II. Tổng quan về phép nhân tenseur
k (M) ⊗ε (M) ⊗ e*(M)
Nhớ lại rằng tích tensen gắn liền với tính chất thực của đại l−ợng mà ta xét, nó đ−ợc suy ra từ các quy tắc đổi cơ sở.
Nh− vậy nếu một điểm M mà ta định nghĩa trong cơ sở mới ei (M) = αij j e (M) các thành phần của T sẽ là: TIJ k = βiI βjJαk Ktij k với [β] = [α]-1
Ta đã định nghĩa tính tenseur tại một điểm M.
Nếu bây giờ đại l−ợng T là thực định nghĩa tại tất cả các điểm M của không gian, hoặc một miền của không gian, đó chính là một tr−ờng tenseur. Ví dụ: Nhiệt độ và một tr−ờng điện từ, mà ta có thể đo và biểu diễn tại các điểm khác nhau của khả năng, lần l−ợt cấu tạo nên một tr−ờng vô h−ớng (tenseur bậc 0) và một tr−ờng vectơ (tenseur bậc 1)
θ(M) và B(M).
Từ đây, ta có thể khai triển tr−ờng tenseur tại mỗi điểm M trên cơ sở đã định nghĩa tại điểm đó:
T(M) tijk(M) (εi ⊗εi ⊗ ε*k)(M)
Nh−ng ta có thể so sánh “giá trị” T(M1) và T(M2) của tr−ờng tại 2 điểm khác nhau hay không?
Điều đó chỉ có thể tiến hành nếu ta so sánh 2 cơ sở đã định nghĩa tại 2 điểm này, ví dụ khai triển εi(M1) trên εi(M2). Ta thấy rằng việc này là có thể làm đ−ợc nhờ phép tịnh tiến cho phép đ−a εi(M2) về M1. Có nghĩa là, nhờ tịnh tiến, ta có thể khai triển bất kì vectơ nào, định nghĩa tại bất kì điểm nào, trên cơ sở chuẩn định nghĩa ở bất cứ điểm nào khác.
* Việc ghi nhớ điều này là rất quan trọng bởi nó bị loại bỏ trong các không gian không phải là không gian Eulide.
toạ độ thẳng. Nh− vậy, các thành phần của T có dạng là các hàm của toạ độ của điểm M.
T = tijk(xl)εi⊗εi ⊗ ε*k)(M) , với OM = xlεl(o) C. Vi phân của một tr−ờng tenseur
Nhờ hệ toạ độ thẳng và phép tịnh tiến mà ta có thể so sánh các giá trị của một tr−ờng tenseur tại 2 điểm. Đặc biệt, ta có thể xác định gia số giữa 2 điểm:
T(M’) - T(M)= [tij
k (M’)- tij