II. Tổng quan về phép nhân tenseur
CHƯƠNG II I: CÁC PHẫP BIẾN ĐỔI TENSEUR
I. Đẳng thức của 2 tenseur:
Hai tenseur cùng dạng nếu chúng đ−ợc cấu tạo nên từ các phần tử giống nhau của không gian mà chúng thuộc về. Chúng ta cần phải định nghĩa mối quan hệ t−ơng đ−ơng giống nh− mối quan hệ của các vectơ hình học.
Trong tất cả các cơ sở, 2 vectơ có cùng dãy thành phần. Sự bằng nhau của các tenseur đ−ợc suy ra từ đẳng thức của các dãy thành phần, viết không có dấu ngoặc.
Ví dụ : U ∈ R3⊗R3 ⊗ R3* và v ∈ R3⊗R3⊗ R3*
Nếu U = uijkei ⊗ ej ⊗ e*k và v = vijk ei ⊗ ej ⊗ e*k)
Đẳng thức u= v đ−ợc viết (đ−ợc hiểu là ∀ i,j , k) Chú ý: Sự sắp xếp các chỉ số giống nhau ở 2 bên dấu “=” là hoàn toàn cần thiết. Hơn nữa, mặc dù đã có sự đồng nhất về mặt toán học của không gian đẳng cấu giữa chúng, thì các định luật vật lý sẽ từng b−ớc đặt ra cho ta tính đồng nhất chiều vật lý của các đại l−ợng có liên quan.
II. Phép cộng tenseur:
Chúng ta đã sử dụng cũng nh− xem xét về sự độc lập tuyến tính của các tenseur.
Một cách tổng quát: T = λu + à v đ−ợc viết lại tijk = λuijk+ à vijk
Phép biến đổi này còn liên quan tới các tenseur cùng dạng. III. Tích tenseur của 2 tenseur:
Ta có thể tiến hành với 2 tenseur không cùng dạng. Ví dụ: u = uijk ei ⊗ ej ⊗ e*K và v = vik ei ⊗ e*j ⇒ T =u ⊗ v ∈ (R3⊗R3⊗ R3*) ⊗ (R3⊗R3*) ≡ R3⊗R3⊗R3*⊗ R3⊗ R3* uij k =vij k
do T = [uijk(ei ⊗ ej ⊗ e*k)] ⊗ [vlm(el ⊗e*m)] = uijk vlm (ei ⊗ej ⊗ e*k ⊗ el ⊗ e*m)
Bậc của tenseur mới bằng tổng bậc của 2 tenseur ban đầu. IV. Phép chập của một tenseur hỗn hợp:
A. Định nghĩa: Xét một tenseur hỗn hợp, ví dụ: uijklm tại i và k, nếu với mỗi tổ hợp của các chỉ số khác (j, l, m), ta tiến hành lấy tổng của các số hạng có cùng chỉ số i và k. ∑ = 3 1 i uijilm = u1j1lm + u2j2lm + u3j3lm ∀ j, l, m B. Định lý:
Dãy mới nhận đ−ợc wilm là một tenseur và ta gọi wilm là tenseur chập tại i và k của tenseur uijklm
Tenseur mới mất đi một phản biến và một hợp biến đồng thời số bậc cũng giảm đi 2.
Xét tính tenseur của wilm:
Khi có sự thay đổi cơ sở uijklm sẽ trở thành: UIJKLM= I i b bJj akK blL aMmuijklm Ta tiến hành phép chập (ví dụ với chỉ số I) ta có: WJLM = UIJKLM = I i b bJj akI L l b aMm uijklm hay I i b ak I = ak I bI i = [AB]k i δk i WJL M= J j b blL aMmδik uij klm= J j b blL aMmuij ilm = J j b blLaMmuil m Dãy chập WJI
M, đ−ợc định nghĩa trong cơ sở mới, đ−ợc suy ra từ một dãy chập ứng với wjlm trong cơ sở cũ theo luật biến đổi dãy tenseurr. Dãy wjln định nghĩa một tenseur mới.
