II. Tổng quan về phép nhân tenseur
CHƯƠNG V: TỌA ĐỘ CONG, ĐẠOHÀM CỦA
CÁC TRƯỜNG TENSEUR
I. Toạ độ cong:
A. Định nghĩa: Trong không gian thông th−ờng vị trí của một điểm đ−ợc biểu diễn qua toạ độ Đề các xi (i= 1, 2, 3).
Ta chọn gốc toạ độ o và định nghĩa 3 trục thẳng mang 3 vectơ của cơ sở ε(o).
Hệ toạ độ (không nhất thiếtphải trực giao) định nghĩa các toạ độ thẳng của một điểm M, là các thành phần của một vectơ hình học: OM
= xi εi (o)
Mỗi toạ độ dạng này định nghĩa các toạ độ thẳng cho tất cả các điểm M.
Chú ý rằng đối với một hệ thống toạ độ thẳng đã cho, có một song ánh giữa điểm M của không gian và các giá trị của dãy (ni). Nếu không nó thì ta sẽ thấy việc tính toán sẽ không rõ ràng, một giá trị của dãy có thể kết hợp với nhiều điểm và ng−ợc lại.
Quy luật biến đổi giữa các tọa độ thẳng của cùng một điểm là tuyến tính. Mỗi vectơ cơ sở của một hệ thống là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác, và một sự thay đổi gốc ứng với một sự tịnh tiến.
OM = OO'+ O'M đ−ợc khai triển OM = xi εi(o) trong hệ toạ độ đầu tiên.
Trong hệ tọa độ thứ hai, M đ−ợc biểu diễn bởi:
M
O' = x’i ε’i(o’) với ε’i(o’) = eji εj (o) hay đảo lại εj (o) = ℑi
jε’i(o’)
Chú ý quan trọng: Chúng ta phải khai triển trên cơ sở đ−ợc định nghĩa tại O, các vectơ định nghĩa tại O’
ε’i(o’) = θij εj (o)
Điều đó giả thiết rằng chúng ta có thể thay các vectơ ε’i(o’) tại o’ bằng các vectơ t−ơng đ−ơng ( o) định nghĩa tại điểm o, để tiến hành phân tích mỗi vectơ trong chúng trên cơ sở εi (o)
Trong hình học cổ điển, sự cân bằng vectơ nh− trên gọi là sự t−ơng đẳng và đ−ợc định nghĩa nh− sau:
Hai vectơ t−ơng đẳng (trong thực tế gọi là bằng nhau) nếu chúng song song cùng chiều và có cùng ọ lớn.
Các phép toán tịnh tiến hình học cho phép ta định nghĩa sự cân bằng của vectơ cần định nghĩa tại tất cả các điểm khác nhau của không gian. Kết quả là ta có thể khai triển bất kì vectơ nào, định nghĩa ở bất kì điểm nào, trên bất kì cơ sở nào định nghĩa bất kì một điểm nào khác.
Khả năng này của phép tịnh tiến có đ−ợc là do chúng ta đã công nhận có một hệ toạ độ thẳng có giá trị với tất cả các không gian.
B. Tính tenseur tại motọ điểm M; tr−ờng tenseur:
Khi ta định nghĩa một cơ sở tại một điểm M, giả sử εi(M) , ta có thể sử dụng nó để xây dựng một hệ toạ độ thẳng của không gian điểm, hình học. Nó cũng có thể sinh ra một không gian vectơ đ−ợc định nghĩa tại điểm M thì ta có thể xem nó nh− là một phần tử của R3(M), thậm chí vectơ này không có bản chất hình học: tức là sự trùng hợp giã chúng của các không gian đẳng cấu. Ta có thể khai triển đại l−ợng này trên cơ sở εi(M). Ví dụ, tr−ờng điện từ tại M có thể viết d−ới dạng:
B(M) = Biεi(M)
T−ơng tự ta có thể dẫn ra không gian đối ngẫu R3* (M) kết hợp với R3(M) cho phép ta khai triển tất cả các đại l−ợng tenseur định nghĩa tại M, trên cơ sở chuẩn kết hợp với εi(M).
Ví dụ: T = tij