
thành tổng của hai véctơ đối nhau bằng cách dựa vào tính chất của trọng tâm.
A
G
C
+ G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi G thuộc trung tuyến AM và GA = 2GM.
Dựng hình bình hành GBDC ta có M là trung điểm của GD. Và suy ra G là trung điểm của AD và ta có GA=−GD (2)
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA=−GD (2), mà theo quy tắc hình bình hành ta có: GD=GB+GC (3).
Nên (2) ⇔GA=−GB−GC⇔GA+GB+GC=0.
*) Giáo viên sử dụng các pha dạy học kiến tạo cho nhóm học sinh khá, giỏi.
Nếu đối tợng học sinh là học sinh khá giỏi, giáo viên có thể hớng học sinh suy nghĩ mở rộng định lí tổng quát hơn, giúp phát triển t duy sáng tạo cho học sinh tốt hơn nữa. Theo t duy biện chứng thì cái chung tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu thị sự tồn tại của mình, nên ta có thể tìm cái chung trong cái riêng. Vì vậy nếu ta xem định lí trên chỉ là một trờng hợp riêng của một trờng hợp tổng quát, bây giờ ta hãy tìm xem cái chung, tổng quát hơn là gì?
Nếu ta xem trọng tâm G là một điểm đặc biệt nằm trong tam giác thõa
mãn GBC GAC GAB SABC 3 1 S S S = = = . Khi đó : ) 4 ( 0 GC S 3 1 GB S 3 1 GA S 3 1 0 GC GB GA ABC ABC ABC + + = ⇔ = + +
Ta để ý rằng tổng các hệ số của biểu thức vế trái của (4) bằng SABC . Từ đó ta xem xét một kết quả tổng quát hơn nh sau:
Bài toán 1: "M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Đặt S 1= SMBC, S2= SMCA, S3= SMAB Chứng minh : S MA S MB S MC 01uuuur+ 2uuur+ 3uuur r= "
Chứng minh: A
M B
1 2 3 3 3 2 1 1 S MA S MB S MC 0 S S MA MB MC (5) S S + + = ⇔ = − −
uuuur uuur uuur r uuuur uuur uuur
Để chứng minh (5) ta dựng hình bình hành MEAF nhận MA làm đờng chéo, ME và MF
lần lợt thuộc các đờng thẳng BM, CM. Theo quy tắc hình bình hành ta có:
MA ME MF= +
uuuur uuur uuur
. Từ đó MA MEMB MFMC
MB MC
= − −
uuuur uuur uuur
Hay CME BME
1 1
S S
MA MB MC
S S
= − −
uuuur uuur uuur .
Do AE//MC và AF//MB nên 2 3
1 1 S S MA MB MC S S = − −
uuuur uuur uuur .
Từ trờng hợp riêng, ta đã mở rộng định lí ra cho trờng hợp M là điểm bất kì và ta đã có tính chất tổng quát hơn. Nhng theo phép biện chứng duy vật thì mỗi cái riêng đợc chứa đựng trong nhiều cái chung, cái bao trùm nó theo một số quan hệ nào đó và ngợc lại, nhiều cái riêng có thể chứa đựng trong cùng một cái một chung theo một mối quan hệ nào đó giữa các đối tợng. Nh vậy ta có thể mở rộng tính chất này nữa hay không nếu ta xem SMBC, SMCA, SMAB chỉ là một trờng hợp riêng của một bộ hệ số có tính chất chung đó là tổng của các hệ số đó bằng SABC? Và điểm M nằm trong tam giác chỉ là trờng hợp riêng của một điểm M bất kì? Nh vậy nếu điểm M nằm ngoài tam giác ta sẽ có kết quả nh thế nào?
Nếu điểm M nằm ngoài tam giác, chẳng hạn ta xét điểm M nằm trong miền góc tạo bởi hai tia CA và CB khi đó ta có SMBC+ SMCA- SMAB= SABC
Chúng ta sẽ có tính chất tổng quát nh sau:
Bài toán 2: "Cho M là điểm nằm ngoài tam giác và thuộc miền góc tạo bởi hai tia CA và CB. Chứng minh: S MA S MB S MC 01uuuur+ 2uuur− 3uuur r= với S 1= SMBC, S2=
SMCA, S3= SMAB”
1 2 31 2 1 2 3 3 S MA S MB S MC 0 S S MA MB MC (6) S S + − = ⇔ + =
uuuur uuur uuur r uuuur uuur uuur
Để chứng minh (6) ta dựng hình bình hành CPMQ với P, Q lần lợt nằm trên các tia MA và MB. Theo quy tắc hình bình hành ta có: MAQ MPB 3 3 MC MP MQ MP MA MQMB MA MB S S MA MB S S = + = + = +
uuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur
Vì CP//MB và CQ//MA nên SMBM= SMBC= S1, SMAN= SMAC= S2
Từ đó ta có: 1 2
3 3
S S
MA MB MC
S uuuuur+S uuuur=uuuur
Bây giờ để củng cố các định lí vừa đợc chứng minh chúng ta cho học sinh thực hiên các hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí bằng cách xem xét các tr- ờng hợp riêng đặc biệt của định lí; chẳng hạn:
Ta sẽ có kết quả nh thế nào nếu ta xem điểm M là trực tâm tam giác? Tâm đờng tròn nội tiếp tam giác? Tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác? Tâm đ- ờng tròn bàng tiếp góc C? …
Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh xây dựng các bài toán khác khi cho M là các điểm đặc biệt của tam giác.Thực ra đây là một dạng khác của định lý và tổng quát hơn. Khi ta nhìn nó dới góc độ “diện tích tam giác”. Thế mà rất nhiều học sinh khá, giỏi khi gặp bài này hầu nh không làm đợc, không biết bắt nguồn từ đâu, cái mấu chốt của nó, ở đây ngời giáo viên cần hớng dẫn cho học sinh để "quy lạ về quen".
Nhật xét 1: ở bài toán 1 kết quả không phụ thuộc vào điểm M, nếu ta thay M bởi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đờng tròn thì học sinh có thể sử dụng bài toán 1 để giải bài toán sau.
M B C A P Q
Bài toán 3: Cho ∆ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ∆ABC. Đặt BC = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng aIA bIB cIC 0uur+ uur+ uur r= (7) Giải vắn tắt: áp dụng bài toán 1, ta có:
+ +
uur uur uur
1 2 3