Khái quát chung:

II. Tổng quan về phép nhân tenseur

b. Khái quát chung:

Theo cách t−ơng đ−ơng, nếu một dãy nào đó của 9 vô h−ớng, hàm (dãy) của cơ sở (ei) của R3 và các phần tử đ−ợc xác định vị trí qua chỉ số đôi, đ−ợc biến đổi theo cách mỗi chỉ số, đ−ợc kết hợp với các phần tử của ma trận A hoặc ma trận đảo, ta nói rằng dãy này thuộc tenseur.

Điều đó có nghĩa là ta có thể biểu diễn dãy này, một trong chúng là gốc, vật lý hay toán học, nh− là dãy của các thành phần của một tenseur.

Ta sẽ bố trí các chỉ số ở độ cao ứng với biến của nó. Ba tr−ờng hợp có thể đ−ợc biểu diễn theo sự biến đổi bởi sự thay đổi cơ sở gây ra:

Ta nói rằng dãy này là hai lần hợp biến và ta sẽ viết 2 chỉ số ở d−ới. Dãy (cij) có thể đ−ợc xem nh− là dãy của thành phần của một phần tử:

C = cij (e*i ⊗ e*j) ∈ R3*⊗R3* Chúng ta có đặc tính đầu tiên của (cij):

C = CIJ(E*I ⊗E*J) với CIJ = i I a aJjcij 2. Hai lần ma trận B:

Dãy là 2 lần phản biến ta viết:

C = cij(ei ⊗ ej) ∈ R3⊗R3 và CIJ= I i b bIjcij 3. Một lần A và một lần B

Tr−ờng hợp này ứng với ví dụ mà chúng ta xét ở trên. Khi đó dãy là một lần hợp biến và một lần phản biến. Ta nói rằng: dãy là hỗn hợp. Khi đó ta có: C= i j c (ei ⊗e*i) ∈ R3⊗R3* với I J C = I i b aiI cij C= cji (e*j ⊗ ei) ∈ R3*⊗R3 với I J C = j J a bIj cij c. Hệ quả:

Để một dãy có tính tenseur thì điều kiện cần và đủ là dãy đó phải là hàm của cơ sở đã chọn trong R3 và rằng sự biến đổi bởi sự thay đổi có sở, với mỗi chỉ số, có dạng phản biến hoặc hợp biến.

E. Một vài ví dụ cơ bản:

a. Dãy các phần tử của một ma trận chuyển cơ sở:

Chúng ta đã thấy dãy của các phần tử của ma trận kết hợp với một cấu tử có tính chất của một tenseur. Và chúng ta cũng biết ma trận cũng có thể dùng để viết những quan hệ chuyển cơ sở. ở trên, ta đã xét đến 2 ma trận A và B.

Dãy các phần tử của một ma trận đổi cơ sở có tính tenseur hay không? Tr−ớc hết phải trả lời là không. Trong thực tế, một ma trận nh− vậy đ−ợc dùng để chuyển từ một cơ sở đ−ợc xác định bởi (ei) sang một

cơ sở khác đ−ợc xác định bởi (EI ). Dãy các phần tử này chỉ có một nhiệm vụ là liên kết hai cơ sở đặc biệt với nhau mà thôi.

Dãy này không phải là hàm của cơ sở biểu diễn R3. b. Dãy Keoneckơ i j δ hỗn hợp Xét dãy Keonecker 2 chỉ số ( i j δ ) đ−ợc định nghĩa: i j δ = 1 với i = j = 0 với i ≠ j

Ta xem xét dãy này có tính chất của một tenseur hay không? Hay nói một cách khác đi: Xét một tenseur T ∈ R3⊗R3* và có các thành phần trong một cơ sở đặc biệt (ei) là i

j

δ . Các đặc điểm này có biến đổi với các cơ sở khác nhau hay không?

Ta có T = i j t (ei ⊗ e*j) với i j t = i j δ

Trong một cơ sở khác bất kì (EI), với EI = i I a ei, những thành phần mới của T là: I J T = I i b aJj tij = I i b aJjδji

Ta tiến hành lấy tổng theo j: với mỗi sự lựa chọn các chỉ số khác nhau: I, J, i thì tổng này bao gồm 3 số hạng bởi vì j = 1, 2, 3. Nh−ng trong 3 số hạng này thì có 2 nhận giá trị bằng 0 (do i ≠j).

Nh− vậy, I J T = I i b i J a x 1 = I i b i J a

Nếu ta lấy tổng theo i, tích của 2 ma trận B và A có dạng

IJ J T = I i b i J a = [BA]I J

Bởi vì B = A-1 nên tích BA cho ta một ma trận đơn vị của phần tử

IJ J

δ .

