(M) ⊗ε (M) ⊗ e*(M)

II. Tổng quan về phép nhân tenseur

k (M) ⊗ε (M) ⊗ e*(M)

Nhớ lại rằng tích tensen gắn liền với tính chất thực của đại l−ợng mà ta xét, nó đ−ợc suy ra từ các quy tắc đổi cơ sở.

Nh− vậy nếu một điểm M mà ta định nghĩa trong cơ sở mới e_i (M) = α_ij j e (M) các thành phần của T sẽ là: TIJ k = β_iI β_jJαk Ktij k với [β] = [α]-1

Ta đã định nghĩa tính tenseur tại một điểm M.

Nếu bây giờ đại l−ợng T là thực định nghĩa tại tất cả các điểm M của không gian, hoặc một miền của không gian, đó chính là một tr−ờng tenseur. Ví dụ: Nhiệt độ và một tr−ờng điện từ, mà ta có thể đo và biểu diễn tại các điểm khác nhau của khả năng, lần l−ợt cấu tạo nên một tr−ờng vô h−ớng (tenseur bậc 0) và một tr−ờng vectơ (tenseur bậc 1)

θ(M) và B(M).

Từ đây, ta có thể khai triển tr−ờng tenseur tại mỗi điểm M trên cơ sở đã định nghĩa tại điểm đó:

T(M) t^ij_k(M) (ε_i ⊗ε_i ⊗ ε*k)_(M)

Nh−ng ta có thể so sánh “giá trị” T(M₁) và T(M₂) của tr−ờng tại 2 điểm khác nhau hay không?

Điều đó chỉ có thể tiến hành nếu ta so sánh 2 cơ sở đã định nghĩa tại 2 điểm này, ví dụ khai triển ε_i(M₁) trên ε_i(M₂). Ta thấy rằng việc này là có thể làm đ−ợc nhờ phép tịnh tiến cho phép đ−a ε_i(M₂) về M₁. Có nghĩa là, nhờ tịnh tiến, ta có thể khai triển bất kì vectơ nào, định nghĩa tại bất kì điểm nào, trên cơ sở chuẩn định nghĩa ở bất cứ điểm nào khác.

* Việc ghi nhớ điều này là rất quan trọng bởi nó bị loại bỏ trong các không gian không phải là không gian Eulide.

toạ độ thẳng. Nh− vậy, các thành phần của T có dạng là các hàm của toạ độ của điểm M.

T = t^ij_k(x^l)ε_i⊗ε_i ⊗ ε*k)_(M) , với OM = x^lε_l(o) C. Vi phân của một tr−ờng tenseur

Nhờ hệ toạ độ thẳng và phép tịnh tiến mà ta có thể so sánh các giá trị của một tr−ờng tenseur tại 2 điểm. Đặc biệt, ta có thể xác định gia số giữa 2 điểm:

T(M’) - T(M)= [tij

k (M’)- tij