Chú ý: Chúng ta nhớ rằng một dãy tenseur hay một dãy thành phần của một vectơ của R3 biểu diễn một đại l−ợng thực (inteinsèque) mà biểu thức hoàn chỉnh của nó đ−ợc khai triển d−ới dạng: tijklm (ei
⊗ej ⊗e*k ⊗ el ⊗ e*m) cho một tenseur, hoặc vi
i
Trong ví dụ mà chúng ta xét ở trên, việc hợp tenseur đ−ợc tiến hành trong biểu thức của đại l−ợng thực uijklm (2 lần hợp biến, 3 lần phản biến), đã cho ta một đại l−ợng thực mới wjl
m (tenseur 2 lần phản biến và một lần hợp biến.
C. Hai tr−ờng hợp đặcbiệt quan trọng
a. Chúng ta đã định nghĩa các tenseur từ tích tenseur của tối thiểu 2 không gian của R3 hoặc R3*. Các tenseur này đều có số bậc lớn hơn 2. Việc chập tenseur cho ta một dãy tenseur của các thành phần của một tenseur có số bậc nhỏ hơn số bậc của tenseur ban đầu là 2.
Cho một tenseur bậc 3 tijk. Chập các chỉ số j và k: vi = tijj . Ta có đ−ợc dãy vi với một chỉ số duy nhất biến đổi theo cách phản biến, nh− là chỉ số i của tijk. Chúng ta định nghĩa kết quả vừa có đ−ợc nh− là một tenseur bậc 1 và các thành phần trong cơ sở mới là .Dãy (vi) là phản biến nên nó là dãy thành phần của một vectơ thuộc R3.
Kết luận: Các vectơ của R3 là các tenseur bậc 1 phản biến. Theo một cách t−ơng đồng ng−ời ta chứng minh đ−ợc rằng các vectơ của R3*
có thể đ−ợc xem nh− là các tenseur bậc 1 hợp biến. b. Xét một tenseur hỗn hợp bậc 2 i
j
c . Chập các chỉ số i, j cho chúng ta một vô h−ớng . Sau này ta sẽ thấy vô h−ớng này là bất biến khi cơ sở thay đổi: đây là vô h−ớng thực (Scalaire inteinsèque). Ta có thể xem xét nh− sau: cI J = I i b aJj i j c chap ⇒ cI I = I i b aiI i j c = ( j J a biI) i j c = i j δ i j c = ci i = p
Nh− vậy các vô h−ớng thực đ−ợc xét nh− là những tenseur bậc 0. Chú ý: Dãy tenseur i
j
c hay ( i j
c ) đ−ợc xem nh− là dãy các phần tử của ma trận kết hợp với toán tử c.
Phép chập ci
i cho ta tổng các phần tử nằm trên đ−ờng chéo chính. Tổng này là bất biến với sự thay đổi của cơ sở.
vI= I i
b vi
tijklm → uiklmp = tijklmip → vklm= ujklmj → wk = vkll
Kết quả nhận đ−ợc không phụ thuộc vào số bậc của các tenseur mà chúng ta thực hiện các phép chập liên tiếp.
[ ] ∑ ∑[ ] ∑ ∑ = = = = = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∑ 3 1 3 1 3 1 3 1 ... j l l lij k ij i j l lij k ij t t Ta có thể viết tất cả các phép chập nh− sau: wk = tij kllij
Bởi vậy, kết quả có thể phụ thuộc vào cáh mà chúng ta chọn chis để tiến hành phép chập. Ví dụ:
Nếu ta chọn tenseur tijk và thực hiện phép chập ta sẽ có 2 vectơ thuộc R3 ui = tijj và vi = vjij Khai triển: t11 1 = 1 ; t11 2 = 0, t11 3= 0, t12 1 = 2 , t12 2 = 3, t12 3= 0 t211 = 1 ; t212 = 0, t213= 0, t221 = 2 , t222 = - 3, t223= 0 và t3j k = 0 ∀ j và k; thậm chí ti3 j = 0 ∀ i và j. Ta có đ−ợc: u1= t1j j = t11 1 + t12 2 + t12 3 + t13 3= 1+3+0 = 4 u2= t2jj = t211 + t222 + t233 = - 1 +3+0 = - 4 ⇒ u=4ei-4 e2+0e3 u3 = t3jj = 0 v1= tj1j = t111 + t212 +t313= 1-2+0 = -1 v2= tj2 j = t12 1 + t22 2 + t32 3 = 2-3+0 = - 1 ⇒ u=4ei-4 e2+0e3 v3 = tj3j = 0 Ta nhận đ−ợc u ≠ v
E. Chỉ tiêu của tenseur: Xét ví dụ sau: Ta có dãy : tij
k l
m và một tenseur tối thiểu 3 lần hợp biến hoặc tối thiểu là 2 lần phản biến (ví dụ: vijk)
Nếu, với tất cả các dãy tenseur vijk, phép chập toàn bộ với tijklm cho ta một dãy tenseur thì tijklm là một tenseur. Chú ý rằng cách kết hợp
các chỉ số của v với các chỉ số của t là có khác biệt tuy nhiên miễn là tất cả các chỉ số của v đều đ−ợc chập.