Trong hệ cơ sở mới ta còn I J T = I

J

δ

Nh− vậy, luôn tồn tại một tenseur nhận ( i j

Lần này chúng ta xét tính tenseur của một dãy Keonecker có 2 chỉ số cùng đ−ợc kí hiệu phía d−ới.

Nh− tr−ớc đây chúng ta sẽ xét tenseur T = tij(e*i ⊗e*j) của R3*⊗R3* mà các phần tử của nó bằng δij trong một cơ sở đã cho. Dãy (tij) là 2 lần hợp biến. Ta có: TIJ = i I a aJjtij = i I a aJjδij

Ta có thể viết theo cách sau: TIJ = ∑ = 3 1 i i I a aJi (do ta chỉ xét tr−ờng hợp i = j ⇒ δij = 1

Do chỉ số câm xuất hiện 2 lần ở phía trên nên ta phải giữ lại dấu

Σ.

Ta tính tổng theo i theo cách sau: ta nhân phan tử thuộc cột I với phần tử thuộc cột J trên cùng hàng i. 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 a a a a a a a a a ↔ ↔ ↔ + Nh− vậy T = T23 = 3 3 3 2 2 3 2 2 1 3 1 2a a a a a a + +

Kết quả nhận đ−ợc không cho ta TIJ = δIJ. Vậy dãy (δij) không có tính chất của một tenseur.

Tiến hành t−ơng tự ta có cùng một kết quả với (δij). Với những ví dụ mà ta vừa xét, ta thấy rõ vai trò quan trọng của các chỉ số khi ta tiến hành thay đổi cơ sở.

d. Tenseur cơ bản và dãy (gij):

Xét dãy (gij) của 9 tích vô h−ớng của các vectơ cơ sở (ei): gij = ei. ej

Dãy này là đối xứng với 2 chỉ số bởi gij= gji. Điều này có nghĩa là

i e .ej = ej.ei . = T23 → → → 3 3 3 2 2 3 2 2 1 3 1 2 a a a a a a

Nếu ta xác định tất cả các tích vô h−ớng đối với mọi cơ sở của R3, ta sẽ đ−ợc một dãy 2 chỉ số, là làm của cơ sở đã chọn trong R3. Ta tiến hành xét tính tenseur của dãy này.

Trong một cơ sở khác các thành phần đ−ợc viết: GIJ = EI . EJ với EI = i J a ei Ta có: GIJ= EI.EJ = ( i I a ei). ( i J a ej)= i I a aJj ei.ej= i I a aJjgij

Khi cơ sở thay đổi, các chỉ số i, j biến đổi theo quy tắc hợp biến. KL: Dãy (gij) có tính chất của một tenseur: dãy này cấu tạo nên dãy các thành phần của một tenseur gij (e*i ⊗e*j) ∈ R3*⊗R3*. Tenseur này gọi là tenseur cơ bản trên R3.

Điều quan trọng hàng đầu về mặt hình học đó là việc nhận viết 9 tích vô h−ớng gij xác định chiều dài vectơ cơ sở và các góc mà chúng đôi một hợp thành.

Trong thực tế, ei . ej chính là gij:

Khi chúng ta tính toán gij trong cơ sở đã dùng thì chúng ta đã rút gọn các thành phần hợp biến của vectơ v.

Tuy nhiên cần chú ý khi viết tích vô h−ớng của hai vectơ u và v.

u.v= (ui ei). (vJvj)= uivj (ei.ej) = uivigij Với vj gij = vi. Ta rút gọn lại u.v=uivi

Nh−ng ta cũng có thể tiến hành: uigij = uj (tính đối xứng của gij cho ta: uigij≡ uigji). Từ đó u.v=ujvj

Ta nhận thấy lợi ích trong việc có thể tính toán một cách đơn giản các thành phần hợp biến của các vectơ xuất phát từ gij, đó là việc rút gọn đơn giản tích vô h−ớng của 2 vectơ:

j

Điều này đúng với mọi cơ sở (ei) mà không nhất thiết phải là cơ sở trực giao.

Xét tr−ờng hợp đặc biệt khi cơ sở trực giao, ta có gij = ei.ej= δij . Vậy thì ui= gijuj = uj. Mỗi thành phần hợp biến bằng một thành phần phản biến t−ơng ứng. Ta rút gọn: u. v = ui vi 3 1 = = i Σ uivi và nhận đ−ợc tổng các thành phần cổ điển trong cơ sở trực giao.

Chú ý: Khi gij = δij, đặc tính tenseur của (gij) không kéo theo đặc tính của tenseur của (δij). Sự bằng nhau của 2 dãy này không có bất kì đặc điểm đồng nhất nào bởi chúng chỉ đ−ợc thực hiện trong cơ sở đặc biệt là hệ cơ sở trực giao.

e. Dãy (gij): Nếu ta quy −ớc biểu diễn một chỉ số là chỉ số cột và chỉ số còn lại là chỉ số dòng thì (gij) sẽ đ−ợc biểu diễn d−ới dạng ma trận. Trong thực tế ta thấy (gij), 2 lần hợp biến, không có bất cứ một sự đổi cơ sở nào cũng nh− không kết hợp với bất cứ một toán tử nào.

Tính đối xứng của gij cho ta 2 khả năng kết hợp chỉ số dòng và cột hoàn toàn tuỳ ý.

Xét ví dụ sau với quy −ớc chỉ số bên phải là chỉ số cột và bên trái là chỉ số dòng.

g11 g12 g13 [gij] = g21 g22 g23 g31 g32 g33

Ng−ời ta chỉ ra rằng, nh− sẽ chấp nhận nó sau này, tính độc lập tuyến tính của (ei) đảm bảo tính chất trên của ma trận [gij]. Ta quay trở lại với kí hiệu có thể đảo lại với mọi vectơ v, có một song ánh giữa các vectơ của R3 và các đẳng cấu của nó trong R3*.

Ma trận [gij] chấp nhận một sự đảo ng−ợc mà chúng ta sẽ kí hiệu [gij] . Ma trận này cũng đối xứng.

Tích của hai ma trận đ−ợc viết một lần: gijgjk= δi

k(ma trận đơn vị) hoặc gjigjk= δi

k có tính tới tính đối xứng của hai ma trận.

Trong cơ sở mới (EI ), các dãy đ−ợc biến đổi từ (gij) và (gij) lần l−ợt là (GIJ) và (GIJ), với định nghĩa: GIJ GJK= δI k Nh−ng chúng ta đã thiết lập đ−ợc: GJK = k ik K j ka g a , từ đó ta rút ra: GIJgjk j J a akK = I K δ

Nhân cả hai vế với bki đồng thời tính tổng theo K: GIJgik j J a akK biK = I K δ K i b Tích k K a biK cho ta k i δ . Ta chỉ giữ lại phần tử k i

δ với (k = i). T−ơng tự I K δ K i b cho ta I i b →

Tiếp tục nhân 2 vế với gik đồng thời tính tổng theo i: GIJgji gik j J a = I i b gik Ta có gji gik = k j δ ⇒ GIJ K J a = I i b gik Nhân cả 2 vế với K k b và sử dụng K J a bkK= K J δ ⇒

Hai chỉ số biến đổi theo cách phản biến: dãy (gij) là một tenseur có nghĩa là ∃ một phần tử gij(ei ⊗ej) ∈ R3⊗R3

T−ơng tự với không gian R3* ta có: gij = e*i. e*j Ta có GIJ = E*I. E*J = ( I i b e*i). ( I j b e*j) = I i b bIjgij

Bây giờ ta có thể tiến hành nhân vô h−ớng hai vectơ của R3* là u* = uie*i với v*= vie*i u*v*= (ui e*i) (vj e*j) = uivj (e*i e*j) = ui vj gij Nh−ng v = g vK ⇒ u* v* = uv gjk= ug vKgjK = uvi GIJgji j J a = I i b GIK= I i b bkKgik

Với định nghĩa này, tích vô h−ớng của hai vectơ của R3 bằng tích vô h−ớng trong R3* của 2 vectơ đẳng cấu với nó.

F. Từ vựng và các cách kí hiệu:

Ta phải thừa nhận rằng việc xây dựng những quy −ớc thống nhất về tenseur là rất tiện lợi cho công tác tính toán.

Một tenseur hoàn toàn có thể đ−ợc định nghĩa bởi dãy các thành phần trong cơ sở chuẩn kết hợp với một cơ sở của R3. Một dãy đ−ợc đánh số biến đổi khi cơ sở bị chuyển đ−ợc coi nh− là một tenseur. Nh− vậy, việc tính toán tenseur sẽ dẫn tới việc thao tác trên các dãy đ−ợc đánh số.

Đặc biệt, một tenseur quy −ớc viết T = i j

t (ei ⊗e*j) sẽ đ−ợc biểu diễn bởi dãy ( i

j

t ). Ta có thể đọc là “tenseur i j

t n. T−ơng tự, đẳng thức giữa 2 vectơ T = i

j

t (ei ⊗e*j) và i j

r

R= (ei ⊗e*j) t−ơng đ−ơng với ( i

j

t ) = (rji). Hay ta có thể viết đơn giản là:

ngoại trừ tr−ờng hợp ta quy −ớc chỉ số nghịch. Một số cách viết:

Một tenseur trong (inteinsèque) tr−ớc tiến phải là một bất biến với sự thay đổi cơ sở cho dù ta nói “tenseur tijn 2 lần phản biến bởi các chỉ số của dãy (tij) biến đổi với ma trận B = A-1.