áp dụng chỉ tiêu này vào tr−ờng hợp mà ta đã xét: toán tử c chuyển tất cả các vectơ v ∈ R3 thành một vectơ khác cũng thuộc R3:
u = c(v).
Ta kí hiệu ui = i j
c vj (1)
Xét thấy vế phải của (1) ta có chập hoàn toàn của một dãy tenseur vj (với một chỉ số duy nhất) với dãy i
j
c .
Với tất cả dãy vj (nói cách khác là với vectơ v) chúng ta thu đ−ợc một dãy ui có tính chất của một tenseur bởi đây là dãy các thành phần của một vectơ thuộc không gian R3. Từ đó, ta có thể suy ra i
j
c là một dãy tenseur.
Chú ý: a) các vectơ vô cùng nhỏ không cấu tạo nên một cách hoàn toàn không gian R3 bởi không gian này còn bao gồm cả các vectơ hữu hạn. Nh− vậy ta có thể thiết lập một song tuyến giữa các vectơ vô cùng nhro với các vectơ hữu hạn thông qua hằng số 2 vô cùng nhỏ có cùng số bậc với dvi.
Ta có mối liên hệ : vi= (ε
1
) dvi
Một cách đồng nhất, tất cả các vectơ hữu hạn vi có thể kết hợp với một dịch chuyển dM có thành phần dvi = εvi.
Bởi vậy, mối quan hệ về dạng dui = i j
c dvj là t−ơng đ−ơng với ui=
i j
c vi với dui = εui và dvj = 2vj.
Nh− vậy là chỉ tiêu mà chúng ta xét tới cũng phù hợp với các vectơ vô cùng nhỏ.
b. Trong thực tế, không nhất thiết phải tiến hành chập với tất cả các chỉ số của dãy phụ để chỉ tiêu có giá trị. Ta có thể nói một cách ví
Nếu dãy uklmr = tijklm vijr là một tenseur với tất cả các giá trị của dãy tenseur (vijr) thì (tijklm) là một tenseur. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta luôn muốn có đ−ợc một dãy u có ít chỉ số và đó chính là lí do mà ta tiến hành phép chập tối đa.
c. Chúng ta đã kí hiệu tất cả các dãy không có dấu ngoặc đơn và các vectơ bởi các dãy thành phần.
G. Phép hạ chỉ số:
Xét một dãy tenseur với n chỉ số, p lần phản biến và (n=p) lần hợp biến, ví dụ tij
k. Tiến hành nhân chập một trong các chỉ số phía trên của dãy này (ví dụ là chỉ số thứ hai) với một chỉ số của dãy gij. Chỉ số chập là tuỳ ý bởi dãy này có tính đối xứng. Ta thu đ−ợc một tenseur mới:
ujik = gihtikk
Số bậc của tenseur này cũng là 3 giống nh− tihk nh−ng nó lại có nhiều hơn 1 chỉ số phản biến.
Ta biết rằng tồn tại cn
p = 3 dãy tenseur có cùng bậc, cùng biến và các phần tử t−ơng đồng của nó bằng nhau trong mọi cơ sở:
ujik = u’ijk = u”iki
Chúng chỉ khác nhau ở vị trí của các chỉ số.