- tij đ−ợc gọi là 2 lần hợp biến - i

j

t và tji đ−ợc gọi là một lần phản biến và một lần hợp biến. Ta còn gọi đây là các tenseur hỗn hợp.

- Các tenseur hỗn hợp có thể có các dạng: - i

j

t là một phần tử của R3⊗R3*

- tji là một phần tử của R3*⊗R3

III. Tích tenseur của n không gian A. Tích của nhiều hơn hai không gian :

i j i

j r

Nh− ta đã biết phép nhân tenseur cho phép ta có đ−ợc những phần tử của một dạng mới, là kết hợp một cách đơn giản 2 phần tử thuộc các không gian vectơ không nhất thiết phải đồng dạng. Những tiên đề (đặc biệt là tiên đề về tính độc lập tuyến tính) cho ta khả năng tạo ra một không gian có dạng một không gian vectơ.

Phép nhân tenseur có thể đ−ợc tiến hành giữa các phần tử của các không gian bất kì hay ta có thể nói tích tenseur R3⊗R3; R3*⊗R3; R3⊗R3*; R3*⊗R3* là các không gian vectơ.

Ta kí hiệu không gian mới (R3⊗R3*) ⊗ R3 với 27 phần tử độc lập tuyến tính (ei ⊗ e*j)⊗ek . Không gian này là tích tenseur của 3 không gian, mỗi thừa số trong chúng có thể là R3 hay R3*.

Nh−ng phần tử của không gian này cũng đ−ợc gọi là tenseur, có thể đ−ợc biểu diễn bởi dãy thành phần trên cơ sở chuẩn (ei ⊗e*j) ⊗ek . Dãy này đ−ợc kí hiệu bởi 3 chỉ số.

T = i

j

t k [(ei ⊗e*j) ⊗ek ] ∈ (R3⊗R3*)⊗R3

Trong tr−ờng hợp thay đổi cơ sở, quy tắc viết nh− sau: (EI ⊗E*J) ⊗ Ek = i I a I j b akK (ei ⊗e*j) ⊗ek Với I J T K = I i b aJj bkK tijk cho các thành phần

Cần tuyệt đối tuân thủ chiều cao của chỉ số và chiều cao kết hợp với biến.

B. Tính chất kết hợp của tích tenseur:

Nếu bây giờ chúng ta nhân các phần tử của R3 với các phần tử của (R3*⊗R3), chúng ta sẽ xây dựng đ−ợc không gian R3⊗(R3* ⊗R3) sinh ra bởi các phần tử ei ⊗(e*J⊗ek ).

Xét lại ví dụ về vị trí tức thời của 2 chuyển động: gọi v và v’ là các vị trí của chất điểm 1&2; trên v⊗v’ biểu diễn vị trí nhất thời của 2

ra R3⊗R3. Xét chất điểm chuyển động thứ 3 có vị trí v” ∈ R3. Phần tử (v⊗v’) ⊗v” biểu diễn tất cả các vị trí tức thời của 3 chất điểm này.

Ta nhận thấy rằng v⊗(v’⊗v”) và (v⊗v’)⊗v” là hoàn toàn t−ơng đ−ơng bởi ta có thể xét 2 trong số 3 chất điểm một cách tuỳ ý.

Xét biểu diễn hình học sau:

Ta đã viết 3 vectơ từ trái sang phải theo số thứ tự của các chất điểm. Do đó sự thay đổi vị trí của vectơ trong tích sẽ dẫn tới sự thay đổi vị trí của điểm. Nh− vậy thông qua biểu diễn trên ta thấy phép nhân tenseur không có tính giao hoán.

C. Bậc và dạng của tenseur: Ta hoàn toàn có thể thiết lập đ−ợc tích tenseur của n không gian vectơ. Các phần tử của không gian mới này là những tenseur bậc n trên R3. Dãy của các phần tử gồm có n chỉ số:

Tenseur i j

t kl là một tenseur bậc 4 (hay còn gọi là hạng 4). Nó là một phần tử của R3⊗R3*⊗R3*⊗ R3. Ta có thể có các dạng khác nhau bằng cách thay đổi vị trí cá chỉ số .

Dạng của một tenseur ứng với dãy xác định của các tích tenseur đ−ợc tiến hành từ trái qua phải. Cách viết các thành phần của tenseur kéo theo dạng của nó thông qua vị trí chính xác của các chỉ số.

Chiều cao của các chỉ số kéo theo sự biến đổi của dãy: Xét các ví dụ minh hoạ:

i j

t kl: tenseur bậc 4, 2 lần hợp biến và 2 lần phản biến (tenseur hỗn hợp)

tijk: tenseur bậc 3, phản biến toàn phần tijklm: tenseur bậc 5, hợp biến toàn phần