Xét trong các dãy này một dãy mà chỉ số của nó có nguồn gốc từ gij chiếm cùng vị trí mà chỉ số phía trên đã mất đi trong tij
k
u’i
jk = gih tih k
Ta nói rằng, dãy này thu đ−ợc bằng cách hạ chỉ số thứ hai của tijk. Một cách quy −ớc, ta biểu diễn dãy mới bằng cùng các kí tự so với dãy ban đầu mà không có bất kì một sự thay đổi nào về vị trí
tijk = gihtihk
T−ơng tự ta có thể tiến thành với các chỉ số còn lại. Nh−ng ta cần phải hiểu rằng 2 tenseur ti
jh và tij
k là hoàn toàn khác nhau.
H. Nâng chỉ số: Hoàn toàn t−ơng tự ta có thể nâng chỉ số của một vectơ với sự trợ giúp của vectơ gij.
tijk = gkhtijh Ta có thể nhận thấy: tij k = gih thi k ; t’ij k= gih thj k t’ijk = gihghr trjk = δi r tkjk = tijk
Chú ý: a. Trong một cơ sở trực chuẩn : gij = δij và gij = δij. Kết quả là các tenseur đ−ợc thu gọn nhờ phép nâng và hạ chỉ số có các thành phần t−ơng đồng bằng nhau về ph−ơng diện số.
b. Ma trận chuyển từ các thành phần hợp biến sang các thành phần phản biến vi= gih vh(quan hệ đảo vi = gihvi) là một toán tử nâng chỉ số.
c. Khi ta chập hai chỉ số, ta có thể đảo thứ tự chiều cao của các chỉ số này. Ví dụ với các chỉ số j và k của tij
k, ta có thể thu đ−ợc một kết quả t−ơng tự khi bắt đầu t−
tikk = gih gkr tihr Ta có: ti jj = gih gjrtih r = δr htih r= tih h= tij j Mặt khác ta đã biết : ui vi= ui vi= u . v
d. Khi ta tiến hành hạ một chỉ số (ví dụ là chỉ số thứ 2 của tij k) ta sẽ viết đ−ợc tenseur cuối cùng sau khi thực hiện phép hạ: tijk .
tiik=gjr tirk
ở đây ta đã sử dụng kí hiệu chuyển a r n (có thể là h, s, t ) cho chỉ số câm. Chỉ số tự do đ−ợc bảo toàn (ví dụ j) đ−ợc giữ trong gij .
TểM TẮT CHƯƠNG III
1. Các phép toán trên tenseur - Đẳng thức: tijk= vijk ∀ i, j, k - Tổng : tij k= vij k+ wij k Một cách tổng quát hơn ta có: tij k= λ vij k+ à wij k
- Chập tenseur: tij = vjljl
Bậc của tenseur chập bằng bậc tenseur ban đầu trừ 2.
- Phép nhân chập tenseur: kết hợp của phép nhân và phép chập
- Hạ chỉ số: tijk= giltljk
2. Chỉ tiêu tenseur: Nếu phép chập (trong thực tế là chập hoàn toàn) của một dãy tenseur phụ với dãy cần kiểm tra, với tất cả các giá trị của dãy phụ, để dãy mới là một tenseur thì dãy cần kiểm tra cũng là một tenseur.
3. Các vectơ của R3 và của R3* là những tenseur bậc 1, lần l−ợt là phản biến và hợp biến.
4. Các vô h−ớng thực là một tenseur bậc 0.
5. Sự hoán vị ngang của các chỉ số của một dãy tenseur cho ta các dãy tenseur có cùng biến và các thành phần t−ơng đồng bằng nhau:
tijkl ∈ R3⊗R3*⊗ R3*⊗R3 ∀ i, j, k, l: vji kl = ti jkl trong đó vji kl ∈ R3*⊗R3 ⊗ R3*⊗R3 vjilk = tijkl trong đó vjilk ∈ R3*⊗R3 ⊗ R3⊗R3*